第3章二维线画讲义图元及属性
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线
象素
圆
3.1 直线的扫描转换及算法
在介绍画线算法之前，我们先讨论画直线的基本要求：
•直线必须有精确的起点和终点， •外观要直， •线宽应当均匀一致、且与直线的长度和方向无关， •算法速度要快。
3.1 直线的扫描转换及算法
直线方程：y＝kx＋b
k是直线的斜率，b是y方向的截距，若直线的两端点为（x0，y0）及（x1，y1），则
x =1 y =2/5=0.4 所以x方向上计长，走步数为5
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1
0 12 3 4 5
取初值x0=0.5, y0=0.5 （保证四舍五入）
C=1 x1= x0+1=1.5，y1= y0+0.4=0.9 取点(1，0) C=2 x2= x1+1=2.5，y2= y1+0.4=1.3 取点(2，1) C=3 x3= x2+1=3.5，y3= y2 +0.4=1.7 取点(3，1) C=4 x4= x3+1=4.5，y4= y3+0.4=2.1 取点(4，2) C=5 x5= x4+1=5.5，y5= y4+0.4=2.5 取点(5，2)
若X0 <X1，则 x＝1， y=k
若X0 >X1，则 x＝－1， y=－k
(2)当|Dx|<|Dy|（即|k|>1）时 若X0 <X1，则 y＝1， x=1/k 若X0 >X1，则 y＝－1， x=－1/k
3.1.1 数值微分法
例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2) Dx=x2-x1=5, Dy=y2-y1=2 Dx>Dy
Yi+1 = k Xi+1 + B
= k (Xi + x) + B = kXi + B + k x = Yi + k x
= Yi + k
i取自1开始的整数,顺次加1,直到最后的端点,y取最接近的整数
2.|k|>1,则应取y坐标的增量为y=１，可得如下X的增量方程： Xi+1 = Xi +1/ k
Bresenham算法是计算机图形学领域使用 最广泛的直线扫描转换算法。该方法最初 是为数字绘图仪设计的，后来被广泛地应 用于光栅图形显示和数控（NC）加工。该 算法构思巧妙，使得每次只需检测误差项 的符号就能决定直线上的下一个像素的位 置。
3.1.2 Bresenham画线算法
算法原理：过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直线 从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定 该列像素中与此交点最近的像素.
源自文库
3.开始端点在右端点,中止端点在左端点,则
x ＝－1 y＝－1
Yi+1 = Yi － k Xi+1 = Xi －1/ k
3.1.1 数值微分法
算法过程： Dx＝X1－X0 ; Dy＝Y1－Y0
此两参数的绝对值哪一个大，哪一个就作为步长参数（n），此参数 将作为沿直线所画出点的数目 (1)当|Dx|>= |Dy|（即|k|<=1）时
像素：中心为网格点的圆点，距离均匀，相互不重叠
由像素表示的直线段为均匀填充的实心原点
3.1 直线的扫描转换及算法
一、点的生成
点是图形中最基本的图素，直线、曲线以及其它的图元都是 点的集合。在几何学中，一个点既没有大小，也没有维数，点只 是表示坐标系统中的一个位置。在计算机图形学中，点是用数值
坐标表示的。在直角坐标系中点由(x, y)两个数值组成的坐标表 示，在三维坐标系中点由(x, y, z)三个数值组成的坐标表示。
在输出设备上输出一个点，首先需要计算出该点的坐标位置 （最逼近该点的像素位置），其次需要把应用程序中的坐标信息 转换成所用输出设备的相应指令。
3.1 直线的扫描转换及算法
二、 直线的扫描转换
❖在数学上，理想的点和直线都是没有宽度的。但是，由于每个像素
对应于图形设备上的一个矩形区域，当我们在光栅图形设备上显示一 个点时，实际上它是有用一个发光的矩形区域来表示的；当在光栅图 形设备上显示一条直线时，我们只能在显示器所给定的有限个像素组 成的矩阵中，按扫描线顺序，依次确定最佳逼近于该直线的一组像素 ，并且对这些像素进行写操作。这个过程称为直线的扫描转换。
3.1 直线的扫描转换及算法
二、 直线的扫描转换
❖对于水平线、垂直线和45º斜线，选择哪些像素是显而易见的，但
是对于其它的直线，确定用哪些像素来表示它就不那麽简单了。本节 我们介绍用于直线扫描转换的常用算法：
•数值微分法 •Bresenham画线算法 •中点画线法
3.1 直线的扫描转换及算法
Geometric Graphics Ｇ＝｛Ｐi | Pi--nearest pixel ｝ 基本图形的生成算法任务之一就是找出所有的Ｐi 。
k＝（y1－y0）/（x1－x0） b＝y1－kx1 对于一直线，在x方向取间隔dx， 则可计算y方向的间隔dy dy＝k×dx
该方法涉及到浮点数的乘除法、加减法以及取整运算，因此，效率非常低
3.1.1 数值微分法
数值微分法即DDA（ Digital Differential Analyzer ）
基本思想:先对一个方向的坐标取单位步长的变化,然后计算另一方向坐 标相应的变化值。
假定直线的起点、终点分别为：（X0,Y0), (X1,Y1)，且都为整数。 则直线方程和斜率k为：
Ｙ = k*X+B k = (Y1-Y0)/(X1-X0)
3.1.1 数值微分法
1.|k|<=1,则应取x坐标的增量为 x=１，可得如下Ｙ的增量方程：
3.1.1 数值微分法
程序实现：
3.1.1 数值微分法
DDA算法的优点：
使用DDA算法，每生成一条直线做两次除法，每画线中一点做两 次加法。因此，用DDA法生成直线的速度是相当快的。
DDA算法的缺点：
在此算法中，x，y、k必须是float，且每一步都必须对x或y进行 舍入取整，不利于硬件实现。
3.1.2 Bresenham画线算法
第3章二维线画图元及属性
精品jing
易水寒江雪敬奉
第3章 二维线画图元及属性
3.1 直线的扫描转换及算法 3.2 圆和椭圆的扫描转换算法 3.3 其他输出图元的生成 3.4 输出图元的属性 3.5 字符的生成
3.1 直线的扫描转换及算法
扫描转换：从图形定义的物空间到进行显示处理的图像空间的转换 线画图元的扫描转换：计算出落在线段上或充分靠近它的一串像素， 并以此像素集近似替代连续直线段在屏幕上显示的过程。
象素
圆
3.1 直线的扫描转换及算法
在介绍画线算法之前，我们先讨论画直线的基本要求：
•直线必须有精确的起点和终点， •外观要直， •线宽应当均匀一致、且与直线的长度和方向无关， •算法速度要快。
3.1 直线的扫描转换及算法
直线方程：y＝kx＋b
k是直线的斜率，b是y方向的截距，若直线的两端点为（x0，y0）及（x1，y1），则
x =1 y =2/5=0.4 所以x方向上计长，走步数为5
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1
0 12 3 4 5
取初值x0=0.5, y0=0.5 （保证四舍五入）
C=1 x1= x0+1=1.5，y1= y0+0.4=0.9 取点(1，0) C=2 x2= x1+1=2.5，y2= y1+0.4=1.3 取点(2，1) C=3 x3= x2+1=3.5，y3= y2 +0.4=1.7 取点(3，1) C=4 x4= x3+1=4.5，y4= y3+0.4=2.1 取点(4，2) C=5 x5= x4+1=5.5，y5= y4+0.4=2.5 取点(5，2)
若X0 <X1，则 x＝1， y=k
若X0 >X1，则 x＝－1， y=－k
(2)当|Dx|<|Dy|（即|k|>1）时 若X0 <X1，则 y＝1， x=1/k 若X0 >X1，则 y＝－1， x=－1/k
3.1.1 数值微分法
例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2) Dx=x2-x1=5, Dy=y2-y1=2 Dx>Dy
Yi+1 = k Xi+1 + B
= k (Xi + x) + B = kXi + B + k x = Yi + k x
= Yi + k
i取自1开始的整数,顺次加1,直到最后的端点,y取最接近的整数
2.|k|>1,则应取y坐标的增量为y=１，可得如下X的增量方程： Xi+1 = Xi +1/ k
Bresenham算法是计算机图形学领域使用 最广泛的直线扫描转换算法。该方法最初 是为数字绘图仪设计的，后来被广泛地应 用于光栅图形显示和数控（NC）加工。该 算法构思巧妙，使得每次只需检测误差项 的符号就能决定直线上的下一个像素的位 置。
3.1.2 Bresenham画线算法
算法原理：过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直线 从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定 该列像素中与此交点最近的像素.
源自文库
3.开始端点在右端点,中止端点在左端点,则
x ＝－1 y＝－1
Yi+1 = Yi － k Xi+1 = Xi －1/ k
3.1.1 数值微分法
算法过程： Dx＝X1－X0 ; Dy＝Y1－Y0
此两参数的绝对值哪一个大，哪一个就作为步长参数（n），此参数 将作为沿直线所画出点的数目 (1)当|Dx|>= |Dy|（即|k|<=1）时
像素：中心为网格点的圆点，距离均匀，相互不重叠
由像素表示的直线段为均匀填充的实心原点
3.1 直线的扫描转换及算法
一、点的生成
点是图形中最基本的图素，直线、曲线以及其它的图元都是 点的集合。在几何学中，一个点既没有大小，也没有维数，点只 是表示坐标系统中的一个位置。在计算机图形学中，点是用数值
坐标表示的。在直角坐标系中点由(x, y)两个数值组成的坐标表 示，在三维坐标系中点由(x, y, z)三个数值组成的坐标表示。
在输出设备上输出一个点，首先需要计算出该点的坐标位置 （最逼近该点的像素位置），其次需要把应用程序中的坐标信息 转换成所用输出设备的相应指令。
3.1 直线的扫描转换及算法
二、 直线的扫描转换
❖在数学上，理想的点和直线都是没有宽度的。但是，由于每个像素
对应于图形设备上的一个矩形区域，当我们在光栅图形设备上显示一 个点时，实际上它是有用一个发光的矩形区域来表示的；当在光栅图 形设备上显示一条直线时，我们只能在显示器所给定的有限个像素组 成的矩阵中，按扫描线顺序，依次确定最佳逼近于该直线的一组像素 ，并且对这些像素进行写操作。这个过程称为直线的扫描转换。
3.1 直线的扫描转换及算法
二、 直线的扫描转换
❖对于水平线、垂直线和45º斜线，选择哪些像素是显而易见的，但
是对于其它的直线，确定用哪些像素来表示它就不那麽简单了。本节 我们介绍用于直线扫描转换的常用算法：
•数值微分法 •Bresenham画线算法 •中点画线法
3.1 直线的扫描转换及算法
Geometric Graphics Ｇ＝｛Ｐi | Pi--nearest pixel ｝ 基本图形的生成算法任务之一就是找出所有的Ｐi 。
k＝（y1－y0）/（x1－x0） b＝y1－kx1 对于一直线，在x方向取间隔dx， 则可计算y方向的间隔dy dy＝k×dx
该方法涉及到浮点数的乘除法、加减法以及取整运算，因此，效率非常低
3.1.1 数值微分法
数值微分法即DDA（ Digital Differential Analyzer ）
基本思想:先对一个方向的坐标取单位步长的变化,然后计算另一方向坐 标相应的变化值。
假定直线的起点、终点分别为：（X0,Y0), (X1,Y1)，且都为整数。 则直线方程和斜率k为：
Ｙ = k*X+B k = (Y1-Y0)/(X1-X0)
3.1.1 数值微分法
1.|k|<=1,则应取x坐标的增量为 x=１，可得如下Ｙ的增量方程：
3.1.1 数值微分法
程序实现：
3.1.1 数值微分法
DDA算法的优点：
使用DDA算法，每生成一条直线做两次除法，每画线中一点做两 次加法。因此，用DDA法生成直线的速度是相当快的。
DDA算法的缺点：
在此算法中，x，y、k必须是float，且每一步都必须对x或y进行 舍入取整，不利于硬件实现。
3.1.2 Bresenham画线算法
第3章二维线画图元及属性
精品jing
易水寒江雪敬奉
第3章 二维线画图元及属性
3.1 直线的扫描转换及算法 3.2 圆和椭圆的扫描转换算法 3.3 其他输出图元的生成 3.4 输出图元的属性 3.5 字符的生成
3.1 直线的扫描转换及算法
扫描转换：从图形定义的物空间到进行显示处理的图像空间的转换 线画图元的扫描转换：计算出落在线段上或充分靠近它的一串像素， 并以此像素集近似替代连续直线段在屏幕上显示的过程。