电动力学课件 4.1 平面电磁波

b) 介质情形
在均匀各向同性介质中 P e 0 E ， M m H ，而 e , m 与入射 波的频率有关，因此对不同频率的电磁波，ε和μ都是ω的函数

( )
r0 ,r 1 e
r 0 , r 1 m
E x , t E 0e B x , t B0 e
i t E
ΦE、 ΦB 为与空间 位置有关的相位
利用欧拉公式 e i cos i sin ，时谐场的复数形式为
E x e it B x e i t E x , B x 为复数矢量
t
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频域 Maxwell方程组
E 0 E B t H 0 D H t
F x,t F x e
D E
i t
B H
E x i H x (1) H x i E x (2) (3) E x 0 (4) H x 0
c 1
00
2.9979 10 8 m s
电磁波在真空中的传播速度---光速 一切电磁波都以速度 c传播
3
真空中电磁场的波动方程
2 1 E x, t E x,t 2 0 2 c t 2
E 0
横波条件
D 0 E B t B 0 D H t
6) 在时刻t，空间x处的相位为k x t ，在t+dt时刻，该相位移 动到x+dx处于，有 k
k x t k x dx t dt dx v ek dt k
r0
r 0
v 为相速度，即波的相位在空间传播的速度，可以挑选波的
它的一个解是
E x , t E x e i t
d 2 E x k E x 0 2 dx
2
E x E0e
ikx
i kx t
场强的全表示式为 E x , t E e 0
E0是电场的振幅 ei(kx- t) 为相位因子
ε 和 μ随频率而变的现象称为介质的色散．
对色散介质，一般情况下
D E
， B H
B H D E ，
对角频率 ω一定的单色电磁波，有
对线性均匀各向同性的介质，当介质无色散或电磁波为单色波 时，电磁场的波动方程为
表示电场波动是横波, E 可在垂直于 k 的任意方向上振荡.
E 的取向称为电磁波的偏振方向．可以选与k 垂直的 任意两个互相正交的方向作为 E 的两个独立偏振方向．
因此，对每一波矢量k ，存在两个独立的偏振波．
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2) 平面电磁波的磁场
E x , t E0e
i k x t
2 E x, t 1 2E x,t 2 0 2 v t
电磁波在介质中的传播速度为
1
5
2 B x,t 1 2 B x,t 2 0 2 v t
2、时谐电磁波
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电磁波）。 任意随时间变化的非单色电磁波均可通过Fourier变换分解为无 数个不同频率的单色波的叠加：
——Helmholtz方程 ——波矢
一定频率下Maxwell方程组可化为 或
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Helmholtz方程是一定频率下电磁波的基本方程，其满足 E 0 的解 E x 代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式 称为一种波模
nanofishbone waveguide
y
x
Optics Letters 38, 3129-3132 (2013)
E x, t


E x e it d
时谐场对时间的依赖关系为cosωt，即单色电磁波可表示为
E x , t E 0 cos t E x B x , t B0 cos t B x
时谐场中其他物理量（磁场强度、电流密度等）都可表示为
F x , t F x e i t
时谐场物理量对时间的偏微分为 i t i t F x, t F x e i F x e i F x , t t t 因此， i


表示沿矢量k方向传播的平面波
i kx t
在特殊坐标系下，当 k 的方向取为x轴时，有 k x kx ，此时
E x , t E0e
下图表示沿 k 方向传播的平面电磁波．
x
k
取垂直于矢量k 的任一平面S，设P为 此平面上的任一点，位矢为x，则 k x x为 x 在矢量 k上的投影，在平 ＝kx′， 面S上任意点的位矢在k 上的投影都等 于x ′，因而整个平面S是等相面． 即平面 S上的各点的相位为常数，
k x t C
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单色平面电磁波的基本物理量
E x , t E0e
k
i k x t


1) 波矢 k 的方向表示波的传播方向，大小表示2π长度上完整波的 数目 2
2) 相位为 k x t，等相面方程为 k x t C 3) 在同一时刻，在垂直于k 的平面上任一点，平面波的相位均相等 ，因此垂直于 k 的平面是等相面， k 是等相面的法向，即k 为等相面 的传播方向。 4) 在同一时刻，相位差为2π的两个等相面的距离λ称为波长
6
i t B
实际物理场只取复数形式的实部，即
it E x , t Re E x e it B x , t Re B x e

E x , t E x e i t 取 实 部
单色平面电磁波的基本性质
E x , t E0e
i k x t


ik
i k x t
1) 平面电磁波是横波，且 E , B, k 有右手螺旋关系
E e
i k x t


E 0 ik E 0 e


ik E 0
k E 0
Ez
10
Optomechanical crystals
Optics Express 20, 24394 (2012)
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3．平面电磁波
按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同 形式．例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导定向传播 的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解
任一特定相位来观察(如波峰)，则此处会以相速度前行
在线性均匀绝缘介质中
v 1 ek
ek c ek r r n c
n r r
c 1
0 0
介质的折射率
式中 r和 r分别代表介质的相对介电常数和相对磁导率，由于它们 是频率 的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度， 16 这就是介质的色散现象．
2
a) 真空情形：
D 0 E , B 0 H
( E ) B t 2 ( E ) E
D 0 E B t B 0 D H t
0
D 0 H 0 t t t
频域 Maxwell方程组的独立性
E i H 0 H i E 0
H 0 E 0
两个旋度方程是独立的，而两个散度方程不独立，可由两个旋度方 程导出
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Helmholtz方程
E x i H x (1) H x i E x (2) (3) E x 0 (4) H x 0
x y 0 x y 0 2 如：将方程组 x y 1 变为 ，则出现增根 x y 1
x 1 2 y 1 2
x1 1 2 y1 1 2 x 2 1 2 y2 1 2
4
因此还必须对波动方程的解加上限制条件——横波条件
由条件 E 0 得 ikex E 0，即要求Ex =0．
以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理 解为只取上式的实数部分，即
E x , t E 0 cos kx t
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一般坐标系下平面电磁波的表示式：
E x , t E0e
i k x t
2 E 0 0 E 0 0 t t t 2
2 B x,t 1 2 0 同理 B x , t 2 2 c t
2 E x, t 1 2 E x,t 2 0 2 c t
真空中电磁场的波动方程
2 1 B x,t B x,t 2 0 2 c t 2
B 0
问：波动方程由Maxwell方程组导出，那满足波动方程的解是否一 定满足 Maxwell方程组呢？ 答：不一定，在推导波动方程的过程中对Maxwell方程组进行了微 分运算，使微分方程由一阶变为二阶，导致增根出现。
第四章 电磁波的传播
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空
间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。
电磁波
本章从 Maxwell方程组及其边值关系出发，研究电磁 波在无界空间、有界空间中的传播规律。
1
§4.1 平面电磁波
1、电磁场波动方程
波动方程：关于位置x 和时间 t 的函数 u满足 c为波的传播速度，Baidu Nhomakorabea为波函数 ，
一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell方程组
D 在自由空间或均匀的绝 D 0 0 , J 0 ， 缘介质中， B E E B Maxwell 方程组为： t t B 0 B 0 D D H J H t t
k x ek t k x t 2



2 k
5) 在同一地点，相位差为2π的两个时刻之间的间隔T称为周期

k x t k x t T 2

2 T
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2 2 角频率ω是2π时间间隔内完成全振动的次数 T
讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波
设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有 相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为 平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与 x轴正交的平面
x
平面波
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在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
2E k 2E 0