圆锥曲线中的求轨迹题型大汇总(推荐)

一、直接法题型：

例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 解：设MN 切圆C 于N ，则2

22

ON MO MN

-=。设),(y x M ,则

2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x

（1） 当1=λ时，方程为4

5

=

x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2

2

22

222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 变式： 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P

的轨迹方程．

解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的 直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=

可得：222PN PM =

因为两圆的半径均为1，所以)1(212

22

1-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2

2

2

-+-=-+y x x ，即33)6(2

2

=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(2

2

=+-y x （或03122

2

=+-+x y x ）

练习：（待定系数法题型）在P M N ∆中，2tan ,2

1

tan -=∠=

∠MNP PMN ，且P M N ∆的面积为1，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。 二、定义法题型：

例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿

AP 、BP 运到P 处，其中AP=100m ，BP=150m ，∠APB=600

，问怎能样运才能最省工？ 解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP 到P 较近，二是沿BP 到P 较近，三是沿AP 或BP 一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M 为分界

线上的任一点，则有

BP

MB AP MA +=+，即

75050=≤=-=-AB PA PB MB MA ，故M 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上。

建立如图直角坐标系，得边界的方程为

)25(13750

6252

2>=-x y x ,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处，在曲线上面的土两边都可运。 说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2

=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为

12516

25)3(2

2=++y x 三、代入法题型：

例3 如图，从双曲线x 2-y 2

=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）

则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故

11

1

=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ②

由①②解方程组得12

3

21,1212311-+=-+=

y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2

-2y 2

-2x+2y-1=0

练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线y=-x ，关于直线y=3对称的曲线方程。(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型：

例4 经过抛物线y 2

=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。

解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(

2

k p p k

p -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2

kp p p k --，又M 为BC 中点，设M （x,y ）,

则⎪⎩

⎪⎨⎧-=-+=kp

k p

y p p k k p x 22

2，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。

五、交轨法与几何法题型

例5 抛物线

)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。（考例5）

解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42

>=p px y 上，设A （)

,42A A

y p

y ，B （),42

B B y p y 所以k OA =

A y p 4 k O

B =B

y p

4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(442

2

2p y x p

y p y y y y y A

B

A B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x P

y y y B

A 4-+=

②

由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得222

4)

2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。 解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。所以方程为2

2

2

4)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。 六、点差法：

例6（2004年福建，22）如图，P 是抛物线C ：2

2

1x y =

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。 解：设0,0,0),,(),,(),,(211002211>>≠y y x y x M y x Q y x P 依题意知， 由2

2

1x y =

（1） 得x y =/

，∴过点P 的切线的斜率1x k ＝切，

∴直线l 的斜率1111x x k l -=-

=，∴直线l 的方程为)(1

2111

21x x x x y --=- （2） 方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y 得，022

211

2

=--+

x x x x