弹道设计实践

大炮：合肥——南京

地理位置：为了确定发射的目标地，根据百度地图坐标拾取系统，发射地为东

经117.2600°，北纬31.8450°。目的地为东经121.8220°，北纬32.9240。依《近震分析》中两地距离的公式

d=111.199φ1−φ22+(λ

1−λ

2

)2cos(φ1+φ2

2

)2纬度为φ，经度为λ，角

度单位为度，d单位为km.由此计算出发射的距离为104.274km

炮弹设计：采用修改的WS-2火箭炮，炮弹直径100mm,弹长5.0m,质量1t。杀伤范围100m。

受力分析：

空气阻力：

假设10km以下空气密度不变，10km以上为真空。

空气阻力计算公式：R x=−0.5ρSC x v r v r Ma式中ρ为空气密度，且ρ=Mp

RT

，

p为大气压强，M为1kmol大气质量，R为普适气体恒量，T为热力学温度。依据假设，取10km以下的空气密度ρ=1.205kg/m3. S为弹最大横断面积，

S=πd2/4，d为弹径，计算取S=0.0314m2. C x为空气阻力系数，与弹型有关,依据43年阻力定律对弹型的修正，可取0.26

v r为相对参考系的速度。Ma为马赫数，依据60°发射无阻力计算的结果知发射时马赫数取4（v取1300m/s左右）。故论文中空气阻力公式为

R x=0.0163v r v r

g的变化:

两地纬度相差很小，忽略两地地表g变化。取地表g为合肥当地g0=9.79m/s2.

由万有引力公式易推离开地表高度为h的g=g0(r

r+h

)2. r为地球半径（准确的说是发射地到地心的距离，地球接近标准球体，所以取地球半径），取r=6371.0km 地球自转离心力：

由其公式F=mw x w x r，地球自转角速度为2πrad/86400s=7.272x10−5rad/s，故a=7.272^2x10−7x6371=0.0337远小于mg和空气阻力的加速度，可以忽略不计。

科氏力：

由F cor=2m w x v，考虑初射速度为1300，则其大小为100N，虽然⊥v方向仅有此力，但其产生加速度为0.14m/s^2，发射过程不过200s以内，产生偏移不及过程中风的干扰，且发射时方位角本身也有误差，只需要控制计算后发射时不往科氏力的方向偏移则其影响基本可以忽略掉。

故发射过程中考虑的力为空气阻力、重力（含g变化）。进入10km以上之后，仅考虑重力。

大炮发射：

空气阻力和重力无垂直于速度的分量，故发射的方位角可以确定下来，即为两地连线，依经纬度计算公式计算横向（东西）距离为30km,纵向（南北）距离

为100km，故方位角为南偏东a, a满足tana=0.3.

受力分析：x方向（水平方向），受空气阻力，大小为0.0163v x2。

y方向（数值方向）:受空气阻力与重力的合力，方向在上升阶段空气阻力与重力一齐向下，下降阶段空气阻力反向。因10km以下g的变化为3%,故可取中

间值(9.795+9.765)/2=9.78不变，10km以上按公式计算，空气阻力大小为0.0163v y2。

由以上假设，发射分为三个阶段：

1.从地面上升至10km处，设y方向初速为v y0向上，末速为v y1。X方向

初速为v x0，末速v x1，此过程中x,y方向列出牛顿方程分别为：

a x+0.0000163v x2=0a y+0.0000163v y2+9.78=0

2.从10km以上到最高点，之后在返回10km处过程。此过程x方向不

受力，y方向受重力。由能量守恒知过程的初、末速率是相等的。列

出的相应x,y方向上的牛顿方程分别为:

a x=0a y+9.795∗(6371000

6371000+y )2=0t=2v y1

a y

（由对称性）

3.返回地表。与过程一相似，只是所受空气阻力反向，同时此过程初速

为过程二的末速。列出相应牛顿方程为：

a x+0.0000163v x2=0a y+0.0000163v y2−9.78=0

从受力分析列出的微分方程如上，为了简便得到结果，处理方法如下：核心是由y方向的方程解出在y速度一定时上升后返回地面的时间。之后在此基础上进行模拟选择x的值拟合x方向的方程，解出x方向速度。由这两个速度解出仰角和发射速度。过程如下：

根据无阻力时计算出y方向所需最小速度，取定y方向的速度为1200m/s。将过程一第二个微分方程输出matlab求解，得

v y=−200∗15^(1/2)∗tan(200∗1512∗163∗t

1000000−

15

1

2∗atan2∗15

1

2

3000

)对其积分，

不断变化t直到y接近10000，得t=9.45。此时v=904m/s。

过程二中，因a y+9.795∗(6371000

6371000+y

)2=0计算机无法解出有效的y的近似解析式，考虑g在每1km内的变化是很小的，精度足够，可以视为恒定。而每秒的y变化不到1km，所以对每一秒视g为恒定值，取每一秒初始的时刻。则v y从904m/s变化到0所需时间为93.0s（此处使用去尾法，精度在0.1s是足够的，实际情况大气也有稀薄的空气存在，0.1s对x方向位移至多增加60m，而空气的存在会减小这个作用）。下降过程是个逆过程，故第二过程用时为186.0s。

过程三，为了求此过程时间，解y方向的微分方程得