第11章稳恒磁场B完全版1
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f2
l1
f2´
B
d en
c
16
匀强磁场对载流线圈的磁力矩M
M= pm×B
什么时候载流线圈停止转动？ M =0
线圈停止转动。
0 M pm B sin 当磁矩 pm的方向和磁场 B 的方向一致时，载流
线圈停止转动。
当载流线圈平面和磁场 B 的方向垂直时，载流
17
例题 半径为R的圆盘,带有正电荷,其电荷面密度 =kr, k是常数, r为圆盘上一点到圆心的距离,圆盘放在 一均匀磁场B中,其法线方向与B垂直。当圆盘以角速 度绕过盘心o点,且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋 转时, 解 可将圆盘分为无限多个圆 由M= pmBsin ，圆盘所 环积分。 dr R 受的磁力矩为 r B R o M= r2 B 2rdr
dF I1dl
由对称性可知，圆环受的合 力沿x轴的正方向, 而大小为
μo I 2 F= I 1dl cosθ 0 2x
2x
I1
I2 R
o x
I1dl
y
2 R
2 R
0
μo I 1 I 2 dl 2R
x I1dl
dF
14
μo I 1 I 2
cosθ 1 x R
三 .匀强磁场作用于载流线圈的力矩
还有一种磁介质：铁磁质。
21
用分子电流对物质磁性进行了定性地说明。
无外加磁场时,由于分子的热运动, pm无序取向，
pm 0 ，物质不显磁性。
当有外磁场作用时，每个分子圆电流受磁力矩的作用， pm 按外磁场方向取向， p 0，物质显示磁性。
m
22
二、磁介质的磁化 1.外磁场 Bo使磁介质产生附加磁矩
§11.6 磁 力 一 .洛仑兹力
一个电荷q在磁场B中以速度运动时，该电荷所 受的磁场力(也称为洛仑兹力)为 f
f q B
洛仑兹力的大小 f=qBsin
B
式中 : 为电荷的运动方向与所在点磁 场B的方向之间的夹角。 洛仑兹力f 的方向垂直于 和B 组成的平面。 若q>0,则 f 的方向与B 的方向相同; 若q<0,则f 的方向与B 的方向相反。 用右手.
15
M=
2.
f2
Il1l2 B sin
但 pm=Il1l2，所以磁场对线圈 力矩的大小可表示为
M= pmBsin
l1 cos 2
f2
l1 b(c)
f2
M
a(d) B
en
a
I
力矩M的方向：沿中心轴线向上。 b l2 用矢量式来表达，就是 M= pm×B 上式对任意形状的平面线圈 也都适用。
A Md IabB cosd 30 30 IabB(sin 90 sin 30 ) z
90
90
o
B x
19
2.5 10 J
3
§11.7 磁 介 质
一、 磁场中的磁介质 在考虑物质与磁场的相互影响时,我们把所有的物质都 称为磁介质。 1、分子电流和分子磁矩 根据物质结构理论,分子中的任何一个电子绕核运动 （公转）,同时又自旋（自转）。 电子的这两种运动，可视为等效电流，对外产生磁效应。 整个分子中所有电子运动对外产生的总磁效应可以等效 为一个圆电流的磁效应。这个等效的圆电流称为分子电 pm 流。以I记之。
5
达到稳恒状态时， -eEH=-eB 即 EH= B VH= EH.a=aB I=ne ab
B b
fm V H
a
I
fH
得 V 1 IB H
ne b
式中b是导体在磁场方向的厚度。
霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和 导电流体(如等离子体)中也会产生。
6
金属导体中形成电流的载流子是带负电的自由 电子；在 N 型半导体中的多数载流子仍是带负电的 电子，但在 P 型半导体中的多数载流子却是带正电 的空穴。
z
B
b a
1 IB VH ne b IB n ebVH
n=1.25×1020个/m3。
B x I
A
c
y
代入I=10-3A, B=0.3T, b=0.3×10-2m, VH=5×10-3v,
得：
8
二、安培力
实验表明: 电流元Idl 在磁场B中受的作用力(安 培力)为 F B dF Idl B 大小：dF=IdlBsin 方向： Idl B 即：dF 的方向垂直于Idl 和B组成的平面，指 向由右手螺旋确定。
20
I
分子电流所具有的磁矩称为分子
磁矩，用 pm 记之。
N p m
pm ISen
方向：与电流成右螺旋关系。 2.磁介质的分类： 无外加磁场时，磁介质 这种磁介质称为抗磁质。 无外加磁场时，磁介质 这种磁介质称为顺磁质。
I
S
pm 0 ， pm 0 ，
， pm 0 ， pm 0
e
总结：
将顺磁质放在外磁场 B0 中： pm 0 ，显示磁 一方面，各分子磁矩按外场取向， 性，且 pm 与 B 同向。 0
效果：减弱磁性，减弱 B0 由 但是：分子磁矩按 B0 取向导致的磁性的增强 pm
导致的磁性的减弱。
2.顺磁质的磁化
效果：增强磁性，加强 B0 一方面，每个分子都产生一个附加磁矩 pm ，与 B0反向。
pm
当有 B
形成 I，产生 p m。
0
无 Bo ，电子受 f e 作用：
( )
电子增受 f m ，在半径不变情况下：
时，并设 B0 ^ 电子轨道运动平面
fe
I
f ef m
i i i ' B0 pm pm pm pm : 附加磁矩，由 B0引起。
μo I 1 μo I1 I 2 d L cos ( L d ln ) x M= I 2 dx 2 cos d 2(d x cos ) 0
L
13
例题 将半径R的圆电流I1置于无限长直电流I2的 磁场中,长直导线与圆电流直径重合且相互绝缘,求圆电 流 I1 解 在圆电流上取电流元I1dl, 此电流元受磁力的 方向沿半径指向圆外, 其大小为 y dF μo I 2
一个刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如 图所示，求它受的力和力矩。 由F=IlBsin ， 可知： f1 a ab: f1= Il1Bsin , 方向向上； I f2´ l1 cd：f1´=Il1Bsin , 方向向下。 b B 可见，ab和cd边受的力大小相等 l2 而方向相反,所以合力为零,也不产生 力矩。 d en bc：f2 =Il2B, 方向垂直纸面向外; f2 f1 c ´ da：f2´=Il2B, 方向垂直纸面向内。 显然，bc和da边受的合力也为零。但 这对力偶对中心轴要产生力矩。
顺磁质在 B0 的作用下总的显示出磁性 B，且 ' B '与 B0同向 顺磁质中的磁场 B B0 B'
25
顺磁质中的磁场 B B0 B' B B0 B' B0 a 分子磁矩按外场 B0 取向，是顺磁质磁化的主要原因。
+q
1
结论:由于洛仑兹力的方向总是与电荷的运动方向 垂直,所以洛仑兹力对运动电荷不作功。
1.带电粒子在匀强磁场中的运动 B 因为洛仑兹力 f=qBsin =0，所以带电粒子在磁 场中作匀速直线运动。
^B
带电粒子作匀速率圆周运动。圆周运动的半径和 周期分别为
mυ R qB
^ / B
2m T qB
2
^ =sin
B
=cos
这两种运动叠加的结果是粒子以 B的方向为轴线 作等螺距螺旋线运动(见图)。
m sin 半径 R qB 2 m 周期 T qB 2m cos 螺距 h cosT qB
3
2m T qB
磁聚焦示意图
P点电子束的各电子速度大小相等，但方向各异； 一般来说，电子速度与磁场的夹角很小。cos 1,
由pm×B 可知，M 的方向垂直B向上。
18
2 R 1 4 kBr dr kBR 5 0 5
0
dI
例题 一矩形线圈a×b =10×5cm2，I=2A,可绕y 轴转动，如图所示。当加上B=0.5 i (T)的均匀外磁 场(B与线圈平面成=30º 角)时，线圈的角加速度为 β=2rad/s2， 求:(1)线圈对oy轴的转动惯量J=? (2)线 圈平面由初始位置转到与B垂直时磁力所作的功。 解 (1) 由M=pmBsin，得 y M=Iab B sin(90º - ) = IabBsin60º b I J=M/β=2.16×10-3 (kg.m2) a en (2)磁力所作的功为
9
Idl
对载流导体，可分为若干电流元积分：
F
Idl B 导体
对于放置在均匀磁场中长度为 l 的直载流导 线,其所受的安培力为
F Idl B I ( a dl ) B
a
b
b
B a
=I l×B 其大小： F=IlBsin 方向：
I
10
b
lB
l =ab
直载流导线受的安培力:
通过对霍耳电势差的实验测定 ,可判定半导体的类 型 , 还可以用下式计算出载流子的浓度。用霍耳效应 来测磁场，是现在一个常用的比较精确的方法。
1 IB VH ne b
7
例题半导体的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3 , 电流 I=1mA(方向沿x轴), 磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图所 示；测得A、B两面的电势差uA-uB=5mv, 问: (1)这是P型 还是N型半导体？(2)载流子浓度n=? 解 (1) 由uA>uB , 判定是N型。 (2)由公式
I
b
b
B
l
b
11
直载流导线受的安培力: F Il B 又如，匀强磁场中的导线： a
R o
I
B
I a
B
b
R
o
b
圆弧受的力：
Fab Fab I 2 RBsin45
力的方向垂直纸面向外。
圆弧受的力：
F I 2R B
12
例题 如图所示，无限长直电流I1和线段 AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力 及对A点的磁力矩。 解 由于每个电流元受力方向 B 相同(如图示)， 由公式 dF I1 dF=IdlBsin 得 x I dx L 2 μo I 1 I 2 dx F A 2(d x cos ) 0 d μo I 1 I 2 d L cos ln 2 cos d
' i' e 2
pm
Leabharlann BaiduI’
pm
'
23
pm 由于外磁场 B0对运动电子有 洛伦兹力。 p m 这样在外场 B0的作用下，分子 f fm 电流产生附加磁矩 pm 。 I 附加磁矩 pm的磁场方向和外磁场 B0 的方向相反！！！ B 0 附加磁矩 pm的存在使外场 B 削弱。 0 说明： 结论是在 B0 ^ 轨道平面的情况得出的。 如果外磁场与轨道平面不垂直时，电子除公转和自旋外， 电子还会发生绕 B 方向的进动，这种进动也会有 pm 0 附加磁矩 pm的方向和外磁场 B0的方向相反！！！ 24
P点出发的各电子经过一个周期T后，都又会重聚于 同一点P′.这就是磁聚焦的基本原理。
4
2m 螺距 h cosT T qB
它已广泛地应用于电真空器件中,特别是电子显微镜中。
2 .霍耳效应 1879年,霍耳(A.H.Hall)发现下述现象:在匀强磁场 B中放一板状金属导体,使金属板面与B的方向垂直, 在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通以电流I,则 在金属板上下两个表面之间就会出现横向电势差 VH(见图)。这种现象称为霍耳效应,VH称为霍耳电 势差。 B 产生霍耳效应的原因： b 金属中的自由电子受洛仑 fm V 兹力的作用。 I H a 上下两个表面之间 的电场用EH 表示。
F Il B
例题在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电 流I, 求此段导线受的磁场力。 解 弯曲导线ab可分为若干电流元积分：
F Idl B I ( a dl ) B a
Il B
可见, 在匀强磁场中,弯曲 Idl 导线受的磁场力等于从起点到 终点的直导线所受的磁场力 。 a 力的大小：F=IlBsin 力的方向: 垂直纸面向外。
l1
f2´
B
d en
c
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匀强磁场对载流线圈的磁力矩M
M= pm×B
什么时候载流线圈停止转动？ M =0
线圈停止转动。
0 M pm B sin 当磁矩 pm的方向和磁场 B 的方向一致时，载流
线圈停止转动。
当载流线圈平面和磁场 B 的方向垂直时，载流
17
例题 半径为R的圆盘,带有正电荷,其电荷面密度 =kr, k是常数, r为圆盘上一点到圆心的距离,圆盘放在 一均匀磁场B中,其法线方向与B垂直。当圆盘以角速 度绕过盘心o点,且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋 转时, 解 可将圆盘分为无限多个圆 由M= pmBsin ，圆盘所 环积分。 dr R 受的磁力矩为 r B R o M= r2 B 2rdr
dF I1dl
由对称性可知，圆环受的合 力沿x轴的正方向, 而大小为
μo I 2 F= I 1dl cosθ 0 2x
2x
I1
I2 R
o x
I1dl
y
2 R
2 R
0
μo I 1 I 2 dl 2R
x I1dl
dF
14
μo I 1 I 2
cosθ 1 x R
三 .匀强磁场作用于载流线圈的力矩
还有一种磁介质：铁磁质。
21
用分子电流对物质磁性进行了定性地说明。
无外加磁场时,由于分子的热运动, pm无序取向，
pm 0 ，物质不显磁性。
当有外磁场作用时，每个分子圆电流受磁力矩的作用， pm 按外磁场方向取向， p 0，物质显示磁性。
m
22
二、磁介质的磁化 1.外磁场 Bo使磁介质产生附加磁矩
§11.6 磁 力 一 .洛仑兹力
一个电荷q在磁场B中以速度运动时，该电荷所 受的磁场力(也称为洛仑兹力)为 f
f q B
洛仑兹力的大小 f=qBsin
B
式中 : 为电荷的运动方向与所在点磁 场B的方向之间的夹角。 洛仑兹力f 的方向垂直于 和B 组成的平面。 若q>0,则 f 的方向与B 的方向相同; 若q<0,则f 的方向与B 的方向相反。 用右手.
15
M=
2.
f2
Il1l2 B sin
但 pm=Il1l2，所以磁场对线圈 力矩的大小可表示为
M= pmBsin
l1 cos 2
f2
l1 b(c)
f2
M
a(d) B
en
a
I
力矩M的方向：沿中心轴线向上。 b l2 用矢量式来表达，就是 M= pm×B 上式对任意形状的平面线圈 也都适用。
A Md IabB cosd 30 30 IabB(sin 90 sin 30 ) z
90
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o
B x
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2.5 10 J
3
§11.7 磁 介 质
一、 磁场中的磁介质 在考虑物质与磁场的相互影响时,我们把所有的物质都 称为磁介质。 1、分子电流和分子磁矩 根据物质结构理论,分子中的任何一个电子绕核运动 （公转）,同时又自旋（自转）。 电子的这两种运动，可视为等效电流，对外产生磁效应。 整个分子中所有电子运动对外产生的总磁效应可以等效 为一个圆电流的磁效应。这个等效的圆电流称为分子电 pm 流。以I记之。
5
达到稳恒状态时， -eEH=-eB 即 EH= B VH= EH.a=aB I=ne ab
B b
fm V H
a
I
fH
得 V 1 IB H
ne b
式中b是导体在磁场方向的厚度。
霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和 导电流体(如等离子体)中也会产生。
6
金属导体中形成电流的载流子是带负电的自由 电子；在 N 型半导体中的多数载流子仍是带负电的 电子，但在 P 型半导体中的多数载流子却是带正电 的空穴。
z
B
b a
1 IB VH ne b IB n ebVH
n=1.25×1020个/m3。
B x I
A
c
y
代入I=10-3A, B=0.3T, b=0.3×10-2m, VH=5×10-3v,
得：
8
二、安培力
实验表明: 电流元Idl 在磁场B中受的作用力(安 培力)为 F B dF Idl B 大小：dF=IdlBsin 方向： Idl B 即：dF 的方向垂直于Idl 和B组成的平面，指 向由右手螺旋确定。
20
I
分子电流所具有的磁矩称为分子
磁矩，用 pm 记之。
N p m
pm ISen
方向：与电流成右螺旋关系。 2.磁介质的分类： 无外加磁场时，磁介质 这种磁介质称为抗磁质。 无外加磁场时，磁介质 这种磁介质称为顺磁质。
I
S
pm 0 ， pm 0 ，
， pm 0 ， pm 0
e
总结：
将顺磁质放在外磁场 B0 中： pm 0 ，显示磁 一方面，各分子磁矩按外场取向， 性，且 pm 与 B 同向。 0
效果：减弱磁性，减弱 B0 由 但是：分子磁矩按 B0 取向导致的磁性的增强 pm
导致的磁性的减弱。
2.顺磁质的磁化
效果：增强磁性，加强 B0 一方面，每个分子都产生一个附加磁矩 pm ，与 B0反向。
pm
当有 B
形成 I，产生 p m。
0
无 Bo ，电子受 f e 作用：
( )
电子增受 f m ，在半径不变情况下：
时，并设 B0 ^ 电子轨道运动平面
fe
I
f ef m
i i i ' B0 pm pm pm pm : 附加磁矩，由 B0引起。
μo I 1 μo I1 I 2 d L cos ( L d ln ) x M= I 2 dx 2 cos d 2(d x cos ) 0
L
13
例题 将半径R的圆电流I1置于无限长直电流I2的 磁场中,长直导线与圆电流直径重合且相互绝缘,求圆电 流 I1 解 在圆电流上取电流元I1dl, 此电流元受磁力的 方向沿半径指向圆外, 其大小为 y dF μo I 2
一个刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如 图所示，求它受的力和力矩。 由F=IlBsin ， 可知： f1 a ab: f1= Il1Bsin , 方向向上； I f2´ l1 cd：f1´=Il1Bsin , 方向向下。 b B 可见，ab和cd边受的力大小相等 l2 而方向相反,所以合力为零,也不产生 力矩。 d en bc：f2 =Il2B, 方向垂直纸面向外; f2 f1 c ´ da：f2´=Il2B, 方向垂直纸面向内。 显然，bc和da边受的合力也为零。但 这对力偶对中心轴要产生力矩。
顺磁质在 B0 的作用下总的显示出磁性 B，且 ' B '与 B0同向 顺磁质中的磁场 B B0 B'
25
顺磁质中的磁场 B B0 B' B B0 B' B0 a 分子磁矩按外场 B0 取向，是顺磁质磁化的主要原因。
+q
1
结论:由于洛仑兹力的方向总是与电荷的运动方向 垂直,所以洛仑兹力对运动电荷不作功。
1.带电粒子在匀强磁场中的运动 B 因为洛仑兹力 f=qBsin =0，所以带电粒子在磁 场中作匀速直线运动。
^B
带电粒子作匀速率圆周运动。圆周运动的半径和 周期分别为
mυ R qB
^ / B
2m T qB
2
^ =sin
B
=cos
这两种运动叠加的结果是粒子以 B的方向为轴线 作等螺距螺旋线运动(见图)。
m sin 半径 R qB 2 m 周期 T qB 2m cos 螺距 h cosT qB
3
2m T qB
磁聚焦示意图
P点电子束的各电子速度大小相等，但方向各异； 一般来说，电子速度与磁场的夹角很小。cos 1,
由pm×B 可知，M 的方向垂直B向上。
18
2 R 1 4 kBr dr kBR 5 0 5
0
dI
例题 一矩形线圈a×b =10×5cm2，I=2A,可绕y 轴转动，如图所示。当加上B=0.5 i (T)的均匀外磁 场(B与线圈平面成=30º 角)时，线圈的角加速度为 β=2rad/s2， 求:(1)线圈对oy轴的转动惯量J=? (2)线 圈平面由初始位置转到与B垂直时磁力所作的功。 解 (1) 由M=pmBsin，得 y M=Iab B sin(90º - ) = IabBsin60º b I J=M/β=2.16×10-3 (kg.m2) a en (2)磁力所作的功为
9
Idl
对载流导体，可分为若干电流元积分：
F
Idl B 导体
对于放置在均匀磁场中长度为 l 的直载流导 线,其所受的安培力为
F Idl B I ( a dl ) B
a
b
b
B a
=I l×B 其大小： F=IlBsin 方向：
I
10
b
lB
l =ab
直载流导线受的安培力:
通过对霍耳电势差的实验测定 ,可判定半导体的类 型 , 还可以用下式计算出载流子的浓度。用霍耳效应 来测磁场，是现在一个常用的比较精确的方法。
1 IB VH ne b
7
例题半导体的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3 , 电流 I=1mA(方向沿x轴), 磁场B=3000Gs(方向沿z轴)，如图所 示；测得A、B两面的电势差uA-uB=5mv, 问: (1)这是P型 还是N型半导体？(2)载流子浓度n=? 解 (1) 由uA>uB , 判定是N型。 (2)由公式
I
b
b
B
l
b
11
直载流导线受的安培力: F Il B 又如，匀强磁场中的导线： a
R o
I
B
I a
B
b
R
o
b
圆弧受的力：
Fab Fab I 2 RBsin45
力的方向垂直纸面向外。
圆弧受的力：
F I 2R B
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例题 如图所示，无限长直电流I1和线段 AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力 及对A点的磁力矩。 解 由于每个电流元受力方向 B 相同(如图示)， 由公式 dF I1 dF=IdlBsin 得 x I dx L 2 μo I 1 I 2 dx F A 2(d x cos ) 0 d μo I 1 I 2 d L cos ln 2 cos d
' i' e 2
pm
Leabharlann BaiduI’
pm
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pm 由于外磁场 B0对运动电子有 洛伦兹力。 p m 这样在外场 B0的作用下，分子 f fm 电流产生附加磁矩 pm 。 I 附加磁矩 pm的磁场方向和外磁场 B0 的方向相反！！！ B 0 附加磁矩 pm的存在使外场 B 削弱。 0 说明： 结论是在 B0 ^ 轨道平面的情况得出的。 如果外磁场与轨道平面不垂直时，电子除公转和自旋外， 电子还会发生绕 B 方向的进动，这种进动也会有 pm 0 附加磁矩 pm的方向和外磁场 B0的方向相反！！！ 24
P点出发的各电子经过一个周期T后，都又会重聚于 同一点P′.这就是磁聚焦的基本原理。
4
2m 螺距 h cosT T qB
它已广泛地应用于电真空器件中,特别是电子显微镜中。
2 .霍耳效应 1879年,霍耳(A.H.Hall)发现下述现象:在匀强磁场 B中放一板状金属导体,使金属板面与B的方向垂直, 在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通以电流I,则 在金属板上下两个表面之间就会出现横向电势差 VH(见图)。这种现象称为霍耳效应,VH称为霍耳电 势差。 B 产生霍耳效应的原因： b 金属中的自由电子受洛仑 fm V 兹力的作用。 I H a 上下两个表面之间 的电场用EH 表示。
F Il B
例题在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电 流I, 求此段导线受的磁场力。 解 弯曲导线ab可分为若干电流元积分：
F Idl B I ( a dl ) B a
Il B
可见, 在匀强磁场中,弯曲 Idl 导线受的磁场力等于从起点到 终点的直导线所受的磁场力 。 a 力的大小：F=IlBsin 力的方向: 垂直纸面向外。