第十章-梁的应力-习题答案

解：
1、设截面形心距离下边缘为y1
则有
则形心到上边缘距离
于是截面对中性轴的惯性距为
2、作梁的弯矩图
C截面
B截面上
所以有 ， ，取安全系数为3.709。
10−13一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a，梁上荷载如图所示，已知l=6m，F1=60kN，F2=40kN，q=8kN/m，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试校核梁的强度。
从而有
又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力
由 得Байду номын сангаас，即
从而有
综上取 ，
10−20图示起重吊车AB行走于CD梁之间，CD梁是由两个同型号的工字钢组成，已知吊车的自重为5KN，最大起重量为10KN，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。CD梁长l=12m，试选择工字钢的型号。
解：
则由 得
又对于本题
所以
查表选25b号工字钢。
10−9两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
解：
1、第一种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中
矩形截面梁
则
2、第二种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中
矩形截面梁
则
10−10直径d=0.6mm的钢丝绕在直径D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E=2×105MPa，试求钢丝中的最大正应力。
解：作弯矩图
则由 得
即 ，得
10−8起重机连同配重等重P=50kN，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F=10kN，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A端为x，则有
，
从而确定出 ，
即梁内出现的最大弯矩为
1、设吊车A点距C端为x，则有
，
从而确定出 ，
即梁内出现的最大弯矩为
则由 得
又对于本题
所以
查表选16号工字钢。
2、设吊A点距C端为x，则支反力
，
从而确定出 ，
即梁内出现的最大剪力为
则对于16号工字钢，有
所以选16号工字钢。
由 得F≤8100N。
10−18图示结构中，AB梁与CD梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为h、b和h1和b，已知l=3.6m，a=1.3m，h=150mm，h1=100mm，b=100mm，材料的许用应力[σ]=10Mpa，[τ]=2.2Mpa，试求该结构所能承受的最大荷载Fmax。
解：
1、对于上梁
则曲率方程为
梁下边缘的线应变
下边缘伸长为
10−3已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。
10−4一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l=1.5m,q=8KN/m，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中
矩形截面梁
则由 得
即
10−6由两个28a号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa，求梁的许可荷载[F]。
解：作弯矩图
梁内的最大弯矩发生在跨中
矩形截面梁
则由 得
即
10−7圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa，试选择圆木的直径d。
作内力图
由 得 ，即
所以有
又由 得 ，即
所以有
2、对于下梁
作内力图
由 得 ，即
所以有
又由 得 ，即
所以有
综上，取
10−19图示木梁受一可移动的荷载F=40KN作用。已知[σ]=10Mpa，[τ]=3Mpa。木梁的横截面为矩形，其高宽比 ，试选择梁的截面尺寸。
解：
当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩
由 得 即
解：作内力图
则有
而
10−14一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l=6m，q=6kN/m，F=20kN，钢材的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa，试选择工字钢的型号。
解：作内力图
由 得
查表选25a（考虑5%误差可以选则22b）。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
（如为22b， ）
解：作内力图
由 得
查表选20a。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
所以工字钢型号为20a。
10−17图示简支梁是由三块截面为40mm×90mm的木板胶合而成，已知l=3m，胶缝的许用切应力[τ]=0.5Mpa，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载F。
解：
梁内的最大剪力值为0.5F
则胶缝处的最大切应力为
解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y1
则有
则形心到上边缘距离
于是截面对中性轴的惯性距为
2、作梁的弯矩图
设最大正弯矩所在截面为D，最大负弯矩所在截面为E，则在D截面
在E截面上
所以梁内 ，
10−5一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa，求梁能承受的最大荷载Fmax。
习题
10−1一工字型钢梁，在跨中作用集中力F，已知l=6m，F=20kN，工字钢的型号为20a，求梁中的最大正应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中
查表知20a工字钢
则
10−2一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为
解：
由 得
或
10−11一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10Mpa。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h:b，以及梁所需木料的最小直径d。
解：
由 得 ，又 所以 时 取极大值，所以弯曲截面系数最大时， ， ，即
梁内的最大弯矩
矩形截面梁
则由 得
即
10−12一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限σb=150Mpa，压缩强度极限σbc=630Mpa，试求梁的安全因数。
所以工字钢型号为25a（或22b）。
10−15由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa，许用切应力[τ]=100Mpa。试选择工字钢型号。
解：作内力图
由 得
查表选28a。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为
所以工字钢型号为28a。
10−16外伸梁AC承受荷载如图所示，Me=40KN.m，q=20KN/m。材料的许用应力[σ]=170Mpa，[τ]=100Mpa。试选择工字钢的型号。