第三章稳定性分析

例3-2 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应 曲线如下图所示，试确定其传递函数，并计算 tr和ts.
例3-3 已知图(a)系统的阶跃响应曲线如图(b)所 示，试求系统参数k1, k2和ɑ.
例3-4 已知系统的单位阶跃响应为 c(t)=1+e-t-2e-2t, (t≥0)
试求系统的传函，并确定系统的阻尼比ζ，自然 振荡频率wn，且在零初始条件下，求系统的单位 阶跃响应的超调量σ%和调节时间ts . (取△=5%)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%%==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间tptp BB
上上 升升 时时间间trtr
调调节节时时间间tsts
tt
典型例题
例3-1 系统结构图如下图所示,若要求具有性能 指标σ%=20%, tp=1s, 试确定系统的参数k和τ, 并计算单位阶跃响应的特征量td, tr和ts.
-0.75 p3
0 -j1.2
t
(a)闭环极点分布图
(b)单位阶跃响应曲线
3.4 稳定性分析
3.4.1 线性系统的稳定性概念
系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失
之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由
结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。
• 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，
– 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点 这一概念选择系统参数，使系统具有一对共轭复数主导极点， 这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。
3.3.5 高阶系统的时域分析
•特点：1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。
2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。
3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环
劳斯判据
–系统的特征方程式的标准形式：
a0sn a1sn1 L an1s an 0， a0 0
–劳斯表(Routh Array)
sn a0 a2 a4 a6 L sn1 a1 a3 a5 a7 L sn2 b1 b2 b3 b4 L sn3 c1 c2 c3 c4 L MMM
MMM
s2 e1 e2
s1
f1
s0 g1
劳斯判据 • 劳斯判据采用表格形式，即劳斯表：
sn a0 sn1 a1
sn2
c13
a1a2
a0a3 a1
sn3
c14
c13a3 a1c23 c13
a2
a3
c23
a1a4
a0a5 a1
c24
c13a5 a1c33 c13
M
a4
L
a5
L
c33
a1a6
a0a7 a1
L
c34
c13a7 a1c43 c13
L
s0
an
• 当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，
如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符
号的改变次数，代表系统不稳定根的数目，也就是系统正实部根
的个数。
劳斯判据：
– 系统特征方程的全部根都在S左半平面的充 分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数。
– 方程在S右半平面根的个数等于劳斯表中第 1列各元改变符号的次数。
–结论 –（1）高阶系统的单位阶跃响应由两部分组成: 稳态分量 , 与时间t无关，余下的部分为动态分量，与时间t有关。 –（2）若极点在左半S平面，则对应的响应分量是收敛的。 –（3）系统闭环极点的实部越小，即在S平面左侧离虚轴 越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大。反之， 系统闭环极点的实部越大… –（4）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在S平 面中的位置有关，并且与零点的位置有关。
A0 s
q j 1
Aj s pj
r
s2
k 1
Bk s Ck
2
k nk
s
2 nk
–单位阶跃响应为
q
r
xc (t) A0
Aj e pjt
B eknkt k
cos
1 k2nkt
j 1
k 1
r
Ck knk Bk eknkt sin
k 1 1 k2 nk
1 k2nkt
3.4 高阶系统的暂态响应
例3.4 设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据 判别系统稳定性。
解：列出劳斯表 s 4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
s1
6
0
s0
第一列数据不同号，
5
系统不稳定性。
➢注意两种特殊情况的处理：
3.4 高阶系统的暂态响应
–（3）主导极点: (i)如果高阶系统中距离虚轴最近的极点， 其实部小于其它极点的实部的1/5; (ii)附近不存在零点，可 以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。 事实上取1/8 或1/10. – 如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可 以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性 能指标来估计系统的暂态特性。
ζ从0到1变化时的单位阶跃响应曲线
如下图： 2.0
1.8
1.6
0.4
1.4
0.5
1.2
c(t)
0.6
1.0
0.7
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
=0
0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
3.4 高阶系统的暂态响应
–用部分分式展开得
Xc (s)
这相当于给系统加了一扰动信号。若lim g(t) 0 ，则系统稳定。
t
• 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根
都具有负实部.
➢判别系统稳定性的基本方法：
[S平面]
j
(1) 劳斯—古尔维茨判据 (2) 根轨迹法 (3) 奈奎斯特判据
稳定区域 不稳定区域
0
(4) 李雅普诺夫第二方法
零点有关。
•分析方法：1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。
2) 忽略偶极子的影响。
例如： (s)
(s
10 5)(s2 1.5s
2)
5( s
10 1)(s2 1.5s
2)
5Biblioteka Baidu
'(s)
s2
2 1.5s 2
(s 0.75
2 j1.2)(s 07.5
j1.2)
j
c(t)
p2 j1.2
p1 -5
3.4 高阶系统的暂态响应
–如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则 相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影响也就越小。如果 极点和零点靠得很近（称为偶极子），则该极点对暂态响应 几乎没有影响。
–如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应 的系数Aj将比较大。因此离原点很近并且附近没有闭环零点 的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂 态响应的影响很大。