翻折问题参考答案

翻折问题

一．解答题（共1小题）

1．（2014?西城区一模）阅读下列材料：

问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标．

小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设

折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，

0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）

请回答：

（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；

（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；

参考小明的做法，解决以下问题：

（3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标；

（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．

考点：一次函数综合题．

分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；

（2）作OA的中垂线即可；

（3）如图，设直线y=﹣x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以=，由FG=CB=6

解得DA=3，从而求得A点的坐标．

（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，

解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）；

（2）如图所示：

（3）如图，过点F作FG⊥DC于G ∵EF解析式为y=﹣x+n，

∴E点的坐标为（0，n），

∴OE=n

∴F点的坐标为（2n，0），

∴OF=2n

∵△AEF与△OEF全等，

∴OE=AE=n，AF=OF=2n

∵点A在DC上，且∠EAF=90°

∴∠1+∠3=90°

又∵∠3+∠2=90°

∴∠1=∠2

在△DEA与△GAF中，

∴△DEA∽△GAF（AA）

∴=

∵FG=CB=6

∴=

∴DA=3

∴A点的坐标为（3，6）．

（4）﹣1≤k≤﹣．

∵矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为﹣1，（2）当F点和B点重合时，k的值为﹣；

∴﹣1≤k≤﹣．

点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．

2．（2015?杭州模拟）将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是（）

A．6B．16 C．2D．4

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明DE=4，进而得到BE=14；证明△ABC为直角三角形，运用射影定理求出BC，即可解决问题．

解答：解：如图，连接CD、AC，过点C作CE⊥AB于点E；

∵，

∴∠CAB=∠DCB+∠DBC，

∵∠ADC=∠DCB+∠DBC，

∴∠CAB=∠ADC，AC=DC；

∵CE⊥AD，

∴AE=DE=4，BE=4+10=14；

∵AB为半圆的直径，

∴∠ACB=90°；

由射影定理得：BC2=AB?BE，

∴BC=6．

故选A．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答．

3．（2015?杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30°，这样的图形有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：如图②，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明∠FBE=∠EBG（设为α），此为解题的关键性结论；再次证明∠ABD=∠FBE=α，求出α=30°；

如图④，首先运用翻折变换的性质证明∠MAB=60°，求出∠BAC=60°，进而得到

∠ACB=，30°，即可解决问题．

解答：解：如图②，由题意得：AD∥CF，AC=BC

∴DF=BF，EF为直角△BDE斜边上的中线，

∴EF=BF，∠FBE=

∠FEB；而EF∥BC，

∴∠FEB=∠EBG，∠FBE=∠EBG（设为α）；

由题意得：∠ABD=∠FBE=α，而∠ABG=90°，

∴3α=90°，α=30°；

如图④，由题意得：AN=AB=2AM，∠AMB=90°，

∴∠ABM=30°，∠MAB=60°；

由题意得：∠NAC=∠BAC==60°，

∴∠ACB=90°﹣60°=30°，

综上所述，有一个锐角为30°的直角三角形有两个，

故选C．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．

4．（2015?沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B，折痕BM交GH于点I．若AB=4cm，则GI的长为（）

A．

cm B．

cm

C．

cm

D．

cm

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4，MN=MA（设为λ）；由勾股定理求得BQ=；在直角△MNP中，由勾股定理列出关于λ的方程，求出λ；运用

△BGI∽△BAM，列出关于GI的比例式，即可解决问题．

解答：解：如图，分别过点M、N作MP⊥GH、NQ⊥BC于点P、Q；

则MP=AG=3，NQ=BG=1，GN=BQ，GP=MA；

由题意得：BN=BA=4，MN=MA（设为λ），

由勾股定理得：BQ=，

∴PN=﹣λ；

由勾股定理得：，

解得：λ=；

由题意得：GI∥AM，

∴△BGI∽△BAM，

∴，

∴GI==，

故选D．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．

7．（2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：

①∠ABC=30°；

②弧AC的长与弧OC的长相等；

③弦BC的长为4；

④阴影部分的面积是，

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算．

专题：计算题．

分析：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC 得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=OB，则可根据含30度的直角

三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°；利用互余和等腰三角形的性质得

∠BOD=∠COD=60°，则可判断△OCD为等边三角形，所以∠ODC=60°，

然后根据弧长计算可计算出弧OC的长=π，弧AC的长=π，即弧AC的长与弧OC

的长相等；在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=OE=2，则有BC=4；由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到④正确．

解答：解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，

∵OD⊥BC，

∴BE=CE，

∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，

∴ED=EO，

∴OE=OB，

∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，所以①正确；

∴∠BOD=∠COD=60°，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴弧OC的长==π，

∵∠AOC=60°，

∴弧AC的长==π，

∴弧AC的长与弧OC的长相等，所以②正确；

在Rt△OBC中，OE=2，∠OBE=30°，

∴BE=OE=2，

∴BC=2BE=4，所以③正确；

∵OC=OB，

∴弓形OC的面积=弓形OB的面积，

∴S阴影部分=S扇形OAC==π，所以④正确．

故选D．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．

二．解答题（共1小题）

9．（2014?绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

考点：四边形综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；

（2）根据勾股定理即可求得．

（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以，从而求得PQ，由PN∥EG，

得出=，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．

解答：（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，

在△ADE与△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如图1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

设DF=x，则AF=CF=4﹣x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4﹣x）2，

解得：x=，

即DF=．

（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC==5

设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=

过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，

∴=

又∵在Rt△AEC中，EG?AC=AE?CE，解得EG=，

∴=，即PN=（3﹣x），

设矩形PQMN的面积为S，

则S=PQ?PN=﹣x2+4x=﹣+3（0＜x＜3）

所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．