高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.3.2

2.3.2平面与平面垂直的判定

一、基础过关

1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个

C．一个或无数个D．可能不存在

2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面经过另一个平面的一条垂线

C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的

3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()

①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；

②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.

A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．

6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.

8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.

(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；

(2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升

9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32

，则二面角B －AC －D 的余弦值为

( )

A.13

B.12

C.223

D.

32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立

的是

( )

A ．BC ∥面PDF

B ．DF ⊥面P AE

C ．面PDF ⊥面ABC

D ．面P A

E ⊥面ABC

11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，

点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .

12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点

D 、

E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .

(1)求证：BC ⊥平面P AC .

(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展

13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝

2，BC ＝ 6.

(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．

答案

1．C 2.D 3.B 4.B

5．45°6．5

7．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.

又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.

8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.

又AB∥CD，所以BE⊥AB.

又因为P A⊥平面ABCD，

BE⊂平面ABCD，

所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，

因此BE⊥平面P AB.

又BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面P AB.

(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，

所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．

在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P A

AB＝3，则∠PBA＝60°.

故二面角A—BE—P的大小是60°.

9．B 10．C

11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.

因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.

所以EF∥平面ABC.

(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故

CC1⊥A1D.

又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.

又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.

(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.

又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，