10.5恒磁场之圆柱面圆柱体和圆柱壳载流导体内外的磁感应强度

不妨取圆柱壳内半径与外半径之比为0.5。 空腔内的磁感应强度为 零，柱壳内的磁感应强 度随距离增加而增强， 圆柱壳外的磁感应强度 随距离的增加而减小。
在圆柱壳的内外表面，磁 感应强度强度是连续的。
B=
a
r P ds
B ⋅ d=π B 2 = µ0 I ′ 所 r Ñ s ∫
L
µ0 I
2πa
2
r
(r < a)
说明圆柱内各点的磁感应强度与距离成正比。
当电流均匀分布在无限长圆柱形导体 表面时，柱内的磁感应强度为零，柱 外的磁感应强度与距离成反比。 在圆柱的表面内外， 磁感应强度不连续。
当电流均匀分布上圆柱形导体的截面 时，柱内的磁感应强度与距离成正比， 柱外的磁感应强度仍与距离成反比。 在圆柱的表面内外， 磁感应强度是连续的。
{范例10.5} 圆柱面，圆柱体和圆柱壳载流 导体内外的磁场
(2)一圆柱壳内部是空腔，内外半径分别为b和a，电流强度仍 为I，均匀分布在截面上，求空间各点的磁感应强度。对于 不同厚度的空腔，电流的磁场随距离变化的规律是什么？ [解析](2)当电流均匀分布上圆柱壳截面上时， = µ0 I (r > a) B 2πr 在圆柱体外面，根据安培环路定理可得 I a 在空腔之中可得B = 0 (r < b) L B 如图所示，电流垂直纸面流出。 O r ds 2 - b2)， 圆柱壳的横截面积为S = π(a b P 电流的面密度为δ = I/π(a2 - b2)， (b < r < a) 所以
{范例10.5} 圆柱面，圆柱体和圆柱壳载流 导体内外的磁场
(1)一半径为a的无限长圆柱面，沿轴向的电流强度为I，求柱 面内外的磁感应强度，磁感应强度随距离变化的规律是什么？ 如果电流均匀分布在同样大小的圆柱体截面上，求解同样的 问题。(2)一圆柱壳内部是空腔，内外半径分别为b和a，电流 强度仍为I，均匀分布在截面上，求空间各点的磁感应强度。 对于不同厚度的空腔，电流的磁场随距离变化的规律是什么？ [解析](1)如图所示，由于电流在圆柱的表面呈轴对称分布，因 此磁场具有轴对称性，磁感应线在垂直轴线平面内是以轴线为 中心的同心圆。 过P点作一半径为r的磁感应线为积分环路L， 由于线上任一点的B量值相等， a = Ñ B ⋅ ds π B 2 r ∫L 方向与ds一致，所以环流为 L r B I µ0 I 如果r > a，则全部电流I穿过积分回路，B = Pds 2πr 根据安培环路定理得B2πr = μ0I，所以 (r > a) 无限长圆柱形载流导线外的磁场 与无限长直载流导线的磁场相同。
{范例10.5} 圆柱面，圆柱体和圆柱壳载流 导体内外的磁场
(1)一半径为a的无限长圆柱面，沿轴向的电流强度为I，求柱面 内外的磁感应强度，磁感应强度随距离变化的规律是什么？如 果电流均匀分布在同样大小的圆柱体截面上，求解同样的问题。 当场点P在圆柱体内时，如果电流均匀分布在圆柱形导线表面 层，则穿过回路的电流为零，由安培环路定理给出B2πr = 0， 即 B = 0 (r < a) 说明圆柱内各点的磁感应强度为零。 当电流均匀分布在圆柱形导线截面 上时，电流的面密度为δ = I/πa2， 在过P点的半径为r的圆形环路L中 穿过的电流为I' = δπr2 = Ir2/a2， 根据安培环 路定理得 L B L 以
2 2
.
{范例10.5} 圆柱面，圆柱体和圆柱壳载流 导体内外的磁场
(2)一圆柱壳内部是空腔，内外半径分别为b和a，电流强度仍 为I，均匀分布在截面上，求空间各点的磁感应强度。对于 不同厚度的空腔，电流的磁场随距离变化的规律是什么？ [讨论]
B=
µ0 I r 2 − b 2 1
2π a 2 − b 2 r
B=
在过P点的半径为r的圆形 I = δ π(r 2 − b 2 ) r 2 − b 2 I ′ = 2 2 a −b 环路L中穿过的电流为
r 2 − b2 根据安培环 ÑB ⋅ ds=π, B2 r= µ0 I ′= µ0 a 2 − b2 I ∫L 路定理得
µ0 I r 2 − b 2 1
2π a − b rБайду номын сангаас
(b < r < a) I L a B O r ds b P
①当b = 0时，B = µ0 I r (0 < r < a) 2πa 2 由上式可得 这是电流均匀分布在圆柱 体内的磁感应强度的公式。 ②当b→a时，r也趋近 于a，由上式可得
B→
µ0 I
2πa
这是电流均匀分布在圆柱面上时，表面的磁感应强度。 空腔内的磁感应强度为零。