数字信号处理【高西全 丁玉美编著】第一章总结

-------------------数字信号处理--------------------通信1103班--------------------
Chapter 1 第一章
温馨提示：亲爱的小伙伴们，在这个总结中我只是把我自己认为重要的总结了下来，仅供参考哦~~~ 1.1 引言
信号分为三类：1）模拟信号：自变量和函数值都是连续的。

2）时域离散信号：自变量离散，函数值连续。

它来源于对数字信号的采样。

3）数字信号：自变量和函数值都是离散的。

它是幅度化的时域离散信号。

1.2 时域离散信号
知识点1：模拟信号（时域连续，-------）经过“采样”变成时域离散信号，公式是：
x(n)=x a (nT)，-∞＜n ＜∞
可能会考：已知x a (t)表达式，和采样频率fs (或采样周期T=
fs
1
)，求时域离散信 号x(n)。

解答：用nT(即fs
n
1
)替换t ，整理就可。

知识点2：常用典型序列（时域离散信号）： 1）)(n δ和)(n u 不赘述；
2） 矩形序列)(n R N =u )(n -u )(N n -：（N 是矩形序列的长度）
实指数序列：a n x =)(n )(n u ，a 为实数。

3） 正弦序列：)sin()(n n x ω=，ω是“数字域频率”，单位是弧度（rad ）。

如果正弦序列是由模拟信号)sin()(t t x a Ω=采样得到，则)sin()(nT n x ω=，对比 两个)(n x 的表达式，可得
s
s s F f F f
F T ππω22==Ω=Ω=
（ω表示数字域频率，Ω和f 表示模拟角频率和模拟频率，s F 是采样频率）
由此公式得到以下结论：（进一步理解）
①上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。

②数字域频率无绝对意义，因其与采样频率有关，采样频率变大时，数字域频率变小。

③因为采样频率s F ≥2倍的模拟频率f ，所以数字域ω不会超过π。

4）复指数序列不赘述，但要注意其周期性（2π）。

5） 周期序列：
如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，是下面等式成立：
n x )(
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N 。

一般正弦序列的周期性：
)
(n x ，
要求
k
N 0
2ωπ
=。

式中，k 与N 均取整数，且k 取值只要保证N 是最小的正
整数，满足这些条件，正弦序列才是以N 为周期的周期序列。

具体正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。

例：sin(π/8)n ， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16，该正弦序列周期为16。

(2) 2π/ ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ ω0 =P/Q ，式中P 、Q 是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P ，则正弦序列是以P 为周期的周期序列。

例：（此例考的可能性很大）sin(4/5)πn ，ω0 = (4/5)π，2π/ω0 = 5/2，k = 2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。

（注意周期不是5/2，而是5，因为要保证周期N 为整数）
(3)2π/ω0是无理数，任何整数k 都不能使N 为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

例：ω0 =1/4，sin(ω0n)，即不是周期序列。

1.3 时域离散系统 1.3.1 线性系统
线性系统要满足的条件：
1. 可加性
2. 比例性（齐次性）
证明是线性的时，要证明两个条件都满足才可以； 证明不是线性的时，只要一条不满足即可否定。

注意书上11页【例1.3.1】！ 1.3.2 时不变系统 判定步骤：
（1）看x(n)的输出 T[x(n)]
（2）看x(n-n0)的输出T[x(n-n0)] （3）将y(n-n0)写出来
（4）判定T[x(n-n0)]是否等于y(n-n0)，如果等于就是时不变系统，不等于是时变系统。

-------------------数字信号处理--------------------通信1103班--------------------
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 掌握下图：
理解：系统输出等于输入与单位取样响应h(n)的卷积。

求卷积主要用“图解法（列表法）”： 作业题第7题重点掌握。

答案如下：
Y(n)={-2,-1,-0.5,2,1,4.5,2,1;n=-2,-1,0,1,2,3,4,5} 1.3.4 系统的因果性和稳定性
因果性充分必要条件：单位取样响应h(n)=0 (n<0)
稳定性充分必要条件：单单位取样响应绝对可和：
1.4 时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程 1.4.1线性常系数差分方程 x(n)和y(n)分别是系统的输入序列
和输出序列，ai 和bi 均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项。

1.4.2线性常系数差分方程的求解
重点掌握“递推解法”，看书上课后题第11题。

答案如下：
设系统由下面差分方程描述：
11
()(1)()(1)22
y n y n x n x n =-++-；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

h (n )x (n )y (n )＝x (n ) h (n )*()n h n ∞
=-∞
<∞∑
01()()()M N
i i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑
解：
令：()()x n n δ=
11
()(1)()(1)22h n h n n n δδ=-++-
2
11
0,(0)(1)(0)(1)12211
1,(1)(0)(1)(0)1
2211
2,(2)(1)2211
3,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==
-++-===++====
=== 归纳起来，结果为
11
()()(1)()2
n h n u n n δ-=-+
1.5 模拟信号数字处理方法
主要内容是：模拟信号的采样与恢复 主要掌握两个公式：
这是关于采样定理的重要共识，根据该公式要求对采样信号的采样频率要大于等
于该信号的最高频率的两倍以上，才能得到不失真的采样信号。

这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的差值公式。