湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(理科)试题 含答案

长沙市一中2020届高三月考试卷(一）

数学（理科）

时量：120分钟 满分:150分

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={3

|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3

C. 2

D. 1

2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=z

A. 2-i

B.-l + 2i

C.-1-2i

D.-2+3i

3.设R x ∈，则“1<2

x ”是“1

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-

B. 257

C. 2524-

D. 25

24

5.设4

3

432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是

A. a

B. a

C. b

D. c

6.函数||lg )33()(x x f x

x

-+=的图象大致为 （D)

7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?

8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动

物 (鼠、牛、虎、

兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种

B. 60 种

C. 70 种

D. 90 种

9.将函数)62sin(2)(π

-

=x x f 的图象向左平移

6

π

个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C) A.函数)(x g 的最小正周期是2

π

B.函数)(x g 的图象关于直线12

π

-=x 对称

C.函数)(x g 在)2

,6(π

π上单调递减 函数)(x g 在)6

,

0(π

上的最大值是1

10.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2

两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=a

A.-1

B. 0

C. 1

D. 3

11.设函数⎩

⎨⎧=为无理数为有理数

x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：

①1))((,=∈∀x f f R x ;

②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；

⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.

12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥

D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.

35π B. π2 C. π5 D. 3

20π

二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上。 13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+，且当)2

3

,0[∈x 时，2

)(x x f -=，则=)2

11(f 14.已知△ABC 是等腰直角三角形，|AC|=|BC| =1，)(2CB CA CP +=，则=⋅)BP AP .

15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”如果把以上

这段文字写成公式就是)]2

([412

2222b c a c a S -+-=，其中a,b,c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin

C=2sin

AcosB ，且b 2,2,c 2

成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为

5

5

2. 16.若),0(,),,0(21e x x e m ∈∃∈∀，且21x x ≠，使得22112

ln ln 2)2(x ax x ax m -=-=+-，则实数a 的取值范

围是 （e 为自然对数的底数）.

三、解答题:本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.(本小题满分12分)

已知△ABC 是的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足b

c

b a B A 2cos cos =

+且4=b . (1)求角B ；

(2)求△ABC 周长的最小值. 18.(本小题满分12分）

已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，AC∩BC=0， P B⊥AC，PA= PB=AB=2CD=22，AC=3. (1)证明：平面PBD 丄平面ABCD ；

(2)点E 是棱PC 上一点，且OE//平面PAD,求二面角E —0B —A 的正弦值. 19.(本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: )0>,0>(122

22b a b

y a x =+左、右焦点分别为F1,F2 ,P 为椭圆C 上

一点，且PR 垂直于x 轴， 连结并延长交椭圆于另一点Q ，设F 1λ=.

(1)若点P 的坐标为(1，

2

3

)，求椭圆C 的方程； (2)若43≤≤λ,求椭圆C 的离心率的取值范围.

20.(本小题满分12分）

某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，

x 为收费标准(单位:元/日）为人住天数(单位:天），以频率作为各自的“人住率”，收费标准x 与y 人住率、的

散点图如图.