固体物理振动量子化优秀课件

3.4 晶格振动谱的实验测定方法
X光： hω~104eV 声子： hω~0.01eV X光与声子互相碰撞，光子能量变化只有1/106。 中子能量约为0.02eV，相应的德布罗意波长为2Å， 与晶格常数同数量级。 即满足衍射要求，又能精确测定经声子散射后的非弹 性散射谱。 设入射中子束的动量p=hk，被晶体散射后，动量变 为 p′=hk′。
Pq 2 q2 Qq 2 H q
q
每个单项1 2
Pq 2 q2 Qq 2 ， 也就是每个H q代表一个
简谐振子的能量。
由于q可取N个分立的值，所以H为N个独立简谐振子
的能量之和。
这样可将式子改写为
Hˆ
N i 1
Hi
1 2
N i 1
Pi 2 i 2 Qi 2
根据量子力学，频率为i的格波能量是量子化的
P 3an NL
2
H
jk
1K
x2
j 1
k
2M
jk
2
jk jk
其量子化能量形式
E
3an j 1
NL
k
j
(k
)(n
jk
1) 2
3.3.2 声子*
晶格振动是晶体中原子集体的振动，其结果表现为 晶格中的格波。一般格波不一定是简谐的，但可以展 开成简谐平面波的线性叠加。振动微弱时，格波可以 认为是简谐波，互相独立，分别对应于一个振动态 （q），晶格的周期性已给予了格波以一定的边界条件 （玻恩卡门条件），使独立的振动模式分立。因此， 可以用独立的简谐振子的振动来描述格波的独立模式， 这就是声子的由来。
i
i
ei / kBT
1
当T
0时 ， i
1 2
i
当x 0时，ex 1 x
当kBT i时：
i
1 2
＋i
i i
忽略零 点能 i
kBT
kBT
晶体中倒 易点阵的FBZ中任何一个波矢k对应的谐振频
率
j (k )，就对应于第（j,k）种声子，标记为
n
jk
。
声子能量：
动量：
p
k
j(k ) (k
i
(ni
1 2
)i
h 2π
系统的总能量为
E
N
i
i 1
N
(ni
i 1
1 2
)i
也是量子化的。
ni 0,1,2,3...
三维晶格能量量子化
简正模式
u
jk
(
R0
(l
,
m),
t
)
等效于独立的谐振子，振动频率为 j (k )
l3naNL种简正模式数等效成3naNL个谐振子，原子振 动的总哈密顿量H为：
波函数反对称
自旋磁量子数为半整数(
1
,
3
,
5
)
222
玻色子：光子、声子、 氘核、 氢原子、 粒子等
不服从泡利不相容原理 遵循玻色－爱因斯坦统计分布 波函数对称 自旋磁量子数为0或正整数
2001年，美国科学 家埃里克·康奈尔、卡 尔·维曼和德国科学家 沃尔夫冈·克特勒。他
们根据玻色-爱因斯坦
固体物理振动量子化
3.3 晶格振动量子化和声子*
3.3.1 格波的量子理论
晶格每个原子的振动是一些独立振动模式的叠加。
一维单原子链中第n个原子在波矢q下 的振动方程为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
xn (q) Ae i(tqna) A eit eiqna Aqeiqna
全部q值下：xn
q
xn (q)
q
Aqeiqna
Kh
)
因此称为准动量
声子和光子一样都是玻色子（波函数对称的粒子，如 光子、氢原子），数量不守恒。（费米子：波函数反 对称的粒子，如电子、质子等）
光子静止质量为0，光速恒定。
声子质量无定义，对应振动模式有两个横波和一个纵 波。
费米子：电子、质子、中子等
服从泡利不相容原理
遵循费米－狄喇克统计分布
晶格振动的每一个格波，都可以看作是由数目为ni
能量为ħi的理想声子组成的，整个系统则是由众多声 子组成的声子气体。
i
(ni
1 2
)i
声子属于玻色子系统，当系统处于热平衡时， 频率为i的格波的平均声子数由玻色统计给出：
频率
为
的
i
格波
所
含的
平均
声
子数
：
ni
1 ei / kBT
1
格波的平均能量为：i
1 2
每个格点的独立 状态总数是N。
一维单原子链的总哈密顿量(动能 势能)：
E T U 1 m 2n
xn2
1 2
n
( xn1 xn )2
简谐近似下，只考虑最近邻一对原子间的势能：
u(r)
1 2
2
1 2
(xn1
xn )2
在上式中，系统的总能量即总哈密顿量包含诸原子 的速度和坐标，和两个原子的交叉项。带来了理论计 算的困难，需要进行坐标变换。
物质波：PE
h
h
PE
q
理论发现了一种新的物 质状态——“碱金属原 子稀薄气体的玻色-爱 因斯坦凝聚(BEC)”。
2001年诺贝尔奖。
特点
➢声子是准粒子，晶体集体振动可以看作是由不同能 量的理想声子组成的声子气体。晶体振动的热能就是 声子的总能量。 ➢各种微观粒子与晶格振动系统的相互作用，可以看 成是这些粒子与声子相互作用或碰撞，这些碰撞服从 能量守恒和准动量定律。 ➢热传导可以看成是声子的扩散，热阻可以看成是声 子的散射。 ➢声子遵循能量守恒和动量守恒定理，但声子数不守 恒。 ➢声子数和温度有关。 ➢当其他粒子与晶格振动相互作用时，能量交换的最 小单元为ħω。
ωNqN
εN
ω3q3
ε3
ω2q2
ε2
ω1 q1
ε1
N-2 n-1 n n+1 n+2
xn xn (q) Aqeiqna
q
q
q
1 Nm
Nm Aq eiqna
Qq：简N正1m坐标q Q，q 正 e则iqn坐a 标，正行则波变坐换标，么位 到正置 状变空 态换间 空转 间变 。
经过运算后有T U
1m 2
1
n
2 n
xn 2
1 2
q
Q q 2
( xn1
xn )2
1 2
q
q2 Qq 2
H T U 1
2
q
Q q
2
q2
Qq
2
Hˆ：算符，哈密顿量 Hˆ E
若令广义动量Pq Qq， 则晶格振动的总哈密顿量为
H T U 1
2
q
Q q 2 q2 Qq 2
1 2q
根据量子力学，独立振子的能量是量子化的，因此 可以用独立简谐振子的坐标代替晶格原子的位置坐标， 即从个别原子的运动描述过渡到原子集体运动的描述， 系统晶体振动的总能量即可表述为独立简谐振子的能 量之和，系统的哈密顿量就变为平方和的形式。
这相当于一个坐标变换。为此，引进简正坐标Q q， 对xn进行坐标变换。
由于中子与声子的相互作用满足能量守恒和动量守恒 定律。 因此在散射过程中的能量守恒定律可以写成
2k 2 2k2 (q)
2mn 2mn