10.3__二阶常系数线性差分方程

yn C11n C2n2 其中1 , 2 由 (10 26) 给出, C1 , C2 为任意常数.
例1 求差分方程 yn2 4 yn1 5 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 4 5 0 解得两个相异实根 1 1, 2 5, 于是,
所给方程的通解为 y(n) C1 C2(5)n
C1
1 4
1,
5(C1
C2
)
3 4
0
解得
C1
3 4, C2
9, 10
因此，方程满足条件的特解为
y 3 9 n 5n 1 3n . 4 10 4
例6
求方程
yn2
yn
2cos
πn 2
sin
π n 的通解. 2
解 对应齐次方程的特征方程为
2 1 0 解得 x i , 知 r 1, π ,
y * (n) n( Acos n B sin n)
A, B 为待定系数
y * (n) n2 ( Acos n B sin n)
A, B 为待定系数
取试解的条件
d 不是特征根 d 是单特征根 d 是二重特征根
r cos isin
不是特征根
r cos isin
是单特征根
r cos isin
对应齐次方程的通解为
y C12n ( 5)n (C2 cos n C3 sin n) 其中 arctan2, C1 , C2 , C3 为任意常数.
设所给方程的特解为 y(n) a An2n , 代入方程，有
4a 10An 2 1 2n
比较系数,
得
a 1, A 1 ,
4
10
2
所以对应齐次方程的通解为
y
C1
cos
π 2
n
C2
sin
π 2
n
设所给方程的特解为
y(n) n Acos π n Bsin π n ,
2
2
代入方程得
2Acos π n 2B sin π n 2cos π n sin π n
2
2
2
2
比较同类项系数, 得 A 1, B 1 , 所以 2
1 a0 7 ,
13 a1 14 ,
所以, 所给方程的特解为
y(n) 1 n2 13 n 7 14
从而得到所给方程的通解为
yn
C1
C2 (5)n
1 7
n2
13 n 14
其中C1 , C2 ห้องสมุดไป่ตู้任意常数.
例5 求方程 yn2 10 yn1 25 yn 3n 满足条件 y0 1, y1 0 的特解.
其中C1 , C2 为任意常数.
2. 特征方程有二重根
即当判别式 a2 4b 0 时, 方程 (10 25) 有二重根
1
2
1a, 2
于是方程 (10 24) 有一个特解
y1
(n)
1 2
a
n
可验证方程 (10 24) 有另一特解
y2 (n)
n
1 2
a
n
且由
y1(n) 1 常数 , y2(n) n
y
(n)
n
cos
π 2
n
1 2
sin
π 2
n
,
从而得所给方程的通解为
yn
(C1
n)cos
π 2
n
C2
1 2
n
sin
πn 2
其中C1 , C2 为任意常数.
三、n 阶常系数线性差分方程
解决形如 ynk a1 ynk1 ak1 yn1 ak yn f (n) 的 k 阶常系数线性差分方程的求解问题, 其中a1 , a2 ,, ak 为已知常数, 且 ak 0 .
即当判别式 a2 4b 0 时,
方程 (10 25) 有两个相异实根
1
1 2
(a
),
2
1 (a 2
)
于是方程 (10 24) 有两个特解
(10 26)
y1(n) 1n , y2(n) n2 且由 y1(n) 1 n 常数
y2(n) 2
知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关, 从而得到方程 (10 24) 的通解
是二重特征根
例4 求方程 yn2 4 yn1 5 yn 2n 3 的通解. 解 由例1, 对应齐次方程的通解为
y C1 C2(5)n 设 y(n) n(a0n a1) a0n2 a1n, 代入方程, 有
(12a0 4a1 )n (8a0 2a1 ) 2n 3
比较系数，解得
2. 用待定系数法求非齐次方程 (10 28) 的通解. 关键是要根据 f (n)的形式特点设定试解函数
y * (n).
例7 求方程 yn3 4 yn2 9 yn1 10 yn 1 2n 的通解. 解 对应齐次方程的特征方程为
3 42 9 10 ( 2)(2 2 5) 0 解得 1 2, 2 1 2i, 3 1 2i , 于是
2 a b 0
(10 25)
方程 (10 25) 称为方程 (10 23) 或(10 24) 的特征 方程,
特征方程的解称为特征根或特征值.
根据二次代数方程 (10 25) 解的三种情况，可 以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方 程(10 23)的通解.
1. 特征方程有两个相异实根
r
a
2
2
b
2 2
tan 1 4b a2 ,
a
a 0时, π
2
(0, π);
(10 27)
r 又称为复特征根的模, 为复特征根的辐角.
又因 y1(n) cot n 常数 ,
y2(n) 知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关,
所给方程 (10 24) 的通解可表示为
知 y1(n) 与 y2(n) 线性无关,
从而得到方程 (10 24)的通解
yn
(C1
C2
n)
1
a
n
2
其中C1 , C2 为任意常数.
例2 求方程 yn2 10 yn1 25 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 10 25 0 解得特征根为 5 ( 二重), 于是,
所给方程的通解为 yn (C1 C2n)5n
y * (n) nQ(n) a0nm1 a1nm amn a0 , a1 , , am 为待定系数
a b1 0 且 a 2
y * (n) n2Q(n) a0nm2 a1nm1 amn2 a0 , a1 , , am 为待定系数
a 2, b1
f (n) 的形式
f (n) ed n
f (n) b1 cos n b2 sin n 或 b1 cos n 或 b2 sin n
试解 y * (n) 的形式
y * (n) Ad n , A 为待定系数 y * (n) And n , A 为待定系数 y * (n) An2d n , A 为待定系数 y * (n) Acos n B sin n A, B 为待定系数
解 由例2, 对应齐次方程的通解为
y (C1 C2n)5n
设所给非齐次方程的特解 y(n) A3n ,
代入方程后, 得 4A 1
解得 所以
A 1, 4
y(n) 1 3n , 4
从而得到所给方程的通解
yn
(C1
C2n)5n
1 3n 4
其中C1 , C2 为任意常数.
又由 y0 1, y1 0, 有
§10.3 二阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解 二、非齐次方程的特解和通解 三、n 阶常系数线性差分方程
一、齐次方程的通解
二阶常系数线性差分方程的一般形式为 yn2 ayn1 byn f (n), n 0, 1, 2, (10 23) 其中a, b 为已知常数, 且 b 0, f (n) 为已知函数.
(10 28)
方程 (10 28) 对应的齐次方程为 ynk a1 ynk1 ak1 yn1 ak yn 0
(10 29)
求解非齐次方程(10 28) 通解分两步进行： 1. 求对应齐次方程(10 29) 的特征方程
k a1k1 ak1 ak 0
(10 30)
的 k 个特征根, 进而求得 (10 29) 的通解.
方程 (10 23) 的对应齐次方程为
yn2 ayn1 byn 0,
(10 24)
设 yn n 为方程 (10 24) 的特解, 其中 为非零待定系数, 代入方程后, 有
n(2 a b) 0
因n 0, 故函数 yn n 是方程 (10 24) 的特解的 充分必要条件是 满足方程
其中C1 , C2 为任意常数.
3. 特征方程有两个共轭复根
即当判别式 a2 4b 0 时,
方程 (10 25) 有两个共轭复根
1
1 (a 2
i
),
2
1 (a 2
i
),
通过直接验证可知, 方程 (10 24)有两个特解
y1(n) rn cos n, y2(n) rn sin n
其中
y(n) rn(C1 cos n C2 sin n)
其中C1 , C2 为任意常数.
例3 求方程 yn2 2 yn1 5 yn 0 的通解. 解 特征方程为
2 2 5 0 解得特征根 1 1 2i , 2 1 2i , 因此
所给方程的通解为
y(n) rn (C1 cos n C2 sin n) 其中r 5 , arctan2, C1 , C2 为任意常数.
二、非齐次方程的特解和通解
方程 (10 23) 的特解试解的设定方法参照下表 10 2
f (n) 的形式
试解 y * (n) 的形式
取试解的条件
y * (n) Qm (n) a0nm a1nm1 am a0 , a1 , , am 为待定系数
a b1 0
f (n) Pm (n) Pm (n) 为 m 次 多项式
于是所得方程的特解为 y(n) 1 1 n2n 4 10
从而解得所给方程的通解为
y C12n (
5
)n
(C
2
cos
n
C3
sin
n)
1 4
1 10
n2n
其中 arctan 2, C1 , C2 , C3 为任意常数.