第五章 对流-扩散方程的离散格式
第五章——对流-扩散问题的有限体积法
混合格式兼具中心差分格式和迎风差分格式的优 点，具有守恒性、有界性和迁移性，其缺点是按 Taylor级数展开后截断误差为一阶，精度不高
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
边界条件处理：
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
上机课：高速流计算
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
一维稳态对流-扩散问题的有限体积法 举例：考虑一维无源项的稳态对流-扩散问题： （核心区的稳态能量方程） d d d d ( u ) ( ) ( u ) 0 dx dx dx dx
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
W
uw
w
P
x
xwp
ue
e
E
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
P点中心差分
d ( u ) 0 dx
x pe
xWP
xPE
d d ( uA ) e ( uA ) w (A ) e (A ) w dx dx
设： F u
D x
w e De 有： Fw ( u) w Fe ( u ) e Dw xWP xPE
aPP aWW aEE
第五章 对流-扩散问题的有限体积法
当速度较大时，采用中心差分格式处理边界值， 下游边界条件对数值计算法
离散格式的性质： （1）在数学上，一个离散格式必须要引起很小 的误差才能收敛于精确解，即要求离散格式必 须稳定或网格必须满足稳定性条件。 （2）在物理上，离散格式所计算出的解必须要 具有物理意义，对于得到物理上不真实的解的 离散方程，其数学上精度再高也没有价值
FeE FwP De (E P ) Dw (P W )
[(Dw ) ( De Fw ) ( Fe Fw )]P DwW ( De Fw )E
热流问题数值计算Chapter 5(1)
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2007年11月29日, 西安热流问题数值计算第五章有回流的流动与换热第流场数值计算概述5.1.1两类主要流动与两类数值解法5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1.两类主要流动2.两类数值求解方法5.1 流场数值计算概述5.1.2强制对流的涡量方程5.1.3一维模型方程5.1.1 两类主要流动与两类数值解法回流型，其基本区别在于是否存在漩涡(vortex)vorticity) 的区别漩涡是一种宏观的流动形态，特点是流体速度发生反转；涡量是粘性流体的基本特性，只要是粘性流体流动中必有涡量。
动力工程中大多为回流型（椭圆型）流动。
本章仅介绍回流型流动的数值解法。
2. 两类数值求解方法数值求解回流型的流动可以大别为原始变量法与涡量流函数法。
原始变量法u,v,p为求解变量，由于不可压缩流体没有关于压力的独立的方程，数值求解时需要做特殊处理；5.1.3一维模型方程为研究离散格式基本特点又不使过程复杂化，5.1.4两种构造对流项离散格式的方法1. Taylor控制容积积分法－给出界面上被求函数的插值方式对同一种格式，如控制容积积分法得可以认为是控制容积内导数积分中5.2.1 中心差分5.2.2 迎风差分5.2.3 混合格式5.2.4 指数格式5.2.5 乘方格式5.2对流扩散方程的离散格式本节中通过将一维模型方程在取分段线性型线，经整理可得：()eexδΓ+−EaWa做如下变化：()e e x δΓ++为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算中质量守恒一定要满足，于是下列两点边值问题：Pe 随当当当得出结果如右。
，4P =100,W φ=5.5.2 一维对流-扩散方程的迎风控制容积法的定义－界面上未知函数永远取上游Patankar教授提出一种专门符号表示FORTRAN 的Max：,X Y，于是有：(),0,0e P e E eu F Fρφφφ=−−类似地有：(),0,0w W w P wu F Fρφφφ=−−3.对流项一阶迎风、扩散项中心差分的离散方程P P E E W Wa a aφφφ=+,0E e ea D F=+−()P E W e wa a a F F=++−,0W w wa D F=+由于0,0E W a a ≥≥因此FUD 总可以得出物理上合理的解（physically plausible solution )，自五十年代提出以来，半个世纪中得到广泛地采用。
对流扩散方程数值方法
4
情况
E100,W50
E50,W100
P 25 P 125
适用条件有限
➢ 当P 2 时，系数变成负数，会产生振荡
➢ 小适，用或条只件能P处理2 流速这比意较味小着的：问网题格步长必须很
5.2.3 一阶迎风格式
➢ 1.积分离散和格式推演
d(u)
dx
ddx
d
dx
(u)e(u)w d d x e d d x w
5.2.4 指数格式
➢ 1．指数格式推演，根据精确解表达式
L 0 0 e e x x p p ( ( u u L x// ) ) 1 1 e x p e ( x P p e (P x e ) / L ) 1 1
对流-扩散总通量密度
J u d
dx
L 0 0 e e x x p p ( ( u u L x// ) ) 1 1 e x p e ( x P p e (P x e ) / L ) 1 1
1Pe 2
,
0
当 P e2 aED e0
同理可得
aWDwPw,
1Pw, 2
0
2．混合格式评述
➢ 当Pe 2 时，与中心差分格式相同 ➢ 当Pe 2 时，为扩散项=零的迎风格式 ➢ 形式简单，兼有中心差分和迎风格式的优点，
较为适用
5.2.6 乘方律格式
➢ 1．乘方律格式提出和构成[Patankar] 四条包络线
a P a E a W (F e F w )
2. 一阶迎风格式评述
➢ 符合对流项物理意义，离散系数恒>零，无数 值振荡。得到广泛的应用。
➢ 迎风思想：二阶迎风、三阶迎风和QUICK格式 都很好地吸取了迎风思想：让信息主要来自流 动上游方向
对流扩散问题有限体积法
流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
①，即纯扩散，无对流。
②，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。
第五章对流扩散问题(假扩散 高阶格式差分方程的求解)
第五章 对流扩散问题———假扩散
在P点的控制容积上对上边的 NW 微分方程进行积分，则：
1 6 N 5 w P E NE
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0
W 2 SW
A 迎风格式
u(Te Tw ) v(Tn Ts ) 0 ue / w 0
n bb a EE n a EE WW WW b
第五章 对流扩散问题———假扩散
A5.3 PDMA算法 对五对角阵，有没有类似三对角阵TDMA那样的直接 求解方法呢？实际上对五对角阵，人们也可以找到相 应的直接求解方法，这个方法就是PDMA算法。下边 以一维为例来介绍这个算法。
第五章 对流扩散问题———假扩散
由此可见，对一维而言，所得到的差分方程不再是可以 用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，而变成一个五对 角阵方程。对二维或三维而言，逐线联立求解的方程组 也不再是可以用TDMA直接求解的三对角矩阵方程，也
变成一个五对角阵方程。
那么，针对这样一种五对角方程，通常我们如何来求解 它们呢？
假设经过代入后得到的上三角方程为
i Ai i 2 Bi i 1 Ci
*#
问题的关键就变成为：找出系数Ai, Bi与Ci和系数a, b, c, d
, e及f之间的关系。为此，写出i-2点的上三角方程如下：
i 2 Ai 2i Bi 2i 1 Ci 2
****
(****)*(di+ eiBi-2)，有：
(di ei Bi 2 )i 1 Ai 1 (di ei Bi 2 )i 1 Bi 1 (di ei Bi 2 )i Ci 1 (di ei Bi 2 )
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
2.4常用的离散格式
低阶格式的假扩散特性
迎风格式,指数格式,混合格式及乘方格式等 一阶格式应用于实际问题时都可能引起较严 重的假扩散,这在HVAC领域的高大空间流体 流动及传热计算中尤为明显. 因此,为了有效地克服或减轻假扩散所带来的 计算误差,空间导数应当采用二阶或更高阶的 格式(如QUICK格式,二阶迎风差分格式等).
离散格式
假设速度场已知，则为求解离散方程，需计算广义未 知量在边界e和w处的值。
为完成这一任务，必须决定界面物理量如何通过节点 物理量的插值表示。
各种不同的插值方法就构成了不同的离散格式。
中心差分格式
一阶迎风格式
混合格式
指数格式
乘方格式
1
2.4.1术语的约定
对离散格式的讨论以一维稳态对流扩散方程为例，不 涉及瞬态项。
3
Central differencing scheme 中心差分格式
(x) P
P
interpolated value
e E
eE
We determine the value of at the face by linear
interpolation between the cell centered values.就是界 面上的物理量采用线性插值公式来计算。
基于此限制，中心差分格式不能作为对于一般 流动问题的离散格式，需创建其它更合适的格 式（对纯扩散稳态，如热传导是适用的）。
5
对流扩散方程的精确解
6
精确解随Pe数的变化
（Pe＝0纯扩散，Pe增大对流增强）
7
具体算例
（不同计算工况意味着不同Pe数）
8
第一种工况Pe=0.2
尽管网格粗糙，但数值解与精确解非常接近。
对流方程及其解法
对流方程及其解法对流方程是描述流体运动的最基本方程之一，涉及热、动量、物质等的传递现象，对于各种物理问题的研究都具有重要意义。
本文将从对流方程的基本形式和意义出发，探讨其常见解法及相关应用。
一、对流方程的基本形式与意义对流方程是描述流体中质量、热量和动量传递的方程，其基本形式可以写作：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\phi =\nabla\cdot(\Gamma\nabla\phi) $$其中，$\phi$为描述流体量的变量，如温度、密度、浓度等；$\mathbf{v}$为流体的流速，$\Gamma$为扩散系数。
对该方程的解析求解较为困难，故通常采用数值方法进行求解。
下面介绍几种常见的数值解法。
二、有限差分法有限差分法是在连续方程的基础上，利用有限差分代替导数，将微分方程变为代数方程组，从而利用计算机求解的方法。
其基本思想是将求解区域划分为有限个网格，对每个网格内的量用差分代替导数，从而得到有限差分方程。
以简单的二维对流扩散为例，其对流方程为：$$ \frac{\partial\phi}{\partial t} + u\frac{\partial\phi}{\partial x} + v\frac{\partial\phi}{\partial y} = \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \Gamma\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} $$其中，$u$和$v$分别代表$x$和$y$方向的流速。
对该方程进行离散，假设$\phi_{i,j}$为$x=i\Delta x$，$y=j\Delta y$处的$\phi$值，则可以得到：$$ \frac{\phi^{k+1}_{i,j} - \phi^k_{i,j}}{\Delta t} +u\frac{\phi^k_{i+1,j} - \phi^k_{i-1,j}}{2\Delta x} +v\frac{\phi^k_{i,j+1} - \phi^k_{i,j-1}}{2\Delta y} $$$$ = \frac{\Gamma\Delta t}{(\Delta x)^2}(\phi^k_{i+1,j} -2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i-1,j}) + \frac{\Gamma\Delta t}{(\Deltay)^2}(\phi^k_{i,j+1} - 2\phi^k_{i,j} + \phi^k_{i,j-1}) $$其中，$k$为时刻，$\Delta x$和$\Delta y$分别为$x$和$y$方向的网格间距。
第5章-对流-扩散方程的离散格式
uL
0
Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。
0
4/59
传热与流体流动的数值计算
二、对流项的中心差分
d d d u 采用控制容积积分法 对方程 dx dx dx e u e w u w P 2 2 x w x e
aE De Fe ,0 , aW Dw Fw ,0
对流项一阶迎风：
aW i 1 aE i 1 P ,0 1 P ,0 P D D
12/59
传热与流体流动的数值计算
A P P
B P A P P A P P ,0 P B P A P P ,0
24/59
传热与流体流动的数值计算
四、aE、aW的通用表达式
* Je B Pe P A Pe E
J d J P D d x x
*
18/59
传热与流体流动的数值计算
一、通量密度及其离散表达式（续）
J*的离散表达式：
J * Bi Ai 1
Behind Ahead 界面后的项 界面前的项 以坐标轴正方向为依据的“前”、“后”。
19/59
传热与流体流动的数值计算
负系数会导致物理上不真实的解。
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传热与流体流动的数值计算
三、对流项的迎风格式
Taylor展开法
d i i 1 , ui 0 dx i x
i 1 i , ui 0 x
控制容积积分法 e界面 ue 0 , P ; ue 0 , E w界面 uw 0 , W ; uw 0 , P
第五章对流扩散问题(假扩散)
该问题的数值解如下：
1 n i
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
MUD : du d ux d (( ) ) dx dx 2 dx
第五章 对流扩散问题———假扩散
由图可以看出，在区间 P 2 ，中心差分格式预报的 P 值优于迎风格式的预报值。对比这两种格式，其扩散项 的处理是完全相同的，所不同的仅仅是对流项的处理上 ，在中心差分格式中对流项的差分格式具有二阶精度， 而在迎风格式中对流项的差分格式只具有一阶精度。在 区间 P 2 ，两种格式预报 P值所表现出的差异性恰恰是 这两种格式精度不同的体现。观察上图，迎风格式所预 报的 P值具有该高不高和该低不低的特点，这一特点正 是由一阶精度迎风格式所引起的扩散系数为 ux / 2 的 假扩散项造成的。也反映了假扩散项的影响。
n n ux ut 2 n ( ) i u( ) i (1 )( 2 ) i O( x 2 , t 2 ) t x 2 x x
由此可以看出，我们前边得到的差分方程所逼近的是 一个非稳态对流扩散问题，而非原型问题所要求的非 稳态对流问题。
第五章 对流扩散问题———假扩散
1 n (1 P
ut n ut n ) P W x x
用编号法表示
1 n i
1 n , n 在点 (i, n) i i 1
u t n u t n (1 ) i i 1 x x
做Taylor展开
n n u 2 n 1 2 n ( ) i u( ) i ( 2 ) i x ( 2 ) i t O( x 2 , t 2 ) t x 2 x 2! t
第五章 对流扩散问题———假扩散
将 i 1 和 i 1 台劳 级数展开代入
第五章对流扩散方程
• 比混合格式复杂，计算量增加，但准确性 提高
• 稳定性：若用中心差分格式不能体现对流 项的物理本质，常会引起数值解的振荡
• 经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但 格式复杂，求解相对困难，机时消耗较多
5.2 一维稳态对流扩散问题
d (u)
dx
d dx
d
dx
5.2.1 模型方程的精确解
d (u)
dx
d dx
d
dx
边界条件：
x 0, 0；x L, L
采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区
在界面e上,若 ue 0,则e P ;若 ue 0,则e E ; 在界面w上,若 uw 0,则w W ;若 uw 0,则w P
界面流量
• 引入符号 • 对流：
a1, a2 max(a1, a2 )
(u)e Fee P Fe,0 E Fe,0 , (u)w Fww W Fw,0 P Fw,0
• 控制方程变为： dJ 0; 或 J const dx
J
F
0
0 L
exp(Pe) 1
界面上通量
Jw
Fw
W
W P
exp(Pw )
1Hale Waihona Puke JeFeP
P
exp(
E
Pe )
1
Fe exp( exp(Pe
Pe )
) 1
Fw exp(Pw )
1 P
Fe exp(Pe )
1E
Fw exp(Pw exp(Pw )
) 1
W
合并整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
第五章 对流-扩散方程的离散格式
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation）是流体动力学领域里一个基本的求解方程，它表示物理系统的流体流动特征，可用于模拟和分析气体的湍流流动、热力学和传热运算等问题。
新的求解方法对对流扩散方程的解析解具有重要意义。
对流扩散方程的一般形式为：$$frac{partial c}{partial t}+ucdotabla c-DDelta c=f$$其中，u表示大尺度的流体速度，D表示流体扩散系数，f表示质量源期（如，物质沉积或物质释放），c表示浓度。
一般情况下，形式如上的对流扩散方程是无法求解的，因其难以确定恰当的初始条件。
在这种情况下，研究者们提出了不同的解析解算法，其目的是通过特定的分析步骤来求解该方程。
为此，研究者们将对流扩散方程分解成多个子方程，以便更容易的进行解析解析。
其中有许多不同的解析方法，这些方法大多建立在以下基础之上：1.量分离：将变量从原始方程分离出来，然后重新组合，使方程具有更好的求解性。
2.分替换：通过将复杂的积分变换成容易求解的形式，从而更容易求解对流扩散方程。
3.征方程：由于对流扩散方程的变量分离及积分替换，可以将其转换为简单的特征方程，从而可以更快地求出解析解。
4.值方法：这种方法采用计算机进行数值计算，可以从多个精度接近系统中求出解析解。
上述方法都可以用来求出对流扩散方程的解析解，但也存在一些潜在的问题，如数值误差、边界条件不易计算等。
对流扩散方程的解析解技术可以用来分析流体流动特性，模拟和分析气体湍流流动、热力学和传热运算等问题。
有了这些技术，研究者们可以更好地模拟或理解物理系统的流体特性，从而更好地解决实际中存在的问题。
例如，研究者可以利用对流扩散方程的解析解算法来分析汽车的空气动力学运动特性，有效改善汽车的燃油经济性和可靠性；或者用来研究空气流动的特性、助力涡轮机的性能改善；或者用来研究飞行器在进入大气时的热阻力特性，提高航天设备的安全性，等等。
五种离散格式
五种离散格式储运与建筑工程学院能源与动力工程系计算传热学课程大作业报告作业题目：五种对流离散项的对比研究学生姓名：宋龙学号：6030221专业班级：能动－班2017年 11 月 3 日目录1 计算题目 (1)2 数学物理模型 (2)3 计算区域及方程离散 (3)3.1 区域离散 (3)3.2 方程离散 (3)3.2.1 中心差分格式 (3)3.2.1 迎风差分格式 (4)3.2.3 混合格式 (4)3.2.4 指数格式 (5)3.2.5 指数格式 (6)3.2.6 五种格式格式系数aEDe的表达式 (6)4 数值方法及程序流程 (7)5 计算结果验证及网格独立性考核 (8)5.1 计算结果验证 (8)5.1 网格独立性考核 (11)6 结果分析与讨论 (14)7 参考资料 (15)附录 (16)附录A：计算环境及源程序 (16)1计算题目对于有源项的一维稳态空气对流-扩散传热方程：d dx ρuT=ddxλcdTdx+S设源项S=0.5-100x，利用中心差分格式，一阶迎风格式，混合格式，指数格式，乘方格式求解在不同流速情况下，温度T的一维分布。
2数学物理模型物理模型：一维，稳态，有内热源，常物性控制方程:ddx ρuT=ddxλcdTdx+Sλc=Γ物理条件：ρ,Γ=const s=0.5-100x边界条件：x=0 T=300K;x=1 T=500K由于在常物性均分网格的情况下网格贝克勒数与流速成正比，所以在流速不同的情况下求温度场即在网格贝克勒数不同的情况下求温度场。
3计算区域及方程离散3.1区域离散3.2 方程离散3.2.1 中心差分格式由控制方程：ddx ρuT=ddxΓdTdx+S对一维模型方程在P控制容积内做积分，取分段线性型线，经整理可得：(ρuT)e?ρuT w=ΓdTdx eΓdTdx w+S PΔx P(ρu)e T E+T Pρu wT P+T W=ΓeeT E?T P?ΓwwT P?T W+S PΔx P整理可得：a P T P=a E T E+a W T W+S PΔx P 其中：a E=D e?1F e=D e(1?1P?e) D e=ΓeeF e=(ρu)ea W=D w+1F w=D w(1+1P?w) D w=ΓwwF w=(ρu)wa P=a E+a W+F e?F w为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算中质量守恒一定要满足，于是：F e?F w=0 a P=a E+a W3.2.1 迎风差分格式控制容积法定义：界面上未知函数永远取上游节点之值紧凑形式：(ρuT)e=T P[F e,0]?T E[?F e,0](ρuT)w=T W[F w,0]?T P[?F w,0]带入控制方程，化简得:a P T P=a E T E+a W T W+S PΔx P其中：a E=D e+?F e,0=D e(1+?P?e,0)a W=D w+F w,0=D w(1+P?w,0)a P=a E+a W+F e,0+?F w,0??F e,0?F w,0=a E+a W+F e?F w为保证代数方程迭代求解的收敛性，我们要求计算中质量守恒一定要满足，于是：F e?F w=0 a P=a E+a W3.2.3混合格式紧凑定义：a E D e =[ ?P?e,1?12P?e,0]a W D w =[0,1+12P?w,P?w]3.2.4指数格式含义：根据一维模型的精确解相对应的离散方程构成的一种格式。
数值计算在热工中应用B第五章-2
纯对流传递
C 0.8
10
当Courant数小于1时，产生了严重的扩散作
用，将尖峰逐渐抹平。此种误差称为流向假扩散 (Streamwise false diffusion)。 5.5.3 网格倾斜交叉引起的计算误差 两股速度相同温 度不同的气流相遇， 设气流的扩散系数为 零，当流速与网格线
夹角倾斜时，数值计 算结果误差很大。
1 型线上凹 (W 2P E ) 0, Cur 使插值微减！ 8 型线下凹 (W 2P E ) 0, 1 Cur 使插值微增！ 8
27
怎样取相邻的三点?
(2) 为增加格式的稳定性要引入迎风思想：对e-界面
当界面流速ue大于零时，取 当界面流速ue小于零时，取
5
t 2 ux 2 2 2 ) i ,n u ) i ,n ) ) O ( x , t ) i ,n 2 2 i ,n t x 2 t 2 x
其中关于时间的二阶导数项可做如下变化：
2 2 2 ( ) (u ) u ( ) u (u ) u 2 t t t t x x t x x x 2
来流速度为
U
2 uv U 2
Fw Fs , aPP aW W aSS , P
W
S
2
!
13
三个对流问题的归纳 1) 一维稳态对流扩散问题 2) 一维非稳态对流 问题（Noye,1976) 此种误差称为流向假 扩散 (Streamwise
false diffusion)。
30
4. 采用SGSD格式－一类组合格式 1）SCSD格式（1999）（均分网格） CD：
e 0.5(P E ) 无二阶假扩散，但条件稳定!
第五章对流扩散问题(假扩散 高阶格式第一个内节点的差分方程)
第五章 对流扩散问题———假扩散
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 t=0 AS t=4 UD c=1.0 t=8
0.6 0.8 1.0 x c值进一步增大，我们看到：c=0.010.050.0750.40.81.0 ，而 FD/FDc=0.01=10.960.9340.6060.2020，可见此时UD格式的整体假扩散 已经衰减了100%，使其计算结果和精确解完全一样。
第五章 对流扩散问题———假扩散
以上结果再次证明了我们关于时间项和对流项采用一阶
格式时，对其假扩散的分析。 也证明了我们提出了二阶
迎风格式和QUICK格式确实能够消除由对流项离散而引
起的假扩散。
第五章 对流扩散问题———假扩散
例 设有下列一维非稳态对流问题
u , t x 0 x 1, u 0.1
n i 1 / 2
n i 1 / 2
)
n i
ut c x
第五章 对流扩散问题———假扩散
其中，
n 1 i
c(
n i 1 / 2
n i 1 / 2
)
n i
ut c x
对SUD
n n i 1 / 2 i 1 / 2
n n 3 n 4 i 1 i2 i 2
第五章 对流扩散问题———假扩散
UD格式
x 1 / 100
xi xi 1 x
t cx / u
t=0
i= 1
2
3
4
98
99
100
101
0 i 由初始条件确定
t=t
i= 1
2
3
4
对流扩散方程
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u n1 j
u
n j
a
un j 1
只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
2 得到如下差分格式：
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
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见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
其中Peclet数 Pe
uL
。
Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的 绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.
5.2.2 对流项的中心差分
1、定义及系数的构成 用控制容积积分法时，中心差分相当于界 面上取分段线性的型线。将控制方程对控 制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：
e w 1 1 P [ ( u ) e ( u ) w ] 2 (x) e 2 (x) w e w 1 1 E [ ( u ) e ] w [ ( u ) w ] (x) e 2 (x) w 2
热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第五章 对流—扩散方程的离散格式
主讲 李炎锋
2008年7月 北京
5.1 对流项离散格式的重要性及两 种离散格式
非线性对流项的处理涉及到对流项 的离散格式（物理过程观点：对流作 用带有强烈的方向性）；
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw 1 Pw ,0
aE De Fe ,0 De 1 Pe ,0
2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远 大于零，因而无论在任何条件计算下都不 会引起解的振荡，永远可以得出看似合理 的解；
3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密 的网格，其计算结果的误差较大； 4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优 良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎 风方向上获取比背风方向上更多的信息以较 好地反映对流过程的物理本质； 5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝 对稳定的特性仍有其应用价值。
u w Fww W max( Fw ,0) P max( Fw ,0) W [ Fw ,0 ] W Fw ,0
2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项 仍采用分段线性，则模型方程的离散 形式可写为：
a P P a E E aW W
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
2、特性分析 网格Pe数：
P
ux
常物性下(1)式可写为：
1 1 (1 P ) E (1 P )W 2 2 P 2
5.2.3 对流项的迎风格式
1、两种离散方式下的迎风格式 ⑴ Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远 是该方向上的向后差分，永远从上游 获取构成一阶导数所必须的信息
A(P ) B(P ) P A(P ) P A( P ) P
因此无论P >0 或P <0 ，都有：
A( P ) A( P ) P ,0
5.2 对流项的中心差分与迎风格式
5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方 程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
0 ；x＝L， L。 若边界条件为：x = 0，
则方程的解为：
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
要使此式对任何，的组合都成立，只有 ：
B( P ) A(P ) 0 ，即： B( P ) A(P )
A( P ) B(P ) 0 ，即： A( P ) B(P )
如下图：
5.4.3 系数特性的推论
对5种3点格式的任何一种，若在P >0时， A(P)的计算式为已知，则在 P P P 的 范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。 对于 A(P) ：当 P <0 ，按和差特性和对称 性有：
混合格式综合了中心差分和考虑迎 风作用两方面的因素，定义式为：
0 Pe 2 aE 1 1 1 Pe 2 Pe 2 Pe , 1 Pe , 0 De 2 2 Pe Pe 2
5.3.3 指数格式（exponential scheme）
aE De Fe ,0
aW Dw Fw ,0
aP aE aW (Fe Fw )
5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论
1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的 参数范围内，在相同的网格节点数下，采 用中心差分的计算结果要比采用迎风差分 的结果误差更小；
对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表 达式整理得：
exp( Pe ) Fe Fw exp( Pw ) 1 P [ Fe Fw ] E W exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1 exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
令： 则
aE
5.3 对流-扩散方程的混合格式及 乘方格式
5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系
中心差分(CD):
1 1 a E De Fe De (1 Pe ) 2 2
1 1 aW Dw Fw Dw (1 Pw ) 2 2
对同一界面
Pe Pw P
De Dw D 于是有： ，
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
5.3.4 乘方格式(Power-law scheme)
由于指数格式的计算量较大，Patankar提 出了与指数格式接近的乘方格式：
0, Pe 10 5 ( 1 0 . 1 P ) 0 Pe 10 aE e , 5 0 , ( 1 0 . 1 P ) 0, Pe e 5 De (1 0.1Pe ) Pe , 10 Pe 0 P , P 10 e e
由上式：
e w
x 1 e dx x w x
如将界面上分段线性的型线代入上式，得
e w x
( E P ) / 2 ( P W ) / 2 E P x 2x linear
3、两种定义方式之间的关系
⑴ 对某种对流项的离散格式，都可以从两种 方法来给出其相应的定义； ⑵ 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶 数一般地说是一致的； ⑶ 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值， 而控制容积积分法所逼近的是在该控制容 积内导数的积分平均值。
J d J P ( / x) d ( x / x)
*
如图
界面上的表达式为： J * Bi Ai1
5.4.2 系数A、B间关系的分析
1、和差特性
当 i i 1 时，界面上的扩散通量零，
J Pi Pi 1
*
B A P
2、对称特性
1、对流-扩散总通量密度
定义：总通量密度是指单位时间内、单位
面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理 量的总转移量。
d J u dx
对控制方程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
一维、稳态、无内热源问题的总通量为：
dJ 0 ， J cons tan t dx
例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：
E W i 1 i 1 xP 2x 2x
2、控制容积积分方式
将对流项的一阶导数对控制容积P作积 分，有： e w x dx e w 所谓对流项的离散格式就是如何用相 e w 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。
2、节点值表示的界面总通量密度计算式 将分析解
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
代入通量密度定义式得：
0 L J F [ 0 ] exp( Pe) 1
w界面上：
uw 0 , W ; uw 0 , P
与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的 未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的 是上、下游节点的算术平均值。
( u ) e Fee P max( Fe ,0) E max( Fe ,0) P [ Fe ,0 ] E Fe ,0
对同一界面，有：
aW (i 1) a E (i) 1 P ,0 1 P ,0 P D D
只要知道
Hale Waihona Puke aE De或aW Dw中的一个，就可算出另一个。
5.3.2 混合格式 (hybrid scheme)
对一维问题而言，对流项与扩散项均 为中心差分的格式在P>2时会引起解的振 荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于 两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散 作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用 越小，扩散作用相对于对流作用越小。
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：