第五章 对流-扩散方程的离散格式
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w界面上：
uw 0 , W ; uw 0 , P
与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的 未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的 是上、下游节点的算术平均值。
( u ) e Fee P max( Fe ,0) E max( Fe ,0) P [ Fe ,0 ] E Fe ,0
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第五章 对流—扩散方程的离散格式
主讲 李炎锋
2008年7月 北京
5.1 对流项离散格式的重要性及两 种离散格式
非线性对流项的处理涉及到对流项 的离散格式（物理过程观点：对流作 用带有强烈的方向性）；
对同一界面，有：
aW (i 1) a E (i) 1 P ,0 1 P ,0 P D D
只要知道
aE De
或
aW Dw中的一个，就可算出另一个。
5.3.2 混合格式 (hybrid scheme)
对一维问题而言，对流项与扩散项均 为中心差分的格式在P>2时会引起解的振 荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于 两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散 作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用 越小，扩散作用相对于对流作用越小。
1、对流-扩散总通量密度
定义：总通量密度是指单位时间内、单位
面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理 量的总转移量。
d J u dx
对控制方程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
一维、稳态、无内热源问题的总通量为：
dJ 0 ， J cons tan t dx
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
5.2 对流项的中心差分与迎风格式
5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方 程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
0 ；x＝L， L。 若边界条件为：x = 0，
则方程的解为：
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
由上式：
e w
x 1 e dx x w x
如将界面上分段线性的型线代入上式，得
e w x
( E P ) / 2 ( P W ) / 2 E P x 2x linear
3、两种定义方式之间的关系
⑴ 对某种对流项的离散格式，都可以从两种 方法来给出其相应的定义； ⑵ 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶 数一般地说是一致的； ⑶ 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值， 而控制容积积分法所逼近的是在该控制容 积内导数的积分平均值。
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表 达式整理得：
exp( Pe ) Fe Fw exp( Pw ) 1 P [ Fe Fw ] E W exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1 exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
令： 则
aE
动量方程的压力梯度项处理涉及到 压力与速度的耦合问题。
5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差） ； ⑵ 数值解的稳定性 ； ⑶ 数值解的经济性 。
5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式
1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散 方式，如表5-1。
其中Peclet数 Pe
uL
。
Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的 绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.
5.2.2 对流项的中心差分
1、定义及系数的构成 用控制容积积分法时，中心差分相当于界 面上取分段线性的型线。将控制方程对控 制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：
e w 1 1 P [ ( u ) e ( u ) w ] 2 (x) e 2 (x) w e w 1 1 E [ ( u ) e ] w [ ( u ) w ] (x) e 2 (x) w 2
u w Fww W max( Fw ,0) P max( Fw ,0) W [ Fw ,0 ] W Fw ,0
2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项 仍采用分段线性，则模型方程的离散 形式可写为：
a P P a E E aW W
aE De Fe ,0
aW Dw Fw ,0
aP aE aW (Fe Fw )
5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论
1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的 参数范围内，在相同的网格节点数下，采 用中心差分的计算结果要比采用迎风差分 的结果误差更小；
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
5.3.4 乘方格式(Power-law scheme)
由于指数格式的计算量较大，Patankar提 出了与指数格式接近的乘方格式：
0, Pe 10 5 ( 1 0 . 1 P ) 0 Pe 10 aE e , 5 0 , ( 1 0 . 1 P ) 0, Pe e 5 De (1 0.1Pe ) Pe , 10 Pe 0 P , P 10 e e
2、特性分析 网格Pe数：
P
ux
常物性下(1)式可写为：
1 1 (1 PBaidu Nhomakorabea ) E (1 P )W 2 2 P 2
5.2.3 对流项的迎风格式
1、两种离散方式下的迎风格式 ⑴ Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远 是该方向上的向后差分，永远从上游 获取构成一阶导数所必须的信息
令 F u ，D （扩导）则上式可变为： x
aP P aE E aW W
aE 1 1 De Fe aW Dw Fw 2 2
式⑴
a p aE aW
在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了 扩散与对流作用的影响。
例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：
E W i 1 i 1 xP 2x 2x
2、控制容积积分方式
将对流项的一阶导数对控制容积P作积 分，有： e w x dx e w 所谓对流项的离散格式就是如何用相 e w 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。
2、节点值表示的界面总通量密度计算式 将分析解
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
代入通量密度定义式得：
0 L J F [ 0 ] exp( Pe) 1
混合格式综合了中心差分和考虑迎 风作用两方面的因素，定义式为：
0 Pe 2 aE 1 1 1 Pe 2 Pe 2 Pe , 1 Pe , 0 De 2 2 Pe Pe 2
5.3.3 指数格式（exponential scheme）
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
A(P ) B(P ) P A(P ) P A( P ) P
因此无论P >0 或P <0 ，都有：
A( P ) A( P ) P ,0
要使此式对任何，的组合都成立，只有 ：
B( P ) A(P ) 0 ，即： B( P ) A(P )
A( P ) B(P ) 0 ，即： A( P ) B(P )
如下图：
5.4.3 系数特性的推论
对5种3点格式的任何一种，若在P >0时， A(P)的计算式为已知，则在 P P P 的 范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。 对于 A(P) ：当 P <0 ，按和差特性和对称 性有：
5.3 对流-扩散方程的混合格式及 乘方格式
5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系
中心差分(CD):
1 1 a E De Fe De (1 Pe ) 2 2
1 1 aW Dw Fw Dw (1 Pw ) 2 2
对同一界面
Pe Pw P
De Dw D 于是有： ，
2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远 大于零，因而无论在任何条件计算下都不 会引起解的振荡，永远可以得出看似合理 的解；
3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密 的网格，其计算结果的误差较大； 4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优 良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎 风方向上获取比背风方向上更多的信息以较 好地反映对流过程的物理本质； 5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝 对稳定的特性仍有其应用价值。
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw 1 Pw ,0
aE De Fe ,0 De 1 Pe ,0
J d J P ( / x) d ( x / x)
*
如图
界面上的表达式为： J * Bi Ai1
5.4.2 系数A、B间关系的分析
1、和差特性
当 i i 1 时，界面上的扩散通量零，
J Pi Pi 1
*
B A P
2、对称特性
uw 0 , W ; uw 0 , P
与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的 未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的 是上、下游节点的算术平均值。
( u ) e Fee P max( Fe ,0) E max( Fe ,0) P [ Fe ,0 ] E Fe ,0
见下页表格：
5.3.5 5种三点格式系数计算式的汇总 不同格式离散方程的形式相同，但 系数不同。具体见下表5－1：
5.4 对流-扩散方程5种3点格式系 数特性的分析
5.4.1 通量密度及其离散表达式
J J ( / x )
*
由于 所以
d d J u [ P ] dx x d ( x / x)
热流问题的数值计算
Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems
第五章 对流—扩散方程的离散格式
主讲 李炎锋
2008年7月 北京
5.1 对流项离散格式的重要性及两 种离散格式
非线性对流项的处理涉及到对流项 的离散格式（物理过程观点：对流作 用带有强烈的方向性）；
对同一界面，有：
aW (i 1) a E (i) 1 P ,0 1 P ,0 P D D
只要知道
aE De
或
aW Dw中的一个，就可算出另一个。
5.3.2 混合格式 (hybrid scheme)
对一维问题而言，对流项与扩散项均 为中心差分的格式在P>2时会引起解的振 荡 。如果把一维模型方程的精确解应用于 两个相邻的节点之间，发现界面上的扩散 作用与P有关。 P绝对值越大，扩散作用 越小，扩散作用相对于对流作用越小。
1、对流-扩散总通量密度
定义：总通量密度是指单位时间内、单位
面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理 量的总转移量。
d J u dx
对控制方程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
一维、稳态、无内热源问题的总通量为：
dJ 0 ， J cons tan t dx
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
5.2 对流项的中心差分与迎风格式
5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方 程：
d d d ( u ) ( ) dx dx dx
0 ；x＝L， L。 若边界条件为：x = 0，
则方程的解为：
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
由上式：
e w
x 1 e dx x w x
如将界面上分段线性的型线代入上式，得
e w x
( E P ) / 2 ( P W ) / 2 E P x 2x linear
3、两种定义方式之间的关系
⑴ 对某种对流项的离散格式，都可以从两种 方法来给出其相应的定义； ⑵ 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶 数一般地说是一致的； ⑶ 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值， 而控制容积积分法所逼近的是在该控制容 积内导数的积分平均值。
把式（2）用于计算界面总通量密度Je, Jw: 对Je： ， , L x
0 P L E e
P E J e Fe [ P ] exp( Pe ) 1
对Jw：
0 W ， L P , L xw
W P J w Fw [W ] exp( Pw ) 1
对于控制容积P，代入对Je、 Jw的表 达式整理得：
exp( Pe ) Fe Fw exp( Pw ) 1 P [ Fe Fw ] E W exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1 exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
令： 则
aE
动量方程的压力梯度项处理涉及到 压力与速度的耦合问题。
5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差） ； ⑵ 数值解的稳定性 ； ⑶ 数值解的经济性 。
5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式
1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散 方式，如表5-1。
其中Peclet数 Pe
uL
。
Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的 绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略.
5.2.2 对流项的中心差分
1、定义及系数的构成 用控制容积积分法时，中心差分相当于界 面上取分段线性的型线。将控制方程对控 制容积P作积分，对均分网格，离散方程为：
e w 1 1 P [ ( u ) e ( u ) w ] 2 (x) e 2 (x) w e w 1 1 E [ ( u ) e ] w [ ( u ) w ] (x) e 2 (x) w 2
u w Fww W max( Fw ,0) P max( Fw ,0) W [ Fw ,0 ] W Fw ,0
2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项 仍采用分段线性，则模型方程的离散 形式可写为：
a P P a E E aW W
aE De Fe ,0
aW Dw Fw ,0
aP aE aW (Fe Fw )
5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论
1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的 参数范围内，在相同的网格节点数下，采 用中心差分的计算结果要比采用迎风差分 的结果误差更小；
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
5.3.4 乘方格式(Power-law scheme)
由于指数格式的计算量较大，Patankar提 出了与指数格式接近的乘方格式：
0, Pe 10 5 ( 1 0 . 1 P ) 0 Pe 10 aE e , 5 0 , ( 1 0 . 1 P ) 0, Pe e 5 De (1 0.1Pe ) Pe , 10 Pe 0 P , P 10 e e
2、特性分析 网格Pe数：
P
ux
常物性下(1)式可写为：
1 1 (1 PBaidu Nhomakorabea ) E (1 P )W 2 2 P 2
5.2.3 对流项的迎风格式
1、两种离散方式下的迎风格式 ⑴ Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远 是该方向上的向后差分，永远从上游 获取构成一阶导数所必须的信息
令 F u ，D （扩导）则上式可变为： x
aP P aE E aW W
aE 1 1 De Fe aW Dw Fw 2 2
式⑴
a p aE aW
在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了 扩散与对流作用的影响。
例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为：
E W i 1 i 1 xP 2x 2x
2、控制容积积分方式
将对流项的一阶导数对控制容积P作积 分，有： e w x dx e w 所谓对流项的离散格式就是如何用相 e w 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。
2、节点值表示的界面总通量密度计算式 将分析解
0 exp( ux / ) 1 exp( Pex / L) 1 L exp( uL) 1 exp( Pe) 1
代入通量密度定义式得：
0 L J F [ 0 ] exp( Pe) 1
混合格式综合了中心差分和考虑迎 风作用两方面的因素，定义式为：
0 Pe 2 aE 1 1 1 Pe 2 Pe 2 Pe , 1 Pe , 0 De 2 2 Pe Pe 2
5.3.3 指数格式（exponential scheme）
i i 1 d ， ui 0 dx i x i 1 i x
ui 0
对多维问题，用此方法构造的对流 项的离散格式，只有在求解区域内 流速不发生逆向时，所形成的离散 方程才具有守恒性。
2、控制容积积分法定义
规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： ue 0 , p ； ue 0 , E
A(P ) B(P ) P A(P ) P A( P ) P
因此无论P >0 或P <0 ，都有：
A( P ) A( P ) P ,0
要使此式对任何，的组合都成立，只有 ：
B( P ) A(P ) 0 ，即： B( P ) A(P )
A( P ) B(P ) 0 ，即： A( P ) B(P )
如下图：
5.4.3 系数特性的推论
对5种3点格式的任何一种，若在P >0时， A(P)的计算式为已知，则在 P P P 的 范围内，A(P)，B(P)的计算式均可得出。 对于 A(P) ：当 P <0 ，按和差特性和对称 性有：
5.3 对流-扩散方程的混合格式及 乘方格式
5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系
中心差分(CD):
1 1 a E De Fe De (1 Pe ) 2 2
1 1 aW Dw Fw Dw (1 Pw ) 2 2
对同一界面
Pe Pw P
De Dw D 于是有： ，
2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远 大于零，因而无论在任何条件计算下都不 会引起解的振荡，永远可以得出看似合理 的解；
3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密 的网格，其计算结果的误差较大； 4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优 良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎 风方向上获取比背风方向上更多的信息以较 好地反映对流过程的物理本质； 5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝 对稳定的特性仍有其应用价值。
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw 1 Pw ,0
aE De Fe ,0 De 1 Pe ,0
J d J P ( / x) d ( x / x)
*
如图
界面上的表达式为： J * Bi Ai1
5.4.2 系数A、B间关系的分析
1、和差特性
当 i i 1 时，界面上的扩散通量零，
J Pi Pi 1
*
B A P
2、对称特性