时间响应基本概念

2
F 1 化简得 Y 2 k 1
于是，完全解为
n
F 1 y(t ) A sin nt B cos nt cos t 2 k 1
求导有
F (t ) A n cos nt B n sin nt y sin t 2 k 1
a(当t 0) xi (t ) 0(当t 0)
其中a为常数。
当a=1时，该函数称为单位阶跃函数。
1 L[1(t )] s
3、斜坡函数
这是指输入变量是等速度变化的,如图(c) 其数学表达式为：
at (当t 0） xi (t ) 0 t 0） （当
其中a为常数，当a=1时 1 该函数称为单位斜坡函数。 L[ t ] 2
尽管在实际中，输入信号很少是典型输入信 号，由于在系统对典型输入信号的时间响应 和系统对任何输入信号的时间响应之间存在 一定的关系， 所以只要知道系统对典型输入 信号的响应，再利用关系式：
X o1 ( s ) X o 2 ( s) G( s) X i1 ( s ) X i 2 ( s)
或
xi1 (t ) xo 2 (t ) xi 2 (t ) xo1 (t ) (表示卷积）
单位脉冲信号xi(t)=1(t)的拉氏变换为Xi(s)=1/s 输出的拉氏变换为：
1 1 1 1 X 0 (s) G(s) X i ( s) Ts 1 s s s 1 进行拉氏逆变换得 ： T
x0 (t ) L X 0 (s) 1 e
1 1 t T
(t 0)
3、ts 4T 2%
4、T2＞T1曲线2比曲线1下降的慢， 即 其过渡过程的持续时间长，即时间 常数T愈大， 表明系统的惯性越大， 系统对输入信号反映的快速性能愈 好。 由于T反映系统固有特性，T表 明系统的惯性，所以一阶系统又称 一阶惯性系统。
§3.2.2一阶惯性环节的单位阶跃响应
零状态响应：
在“无输入时的系统初态”为零 而仅由输入引起的响应。
零输入响应:
由“无输入时的系统初态”引起的 自由响应。
瞬态响应：
系统在输入信号作用下其输出量从
初始状态到稳定状态的响应过程。
瞬态响应是响应的过渡过程；
稳态响应：
当某一信号输入时，系统在时间趋于
无穷大的时候的输出状态。 稳态响应是稳定过程。
a=1时，脉冲函数称为单位脉冲函数， 又称δ函数。
0 1 lim 且 (t )dt 1 (0 t t 0 ) 0 t0 0 t0 (t ) (t 0或t t0 ) 0
L[ (t )] 1
2、阶跃函数
这是指输入变量有一个突然的变化，例 如输入量的突然加入到或突然停止等等。 如图(b)所示， 其数学表达式为：
是线性定常系统时间响应的一个重要性 质，即如果系统的输入信号存在微分和 积分关系，则系统的时间响应也存在对 就的微分和积分关系。
1 1 T X 0 (s) G(s) X i (s) 1 1 Ts 1 s T 进行拉氏逆变换得：
(t 0)
1 (1 T ) t x0 (t ) L X 0 (s) e T
1
输出曲线：
1 T1 1 T2
特点：
1、曲线的切线斜率在t=0处为-1/T2。 2、曲线单调下降的指数曲线， 系统稳定无振荡。
3、若控制系统的输入量是随时间常数 变化的往复运动，象研究机床振动， 以正弦函数为好。 4、若控制系统的输入量是突然变化的， 象突然合电、断电，则以选择阶跃 函数为宜。
§3.2
一阶系统的时间响应
凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为 一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节。
如图
X i (s)

1 Ts
零输入响应
(0) y
零状态响应
1、按振动性质分：
自由响应 强迫响应
2、按振动来源分：
零状态响应 零输入响应
3、按响应过程来分：
瞬态响应 稳态响应
自由响应：
由作用力引起的自由振动（系统本身
的固有频率所决定的自由振动）引起 的响应。
振动频率为 n
强迫响应：
由作用力引起的强迫振动。
振动频率为
X o (s)
其传递函数为 X o ( s) 1 G(s) X i ( s) Ts 1 §3.3.1 一阶惯性环节的单位脉冲响应 §3.3.2 一阶惯性环节的单位阶跃响应
§3.2.1 一阶惯性环节的单位脉冲响应
单位脉冲信号xi(t)=δ(t)的拉氏变换为Xi(s)=1 输出的拉氏变换为 ：
§3.1
时间响应及其组成
即控制系统在输入信号的作 一、时间响应： 用下，其输出信号随时间的变化过程。
二、时间来自百度文库应分类 例:
k
y(t )
m
F cos t
动力学方程：
(t ) ky(t ) F cos t m y
这一非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t ) y1 (t ) y2 (t )
s
4、加速度函数
是指输入变量是等加速度变化,如图(d)
其数学表达式为 ：
1 2 at（当t 0) xi (t ) 2 0(当t 0)
其中a为常数,当a=1时,
1 2 1 L [ t ] 3 该函数称为单位加速度函数 。 2 s
5、正弦函数
如图(e)所示， 其数学表达式为：
就能求出系统对任何输入响应。
(二)、 常见的典型输入信号
1、脉冲函数
2、阶跃函数
3、斜坡函数
4、加速度函数 5、正弦函数
1、脉冲函数
如图(a)所示, 脉冲函数的数 学表达式为:
a ( 当 0 t t ) lim 0 xi (t ) t0 t0 0（当 t 0或t t0）
y1(t)是与其对应的齐次微分方程的通解 y2(t)是其中一个特解。
由理论力学与微分方程中解的理论已知
y1 (t ) Asinnt B cosnt
y2 (t ) Y cos t
n k m 为系统的无阻尼固有频率
将y2(t)代入动力学方程，得
(m k )Y cos t F cos t
(t ) y (0) t 0时，y(t ) y(0)，y
F 1 代入得， A ，B y (0) 2 n k 1 (0) y
整理得：
y (t )
自由响应 强迫响应
F 1 F 1 sin n t y (0) cos n t cos n t cos t 2 2 n k 1 k 1
三、
典型输入信号
(一)、 选取典型输入信号时考虑的原则 (二)、 常见的典型输入信号
(三)、 选择典型输入信号应视不同系统 的 具体工作条件而定
(一)、选取典型输入信号时必须考虑的原则
1、选取的输入信号应反映系统在工作 过程中的大部分实际情况。 2、所选输入信号的形式应尽可能简单， 便于用数学式表达及分析处理。 3、所选取那些能使系统工作在最不利 情况下的输入信号作为典型试验信 号。
输出曲线:
xou (t )
1
0.632
o
T
A
1 斜率 T
x o u (t ) 1 e
t T
t
特点：
1、 一阶系统 是稳定的， 无振荡。
T1
T2
T1 T 2
2、 T2＞T1，时间常数越大，系统的惯 性越大，系统的响应越慢，上升的
速度越慢，达到稳态的时间越长。
系统对输入信号导数的响应，可以 通过系统对该输入信号响应的导数来求 得；而系统对输入信号积分的响应，可 参通过系统对该输入信号响应的积分来 求得，其积分常数由初始条件确定。 这
a sin t（当t 0） xi (t ) （a为常数） 0 （当 t 0 )
当a=1时，
L[sin t ] 2 2 s
三、选择典型输入信号视不同系统的 具体工作条件而定
1、若控制系统的输入量通常是随时间 逐渐变化的函数，象雷达天线、火 炮、机床、控温装置等，以选择斜 坡函数较为合适。 2、若控制系统的输入量是冲击量，象 导弹发射，以选择脉冲函数较为适 当。