1-1.矩阵基本运算

D =1 0 0 -2 0 0
0 0 1
即 1 对应的两个特征向量为：
(0,0,1)T , ( 0.8944,0.4472,0)T
而 2 对应的一个特征向量为：
2 0 1对应的全部特征向量为： k 1 1 k 2 0 0 1 而 2 对应的全部特征向量为：
Ax 2 N ( A) x
的谱半径
由例2知矩阵A的特征值分别为1，-2。 ( A ) 2
例11. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A),
0.8616 0.8296
0
2. 矩阵的范数有以下几种：
(1) n = norm(A)
矩阵A的普范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数.
练习：A(4,:)，A(3,2)，分别表示什么？ 如果需要两行(列)以上怎么表示呢?
例3. 求矩阵A的第1,3,4行元素组成的矩阵.
解：首先健入a=[1,3,4];然后健入 B=A(a,:)即可 其中a=[1,3,4]称为索引向量.
练习：求矩阵A的第1,3,4列元素组成的矩阵 例4. 求从矩阵A中去掉第1,2列后，剩余元素 组成的矩阵. B= 1 0 1
6 0 4 3 5 0 的特征值与特征向量 例7 求矩阵 A 3 6 1
解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)
V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0
n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro')
n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
4. 向量的数量积，矢量积与范数 设 ( x1 , x2 ,..., xn ); ( y1 , y2 ,..., yn )
则 ( , ) xi yi 称为， 的数量积
normr(A)，normc(A)
例9. 将矩阵A的行向量与列向量标准化
归一化
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)
B =0.2673 0.4558 0.6585 0.5345 0.5698 0.7526 0.8018 0.6838 0 C =0.1231 0.2074 0.4924 0.5185 0.4472 0.8944
D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048 V= 0.7024 0 0 4.9564 0 0 0 0 10.3412
二.向量的标准化与矩阵的范数
1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令：
B=
1 3 4
5 7 8
1 1 0
0 0 1
1 1 1
注意：这里 用分号和逗 号的区别
3. 矩阵的加减法、乘法、转置与求逆运算等 A+B, A-B, A*B, A.^2, A’, inv(A), det(A) 分别表示：A,B的和,差,积,点乘方,转置,求逆
以及A的行列式
1 2 3 4 5 6 A 例5. 已知 7 8 0
注意：当样本数据X是矩阵时，上述三个命令的输出 将给出X的每列数据的相对应的数值.
设A为m n矩阵, 则有：
mean(A) — A中各列向量的均值
var(A) — A中各列向量的方差
std(A) — A中各列向量的标准差 另外：cov(A) — A中各列向量的协方差矩阵 corrcoef(A) — A中各列向量的相关矩阵 如果计算A中各行向量的均值、方差、协方 差矩阵，相关矩阵，只需先将A转置即可.
四. 特殊矩阵及其应用
1. E = eye(n):表示n维单位矩阵, E = eye(m,n):
表示主对角元素为1,其余元素为零的 m n 矩阵.
1 0 0 例如：eye(3)= 0 1 0 ; eye( 3,2) 0 0 1 1 0 0 1 0 0
注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示.
n维行(列)向量可以看成是一个行(列) 矩 阵，因此向量的输入和矩阵一样. 2.矩阵的合成与分解
1 2 例2.矩阵A= 3 4 5 1 0 1 6 0 1 1 求A的第一行 与第一列 7 1 0 1 8 0 1 1
解：A1=A(1,:) 表示矩阵A的第一行； A2=A(:,1) 表示矩阵A的第一列；
k 3 1, 1, 1T
(0.5744,0.5744,0.5744) T
例8.求矩阵B，BB’ 的特征值、特征向量 3 0 0 解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1],
B 0 2 0 1 1 1
[D1,V1]=eig(B),
[D,V]=eig(B*B’),
1 2 1 B 1 1 2 2 1 1
求：AB，B-1，B-AT，|A| 解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=[1,2,1;1,1,2;2,1,1];
a=A*B,b=inv(B),c=B- A',d=det(A)
a=9 7 8 b = -1/4 1/4 -3/4 c = 0 -2 -6 21 19 20 15 22 23
一. 矩阵与向量的基本运算
1.矩阵（向量、数组）的输入方法 矩阵的输入利用[ ]，采取分行输入方法， 每个元素之间用逗号或空格，每行之间用分号.
1 2 例1.矩阵 A= 3 4 5 1 0 1 6 0 1 1 的Matlab输入： 7 1 0 1 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1];
记为： N ( A)
aFra Baidu bibliotek
i,j=1

2 ij
3. 方阵的谱半径：
方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径 记为： ( A) max{| i |}
上述范数之间的关系：
x

x1n x

,
x

x 2 n x
2
( A) A ， A 2 N ( A),
6 0 4 3 5 0 例10.求矩阵A 3 6 1
3/4 -1/4 -1/4
-1/4 3/4 -1/4 det(A)=27
-1 -4 -6 -1 -5 1
作业：1.自己构造两个5*6阶矩阵A与B，计算两 个矩阵的加减法、乘法
2. 从A与B矩阵中分别提取一个4*4阶方阵C与D， 求其逆运算、C与D的乘积和点乘积、点除运算 等
第二节 线性代数运算 一. 矩阵的特征值与特征向量 是一个数，若存在n 定义：设A为n阶矩阵， 阶非零向量 ，使得
的特征向量 解：设 为A的特征值，是对应于
设 ( x1 , x 2 , x 3 )T由 A , 可得：
x1 2x 2 3x 3 x1 (1 )x1 2x 2 3x 3 0 4x1 5x 2 6x 3 x 2 4x1 (5 )x 2 6x 3 0 7x 8x 7x 8x x x 0 1 1 2 3 2 3
i 1 n
Matlab 中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b)
例如：a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则
dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2) 练习：计算a,b,c 的混合积 a (b c ) 解： a,b,c 的混合积为：dot(a,cross(b,c))
称为矩阵A对应于 则称 是A的一个特征值， 特征值 的特征向量.
注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但 一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特 征值是由特征向量唯一确定的.
A
在后续的课程中，我们将介绍特征值与特 征向量在经济分析中的作用.
例6.计算矩阵
1 2 3 的特征值 A 4 5 6 7 8 0
解： a=[3,4,5]; B=A(:, a); 可以写为 B=A(:,3:5); 注意：3:5 表示从3开 始按步长为1 增加到5.
0
1 0
1
0 1
1
1 1
练习：求从A中去掉2,5两行后所得到的子矩阵 解法一： a=[1,3,4]； B=A(a,:) 解法二：B=[A(1,:);A(3,:);A(4,:)]
=0.9164
思考：a,b,c三个向量那两个更接近？
三. 向量的均值、方差、协方差与相关矩阵
MATLAB提供了求均值、方差、标准差的命令. （1）均值命令mean，其调用格式 m=mean(X); 其中，输入X为向量，输出m为样本均值。
（2）方差命令var，调用格式
S=var(x); （3）标准差命令std，调用格式 d=std(x) 其中输入x是样本数据，输出S为方差,d为标准差.,
MATLAB— 入门
1. 双击图标，进入Matlab界面（command) 2. 单击file New M—file 进入编辑 界面(Untitled1) ,进行编程之后，点击保存 时可以修改文件名.
必须用英 3.要显示运算的结果，有两种方法： 文开头
(1)进入command界面，健入你定义的文件 名，然后按回车键即可得到计算结果； (2)点击编辑界面上方Debug Run或箭头 于是运行结果出现在command界面。
Matlab 中向量 a 的范数为：norm(a)
若 a ( x1 , x 2 ,..., x n ), 则 norm (a )
i 1
xi
n
2
例12 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b的范数
解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740 练习：对例6计算：a,b夹角的余弦 解法一： dot(a,b)/norm(a)/norm(b) 解法二： dot(a/norm(a),b/norm(b))
此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数 行列式的值为零，由 E A 0
1 12.1229, 2 - 5.7345,3 - 0.3884
在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量 的方法如下： [V,D] = eig(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V 的每一列是对应于特征值的特征向量.
2. A = ones(n,m)：表示元素全为1的n×m矩阵 3. A = zeros(n,m)：产生n×m维零矩阵
4. A = rand(n,m):产生n×m维随机矩阵（元素 在0～1之间）
例13. 下表是全国5个主要湖泊的实测数据
指标 湖泊 杭州西湖 武汉东湖 青海湖 巢湖 滇池 总磷 （mg/L） 130 105 20 30 20 耗氧量 (mg/L) 10.30 10.70 1.4 6.26 10.13 透明度 (m) 0.35 0.40 4.5 0.25 0.50 总氮 (mg/L) 2.76 2.0 0.22 1.67 0.23