大学物理第十章

总自感电动势
dI e e1 e 2 ( L1 L2 2M ) dt
总自感系数 反接：
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M 课后作业
当两线圈无漏磁耦合，且 L1 = L2 = L0
M L1L2 L0
顺接：
反接：
L 4L0
L0
1861年，麦克斯韦提出了感生电场的假设

E E1 E2 ,
L
B E dl dS (2) S t

+
B 增加 I
E
二、描述磁场性质的方程
例4、有一无限长直导线，与一边长分别为 b 和 l 的矩形线圈在同一平面内，求它们的互感系数。 解：
0 I dΦ BdS ldr 2 r
Φ
a b a
0 I B 2 r
I
r a dr b l
0 Il 0 Il a b dr ln 2 r 2 a
Φ 0l a b M ln I 2 a
Ψ21 N 2Φ21 M 21I1 Ψ12 N1Φ M12 I 2 12
M12 M 21 M
1 2
Ψ21 M I1 Ψ12 M I 2
Ψ12
I1 I2
Ψ21
互感系数仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对 位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）.
dΨ21 dI1 e 21 M dt dt
1 2 0 I l R2 ln Wm LI 4 R1 2
2
0l R2 L ln 2 R1
解：法2 H B L Wm
dS= ldr
H B
I 0 I 2 r 2 r
0
R1 r R2
（ 其 他 ）
0I l d B dS dr 2 r
五、 磁场的能量
以RL电路为例：
di 自感电动势： e L L dt di 回路方程： e L Ri dt
R
e
i
K
2
L
e idt Lidi Ri dt
e idt
0
t
I
0
Lidi Ri dt
2 0
t
1 2 0 e idt 0 Ri dt 2 LI
电流
激 发 磁场
变化 变化
D t
B
电场
★ 随时间变化的电场激发时变磁场;
H t
E涡
★ 随时间变化的磁场激发时变电场;
在空间形成电磁场，以电磁波的形式传播。
例1 有一圆形平行平板电容器, R 3.0cm .现对 其充电,使电路上的传导电流 I c dQ dt 2.5A , 若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两 极板间离开轴线的距离为 r 2.0cm 的点 P 处的磁 感应强度 .
解 如图作一半径 为 r平行于极板的圆形 回路，通过此圆面积的 电位移通量为
Q
R
Q
Ic
P *
r
Ic
Ψ D(π r )
2
D
r Ψ 2 Q R
2
dΨ r dQ Id 2 dt R dt
2
Q
Q
P
Ic
R
*r
Ic
dΨ r dQ Id 2 dt R dt
2
H dl I c I d I d
L： B：
I
n
n：
穿过以
L 为边界的的任意曲面的电流的代数和
规定： 与
L 绕向成右旋关系时， I n 0
§10-1 位移电流 安培环路定理的推广
一、位移电流
安培环路定理 :
1. 问题的提出

L
H d l I
电流密度
矛盾 ？！
L
L H d l I S1 j d S H d l 0d S 0
自感系数 描述线圈电磁惯性的大小
L越大回路中电流越难改变。
2、互感
K
（1） 互感现象
2 1
e
R

G

B2
B1 I1 I2
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中 产生感生电动势的现象 — 互感现象。 互感电动势
互感电动势不仅与电流改变的快慢有关，而且也与 两个线圈的结构以及它们之间的相对位置有关。
S2
L
S1
S 2 D(t )
产生矛盾的要害： 传导电流在电容器内中断了。
I I (t )
~
但电容器中有随时间变化的电场： D D(t ) 电位移 D e 0 E P e 0e r E eE
2. 麦克斯韦假设 — 随时间变化的电场等效于 一种电流 — 位移电流 ，
对
B ： 与空间所有电流有关
B d l
L
无贡献
I2
安培环路定理揭示磁场是非保守场（涡旋场）
§10-1 位移电流 安培环路定理的推广

成立条件：
L
B d l 0 I n
n
稳恒电流产生的磁场 — 稳恒磁场 场中任一闭合曲线 —— 安培环路（规定绕向） 环路上各点的磁感应强度（包含空间穿过 L ， 以及不穿过 L 的所有电流的贡献 ）
R1< r < R2
0 I B2 wm 2 2 2 0 8 r
dV 2 rldr
Wm wm dV
V
2 R2
1
R2
R1
0 I 2 lrdr 2 2 8 r
2
2
0 I l R2 0 I l dr R r 4 ln R1 4
能量法求自感系数
例6、均匀磁场分布在半径为 R 的圆柱形空间区域内。 已知磁感应强度的变化率为大于零的恒量。问在任意 半径 r 处感生电场的大小以及棒AB上的感生电动势。
解：对称的磁场对称的涡旋电场电
场线是一系列同心圆、方向逆时针。
r R 时 Φ BS B r
2
d e Ek d l L dt 2 dB B r Ek 2 r A dt 1 dB Ek
解：(1)
N1 B 0 I1 l N1 N 2 I1S Ψ21 N 2 BS 0 l
l
Ψ21 0 N1 N 2 S 5 M 2.5110 H I1 l
(2)
dI1 e 21 M dt 5 2.5110 10 2.5110 H
4
(3)
可在周围激发磁场。 1861年，麦克斯韦提出了感生电场的假设 变化的磁场在周围空间要激发电场，称为感生电场。
3. 位移电流 I 位
L
(1) 位移电流密度
S1
S 2 D(t )
(2) 位移电流
D j位 t
I I (t )
~wk.baidu.com
D I 位 j位 dS dS S S t
S
D1 dS q ; 涡旋电场： D2 dS 0
2. 环路定理

S
D dS q
S
(1)
总电场：
B 静电场： E1 dl 0 ; 涡旋电场： E2 dl dS L L S t
例5、自感分别为 L1 和 L2 ，互感为 M 的两线圈串联。如果两线 圈的磁通互相加强，称为顺接（图a），如果两磁通互相削弱， 称为反接（图b）。计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。
1
解：顺接
2
（图a）
1
2 （图b）
dI dI 线圈1中的电动势： e1 L1 dt M dt dI dI 线圈2中的电动势： e 2 L2 M dt dt
1 2
e e
2
e 21
I1 I2
Ψ 22 Ψ21
dI 2 dI 1 L2 M dt dt
例3、设在一长为 1 m，横断面积 S = 10 cm2，密绕N1= 1000 匝线圈的长直螺线管中部，再绕 N2= 20 匝的线圈。（1）计 算互感系数；（2）若回路1中电流的变化率为 10 A/s，求回 路2中引起的互感电动势；（3）M 和 L 的关系。
I

l


R2
R1
0 Il R2 0 I l ln dr 2r 2 R1
0 l R2 L ln I 2 R1
0 I 2 l R2 1 Wm LI 2 ln 2 4 R1

I1 I3
L1
L
B d l 0 I n
n
L2
B的环流： 只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L的电流：对 B和 B d l 均有贡献 L 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献，

Ek


Ek


Ek r 2 dt
三、自感和互感
1、自感
（1） 自感现象
Ψm LI
L
— 自感系数
单位：亨利 H
自感系数由线圈形状、大小、匝数、 周围介质分布等因素决定。 如果自感系数为常量，由法拉第电磁感应定律，
dI e L L dt
负号表示自感电动 势总是要阻碍线圈回路 本身电流的变化。
dΨ12 dI 2 e12 M dt dt
互感系数 反映两耦合回路互感的强弱
• 综合考虑
：当两个线圈同时分别通电流
？
I1（t）、I2（t），感应电动势 e 1、 e 2
每个线圈中都有自感电动势和互感电动势！ 线圈1 线圈2
2L
e e e
1
dI1 dI 2 1 L 12 L1 M dt dt
即指随时间变化的电场：
D I 位 j位 dS dS S S t
I 传 的等效，即：随时间变化的电场在周围
(2) 低频时， I 位 不产生焦尔热(无热效应)。
(3) I 位 的磁效应与 激发磁场 。
D( t )
H (t )
二、电磁场 电荷
激 发 运动
Ψ1 N1Φ1
Ψ1 0 N S L1 I1 l
2 1
0 N I S
2 1 1
l
Ψ2 0 N S 同理： L2 I2 l
2 2
L1 L2
N N S
2 0 2 1 2 2
2
l
2
M
2
M L1L2
k 称为“耦合系数”
一般情况：
M k L1L2
0 k 1
D 5. 全电流 I全 I传 I位 I d S S t 6. 安培环路定理的推广 D L H d l I全 I S t d S

矛盾得到解决。
全电流安培环路定理
7. 位移电流的性质
(1) I 位 并非电荷定向运动产生，其本质是电位移通量的变化率，
磁场的能量密度：
Wm 1 B wm V 2
2
2
BH
1B 1 1 wm BH H 2 2 2 2
例6、一根长直电缆，由半径为 R1 和 R2 的两同 轴圆筒组成，稳恒电流 I 经内层流进外层流出。 试计算长为 l 的一段电缆内的磁场能量。 解：
R1
R2 I
r
0 I B 2 r
l
r dQ H (2 π r ) 2 R dt
2
计算得
r dQ H 2 2 π R dt
B
0 r dQ
2 π R dt
2
代入数据计算得
I d 1.1A
B 1.1110 T
5
§10-2 麦克斯韦方程组
一、描述电场性质的方程
1. 高斯定理 静电场：
总电场：
D D1 D2 ,
变化的磁场在周围空间要激发电场， 称为感生电场。感生电流的产生就是这一电 场作用于导体中的自由电荷的结果。
B 增加 I
周围空间都有激发电场， 导线圈只起探测器作用。
E
电场线闭合 E dS 0
s
正向磁通 增加
B
正向磁通 减少
B
L
dΦ 0 dt
L
dΦ 0 dt
e 0
e 0
4. 位移电流与传导电流的关系
D D d S Dd S I位 S t t t S q ( S ) ( D S ) D I位 I传 t t t t
★ 结论：传导电流中断处有位移电流，两者相等并构成闭合电路。
t t 2
e idt
0
t
电源所作的功 消耗在电阻上的焦耳热 电源力反抗自感电动势做 的功转化为磁场的能量

t
0
Ri dt
1 2 LI 2
2
1 2 Wm LI 2
长直螺线管为例： L n V
2
2
B I n
2
1 2 1 1B 2 B Wm LI n V n 2 V 2 2