第3章佳逼近多项式

最佳逼近多项式
邹昌文
最佳一致逼近多项式/ optimal uniform approximating polynomial / （简记为OUAP）
定义：设f ( x ) C [a , b], f 已定义，M n为不超过 n次的多项式的集合，M n C [a , b], 寻找Pn M n 使得 f ( x ) Pn ( x ) m ax f ( x ) Pn ( x ) 为最小，
最佳平方逼近多项式
定义：定义范数 f
2
( f , f ) , 则最佳平方逼近
可描述为：f ( x ) C [a , b], M为C [a , b]的子空间， 选择 ( x ) M，使得 f
2
( f , f )为最小
定理2：C [a , b]是内积空间，M是其有限维子空间， f ( x ) C [a , b]，M中 * ( x )是f ( x )的最佳平方逼近 函数的 f *与M中任一元正交
wn+1 ( x) wn+1 ( a+b + ba t ) ( a+b + ba t x0 )...(a+b + ba t xn ) 2 2 2 2 2 2


b a n +1 2 b a n +1 1 2 2n
( t t 0 )...(t t n )
1 0


( 0 , 1 ) ( 1 , 0 )
1 0
1
0
( 0 , f ) e x dx e 1 ( 1 , f ) xe x dx 1
1 0
1 xdx 2
( 2 , f ) x 2 e x dx e 2
1 0
1 1 / 2 1 / 3 c1 e 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 c 2 1 1 / 3 1 / 4 1 / 5 c e 2 3
=0
f
* 2 2
+ f
* 2
2
* 2 2
为最佳平方逼近
（）用反证法 设 * M为f ( x )的最佳平方逼近函数，但存在
M使得( f * , ) a 0
记( , ) b 0( ) 2 a a a * * * f ( f , f ) b 2 b b
y
y y ( x) + En
y Pn ( x)
可见Pn(x) 是 y(x)的 某一个插值多项式
y y ( x) y y ( x) En
v 2.0
如何确定
插值节点{ x0, …, xn }
x
0
的位臵，使得Pn(x) 刚好是 y 的OUAP ？ 即，使插值余项
| Rn ( x ) |
v 3.0
在[ 1, 1]上求函数 xn 的n1阶 OUAP。
由Chebyshev定理可推出：Pn1(x) 关于xn 有n+1个偏 差点，即wn(x)在 n+1个点上交错取极大、极小值。
v 3.1
在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组{ t1, …, tn+1 } 。
切比雪夫多项式 /Chebyshev polynomials/
*
的构造求法
*
设M的基底为span 0 ,1 , n
M , c j j
j 0 n
由定理2，f , i ) 0, i 0,1,n (
( f c j j , i ) 0, i 0,1, n
( i , j )c j ( i , f )
Tn ( x ) 可见：若取 w n ( x ) n1 ，则wn在[ 1 , 1 ]上有 n+1 个极 2
值点{ tk }，也即Pn1(x) = xn wn(x)关于xn在[ 1 , 1 ]上有 n+1个交错偏差点{ tk } 。 v3.0 OK
n
在[ 1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 wn( x) ( x xi ) 的 i 1 ||wn|| 最小。 1 1 n min || wn || n1 Tn ( x ) n 1 || Pn1 ( x) x || 取最小值 w n n 2 2 { x1, …, xn } 即为 Tn(x)的n个零点。
和极小值1，即 Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
当 xk cos
xn } 为Tn(x)的n个零点。
2k 1 (k 1, ... , n) 时 Tn ( xk ) 0 ，即 {x1, …, 2n
Tn(x)满足递推关系： T0(x) = 1， T1(x) = x， Tn+1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
证（） M， * M
f
2 2
( f , f )
( f + , f + )
* * * *
( f * , f * ) + 2( f * , * ) + ( * , * )
v 2.1
= {首项系数为1的 nx阶多项式 0, …, xn }的位臵，使得Pn(x) 刚 /*monic polynomials of degree n */ } y ( n+1) ( ) n 好是 y 的OUAP ？即，使插值余项 | Rn ( x ) | ( x xi ) ( n + 1)! i 0 达到极小？ 取{ x0, …, xn } 为Tn+1(x)的n+1个零点，做 y 的插值多项式
Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n1。且T2n(x)只含 x 的 偶 次幂， T2n+1(x)只含x 的 奇 次幂。
OKOK, I think it’s enough for us… What’s our target again?
v 3.1 v 3.0
在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组{ t1, …, tn+1 } 。 在[ 1, 1]上求函数 xn 的n1阶 OUAP。
令 x = cos( ) ，则 x [ 1 , 1 ]。
Tn 的重要性质：
Tn ( x ) cos(n ) cos(n· cos x ) 称为Chebyshev多项式 arc
k t k cos ( k 0, 1, ... , n) 时，Tn (t k ) 交错取到极大值 1 当 n 1
Tn+1 ( t )
( b a ) n+1 2 2 n+1
Tn+1 ( t )
即以 xk
a+b ba 2k + 1 + cos 为插值节点 (k=0,…, n)， 2 2 2n + 2
y ( n+1) ( ) (b a )n+1 得Pn(x)，余项 Rn ( x ) Tn+1 (t ) 有最小上界。 2 n +1 (n + 1)! 2
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。P79 Th.4 （Chebyshev定理）Pn 是 y 的OUAP Pn 关于 y 在定义域 上至少有n+2个交错的 偏差点。
k 即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得 Pn (tk ) y(tk ) (1) || Pn y ||
P2 ( x) 1.013+ 0.851x + 0.839x
2
n j 0
求解出c0 , c1 ,cn即可得 * c j j ( x )
例：设f ( x ) e , x [0,1],求最佳二次平方逼近
x
多项式P2 ( x ) c0 + c1 x + c2 x
2
解：M span 1, x, x 2
( 0 , 0 ) 1dx 1
a xb
则称Pn ( x )为f ( x )的n次最佳一致逼近多项式
偏差
也称为minimax problem。
/deviation/
若 P( x0 ) y( x0 ) || P y || ，则称 x0 为 偏差点。
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
{ tk }称为切比雪夫交错组 /* Chebyshev alternating sequence */
P79 Th.5 若 y C[a, b] ，则 n 次OUAP 唯一。P80 推论1
由Chebyshev定理可推出：Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号 n+1 次，故至少有 n+1 个根。
j 0 n
n
j 0
i 0,1, n
即 ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( , ) ( , ) n 1 n 0 ( 0 , n ) c0 ( 0 , f ) ( 1 , n ) c1 ( 1 , f ) ( n , n ) cn ( n , f )
y ( ) ( x xi ) ( n + 1)! i 0
( n +1 ) n
பைடு நூலகம்
达到极小？
在[ 1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 wn( x) ( x xi ) i 1 的||wn|| 最小。
v 2.1
n
wn ( x) xn Pn1 ( x) ，要使||w || 最小就意味着 注意到 n
考虑三角函数 cos(n ) 在[ 0, ] 上的 n + 1 个极值点。
k k 当 n ( k 0, 1, ... , n) 时， cos(n )交错达到极大值 1 和极
n k 0
小值 1 ，且存在系数 a0, …, an 使得 cos(n ) ak (cos )k
v 2.0 n如何确定插值节点{
Pn(x)，则插值余项的上界可达极小
M 2 n ( n + 1)!
。
注：
上界最小不表示| Rn(x)|最小，故Pn(x)严格意义上只是y(x)

的近似最佳逼近多项式； a+b ba x + t ，则 对于一般区间 x [a, b] ，可作变量替换 2 2 t [ 1 , 1 ] ，这时
a a * ( f , f ) b b =a =b 2 2a a * * * ( f , f ) ( f , ) + 2 ( , ) b b 2 a2 * * 2 f f 2 2 b
*
不是最佳平方逼近函数 ，矛盾