6.4 感生电动势和感生电场

变化的磁场 B 适用。 （2）由法拉第电磁感应定律计算 d 闭合回路： 感
dt
E 感 d l 0 就最好。
非闭合回路： 做辅助线，如果对辅助线有
三
螺线管磁场变化引起的感生电场
P236
P236 例1：无限长螺线管的电流随时间作线性变
dB 化，其内部的 B 也随时间作线性变化，已知 的
C E感（径向）


C

B

D

C

A
D
管外无限远处:
E感 0


D A
D
C
E 感 dl 0

C B
E感径向 dl
E感径向 dl

ABCDA
E感 dl

B

A

C

B

D

A

B
A
E 感轴向 d l 0
故 E 感 的轴向分量为零。
数值，求无限长螺线管内外空间 E 感 分布。（默认 E 感 在趋于无限远时趋于零）
dt
解：无限长螺线管内外空间的磁场 管内磁场均匀，方向平行于轴线，大小为
B内 0 n I 管外： B 0
磁场的附近空间产生 E 感。
螺线管中的电流变化，磁场也随之变化，必在
当I作线性变化时，
E感
r dB 2 dt
2 dt E 感 方 向 ： 与 B的 变 化 相 反
E感 大 小 ：
r dB
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L同 向 ； dt
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L 反 向 。 dt n (B) 即计算结果 E 感 0 ε感 时， E 感 与 L 同向，
§6.4 感生电动势和感生电场
一 感生电动势、感生电场（B变、S不变） 空间磁感应强度变化在导体回路中引起的感应电 动势为感生电动势。 产生动生电动势的原因为电子所受洛仑兹力，那 么产生感生电动势的原因是什么？ 1、感生电场的提出 麦克斯韦假设： “变化的磁场也会激发电场”， 并称此电场为感生电场。 （1）推动导体中电荷定向运动形成感生电动势 （电流）的非静电力是感生电场给予电荷的感生电场 力。
否则反向。
（2）管外，同理得
E感
L
2 rE 感 R
2
dB dt
C
L´
E感
R 2r
2
dB dt
dB dt
2
R
P´
注意： L′上各点 但L′内圆面积
为零，
dB dt
R 上各点
不为零。
例2：求例1螺线管内横截面上直线段MN的感
生电动势。 P239小字部分：自学 四 电子感应加速器 P240—243 自学
（2）当空间同时存在电荷和变化的磁场时
E E库 E感
其中： E 库 可以是三部分
静电场：q静止不动 恒定电场：
、
不随t变
、
变化电荷激发的电场：
随t变
上述三种情形均为电荷按库仑定律激发的电场。 （3）麦克斯韦的假设从理论上揭示了电磁场的联 系，并已为近代科学实验所证实。 “电子感应加速器”就是利用感生电场加速电子 的装置。(P240)
B t
t
还是坐标的函数，
表示同一点（x、y、z为常数）
的 B 随t的变化率。

n (B)
① 上式说明： E 感 不是势场，非势 场也称为涡旋电场。
E 感 ds E 涡 ds 0
E感
ε感
L
② 在①的基础上，麦克斯韦假设


与

S
B d s 0 类比说明： E 感 线是无头无尾的曲线。
②
E 库 内要产生静电感应。
E 感 是涡旋场（非势场），不能引入电势概念。 ③ 导体放在 E 感 内要产生感生电动势；导体放在
E库
是势场（无旋场），可以引入电势概念；
（5）总电场的场方程 当空间同时存在电荷源和变化磁场时，某时刻空 间任一点的总电场为
E E库 E感
引起感生电动势的非静电力是感生电场力。感 生电动势的大小等于单位正电荷在闭合电路中运动 一周时感生电场力所做的功 d 感 E感 dl 0
L
dt
其中： 是穿过以L为边界的任一曲面S的磁通，积 分路径L的方向与 的正方向成右手螺旋关系。 B d s 而
2、感生电场的性质
（1）回顾
） 感生电场 E 感 产生的原因：变化的磁场（ t 库仑电场 E 库 产生的原因：电荷按库仑定律激发
B
E 库 所遵从的规律：

S
E 库 dS
q
0
内
高斯定理（有源场） 环路定理（有势场）

L
E 库 dl 0
（2） E 感 服从怎样的规律？

q内 E ds
S
0
S

L
E d l
B t
ds
说明总电场 E 是发散场（有源场），是涡旋场。
二
感生电动势的计算（不作要求） 两种计算方法
（1）由 感 E 感 d l （定义式）计算 要求知道导线上各点的 E 感 ，此方法只对轴对称

L
E 感 dl

L
E 感 dl 2 rE 感
等式右边对以L为边界的任一曲面求通量，把这 个面选为以L为边界以r为半径的圆面积（这是最简单 的选法），这块圆面积上各点 线平行，故
B
dB dt
相等且与面的法

S
dB ds t dt
ds
S
r
2
dB dt
S

L
d d E 感 dl dt dt

S
B d s
S
B t
L
ds
（回路不动，S不随t变，对t的微分进入积分号内）
注意：* 曲面S的法线方向应与曲线L的积分方 向成右手螺旋关系；
B （偏导），是因为 B ** B 对t的微商写成
（2） E 感 在以轴为心的圆周上无径向分量，只有
切向分量。
管内外的 E 感 线为以轴为心的一些同心圆环， E 感
的方向在圆周的切线方向上。且由对称性知同一圆周
上各点 P237 过柱壁作一闭合平面曲 线ABCD，CD边在无 限远处。有
A B
径向分量方向向外，通量结果＞0 径向分量方向向内，通量结果＜0 即若有径向分量，则 的性质矛盾。
2、求 E 感 的大小
径向分量

S
E 感 d S 0 ，此与 E 感
（1）管内
由式

L
E 感 d l
S
B t
ds
C
求解
r R
L P
对积分路径L 有
E感（径向） E感（轴向）
D
积分方向
C E感（径向）

ABCDA
E感 dl

ABCD
B t
ds
dB dt
位于柱体内，在水平面ABCD内的分量为0。

E感 dl 0

ABCDA B A
E感 dl
A B
E感（径向） E感（轴向）
D
积分方向
化，方向同 B ，大小 dB dI 0n dt dt
dI dt

常数，则
dB dt
也线性变
L P
C
1、 E 感 的方向 ：P237
螺线管横截面如图：
在柱坐标（ z、 r、 ）下将任一点的 E 感 写为： E感 E z E r E E 感 具有两个性质： （1） E 感 无轴向分量；
证明（2） ：用反证法，假设有径向分量（沿径 向向内或向外），沿轴线作圆柱形高斯面，通过此高 斯面的通量为


S
E 感 dS
侧

上、下底
E 感轴向 d S

侧
E 感径向 d S

E 感径向 d S 2 rl E 径向
切向分量
电子感应加速器实验为感生电场的存在提供了有 力证据。 （3） E 感 所遵从的规律（综合起来） E 感 d S 0
S

L
E 感 d l
B t
dS
S为L所围曲面
S
（4） E 库 、 E 感 的性质不同 ① E 库 是有源场，场线起于正电荷，终于负电荷； E 感 是无源场，场线是无头无尾的曲线。