积分变换复习提纲(总结)
积分变换复习提纲（20学时）——基本内容
第一章 Fourier变换
（一）目的与要求
1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；
2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；
3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容
第一节Fourier积分
1．主要内容：傅里叶积分。
2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3．问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。第二节Fourier变换
1．主要内容：傅里叶变换。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，
Fourier变换的物理意义—频谱。
3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲
函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
第三节Fourier变换的性质
1．主要内容：傅里叶变换的性质。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换
与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数
1．主要内容：卷积与相关函数。
2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用
1．主要内容：Fourier变换的应用。
2．基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。
3．问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习
习题一21)2
）；31),3)；4；习题二1；31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8；10；112),4) 6),8)；习题四16) 8)；2；52) 4) 5) 6)。习题五1；2；32)；42)。
第二章 Laplace变换
（一）目的与要求
1．理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉拉氏变换的存在定理；
2．了解Laplace变换与Fourier变换的区别，周期函数的Laplace变换公式，拉氏反演积分，卷积的概念与卷积定理；
3．掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质求一些函数的Laplace变换，用留数求像原函数的方法，一些微分方程的拉氏变换解法。
（二）教学内容
第一节Laplace变换的概念
1．主要内容：拉普拉斯变换的概念。
2．基本概念和知识点：Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的存在定理，
Laplace变换与Fourier变换的区别。
3．问题与应用（能力要求）：理解Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的
存在定理，了解Laplace变换与Fourier变换的区
别。
第二节Laplace变换的性质
1．主要内容：拉氏变换的性质。
2．基本概念和知识点：拉氏变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）：掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质
求一些函数的Laplace变换。
第三节Laplace逆变换
1．主要内容：Laplace逆变换。
2．基本概念和知识点：拉氏反演积分，用留数求像原函数。
3．问题与应用（能力要求）：了解拉氏反演积分，掌握用留数求像原函数。
第四节卷积
1．主要内容：卷积。
2．基本概念和知识点：卷积的概念与卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）：理解卷积的概念与卷积定理，掌握用卷积求Laplace
逆变换。
第五节Laplace变换的应用
1．主要内容：拉氏变换的应用。
2．基本概念和知识点：微分方程的拉氏变换解法。
3．问题与应用（能力要求）：掌握一些微分、积分方程的拉氏变换解法。（三）课后练习
习题一11) ,3), 5), 7)；42),4)；习题二12), 4), 6), 8) ,10)；31),2) ,4)；42),3)；52),4) ,6) ,8) ,10)；
62),4) ,6) ,8)；习题三21),3) ,5) ,7) ,9)；32),4) ,6) ,8)；习题四12) ,4) ,6)；2；习题五
12) ,4), 6), 8), 14)；22) ,4), 6)；32) ,4)；42) ,4), 6)；51),2)。
积分变换复习提纲（20学时）——基本公式
一、傅里叶变换的概念
●
[()]()()j wt F f t f t e dt F w +∞--∞==? ● 11[()]()()2j t F F F e d f t ωωωωπ
+∞--∞=
=? 二、几个常用函数的傅里叶变换 ● 1[()]F e t j βω=+，其中（单边）指数衰减函数(),00
,0t e t e t t β-?≥=?
1[()]()F u t j πδωω=+ ●
[()]1F t δ= ● [1]2()F πδω=
三、傅里叶变换的性质
● 位移性（时域）：00[()]jwt F f t t e
--=[()]F f t
● 位移性（频域）：000[()]()()j w t w w w F e f t F w F w w =-==-
● 位移性推论：0001[sin ()][()()]2F w t f t F w w F w w j =
--+ ● 位移性推论：0001[cos ()][()()]2
F w t f t F w w F w w =-++ ● 微分性（时域）：[()]()()F f t jw F w '= （,()0t f t →+∞→），
()[()]()()n n F f t jw F w =，(1),()0n t f t -→+∞→
● 微分性（频域）：()()()[()],[()()]()n n F jt f t F w F jt f t F w '-=-= ● 相似性：1[()]()w F f at F a a
= (0)a ≠（略） 四、拉普拉斯变换的概念
● 0[()]()()st L f t f t e dt F s +∞
-==?
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
● 1[]kt L e s k
=-；
●
11(1)；（1(1)1,()(1)()2m m m Γ=Γ=Γ+=Γ） ●
1[()][1]L u t L s ==； ●
[()]1L t δ= ● 22
22[sin ],[cos ]k s L kt L kt s k s k ==++ ● 2222[s ],[]k s L hkt L chkt s k s k
==-- ● 设()()f t T f t +=，则01[()]()1T Ts L f t f t dt e
-=-?。（()f t 是以T 为周期的周期函数） 六、拉普拉斯变换的性质
● 微分性（时域）：()()()2[]0,[()]()(0)(0)L f t sF s f L f t s F s sf f ''''=-=--
● 微分性（频域）：()()[()]L t f t F s '-=，()()()[()]n n L t f t F s -= ● 积分性（时域）：()()0[]t
F s L f t dt s
=? ● 积分性（频域）：()()[]s f t L F s ds t
∞=?（收敛） ● 位移性（时域）：()()[]at L e f t F s a =- ● 位移性（频域）：()()[]s L f t e F s ττ--=（0τ>,0,()0t f t <≡） ● 相似性：1[()]()s L f at F a a
= (0)a > 七、卷积及卷积定理 ● 1212()*()()()f t f t f f t d τττ+∞
-∞=-?（或)()(21t f t f *=120
()()t f f t d τττ-?） ● 1212[()()]()()F f t f t F w F w *=? ● 12121[()()]()()2F f t f t F w F w π
?=* ● 1212[()()]()()L f t f t F s F s *=?
八、几个积分公式
●
()()(0)f t t dt f δ+∞-∞=?； ● 000()[()]()f t dt L f t ds F s ds t +∞∞∞==???； ●
00()()()f t t t dt f t δ+∞-∞-=?； ● 0()[()]kt s k f t e dt L f t +∞-==?。
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示
2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z
复变函数与积分变换习题答案
习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
北京林业大学复变函数与积分变换结课论文
复变函数与积分变换 结课论文 题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师： 学号： 姓名： 班级： 学院：
拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用 摘要 拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。 关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程
一、拉普拉斯变换的概念及其性质 1.1问题的提出 我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。 虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。[1] 对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数t β-e （β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因 此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。 1.2拉普拉斯变换的定义 当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)( t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )]( [t f L 。 相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。即 )]([)(1s F L t f -=. 1.3拉普拉斯变换的性质 1、线性性质[3] 设α、β为常数，且)()]([),()]( [s G t g L s F t f L ==，则有 0 ()()st F s f t e dt +∞ -=?
复变函数与积分变换公式
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
积分变换的认识与应用
积分变换的一些应用 积分变换 积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。 傅里叶变换 定义 傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换： 它存在逆变换，则傅里叶逆变换： 有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为： 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 个别应用 傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。 根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵 ，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为： ，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：
积分变换学习笔记
积分变换-意义 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 一、傅立叶变换 意义 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇 定义 f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。
欧拉公式： ? +?=? sin cos i e i 二、傅里叶变换与逆变换的性质 1.线性性质: 2. 位移性质 () 1 (),22Dirichlet ()()()Fourier ()cos sin 2T T T T T n n n T T f t T f t f t f t t a f t a n t b n t ωω∞ =?? --???? ??=++∑为周期函数，在上满足 条件： 连续或仅有有限个第一类间断点；仅有有限个极值点 则可展开为级数，且在连续点处成立： )] ([)]([)]()([)]([)]([)]()([1 11ωωωωG B F A BG AF t g b t f a t bg t af ---+=++=+F F F F F F 为实常数，则 ，若00,)()]([ωωt F t f =F
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ()()x a F x f t dt =? 形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。） 关于积分上限函数的理论 定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则?=x a dt t f x F )()(在],[b a 上连续。 定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=x a dt t f x F )()(在],[ b a 上可导，而且有 ).(])([)(x f dt t f dx d x F x a == '? ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数与积分变换重要学习知识重点归纳
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
复变函数及积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解：
1 ar 2 1 ar 2 1 ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π ?? + ? ?? == ? ? =? ? ? (2) 解： 6 22 6363 4 63 22 2 i k i i i i e i e e e i π ππππ ππ ???? ++ ? ? ???? ?? + ? ?? ? =+ ? ? ? ? ====+ ? ? ?=- ? (3) i i 解： ()22 22 i i k k i i e e ππ ππ ???? +-+ ? ? ???? == (4) 解： ()1/22 22 i i k k e e ππ ππ ???? ++ ? ? ???? == (5) cos5α 解：由于：()() 55 2cos5 i i e e ααα - +=， 而： ()()()() ()()()() 5 555 5 5 555 5 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i α α αααα αααα - = - - = =+= =-=- ∑ ∑ 所以： ()()()() ()()() ()()()() 5 55 5 5 55 5 4325 3 5 4325 1 cos5cos sin cos sin 2 1 cos sin11 2 5cos sin cos sin cos 5cos sin10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααα αα ααααα ααααα -- = -- = ??=+- ?? ?? =+- ?? =++ =-+ ∑ ∑ (6) sin5α 解：由于：()() 55 2sin5 i i e e ααα - -=， 所以：
积分变换
积分变换、数学物理方程与特殊函数 经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。 首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。 复数形式的欧拉公式： ?? ???-=+=-=+= ---x i x e x i e i e e n w t e e n w t ix ix inwt inwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数： ?? ?<>=0 ,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。 2.矩形脉冲函数： ???????><=2,02 ,τττ t t E t P ）（ 3.δ函数： ? ??≠=∞+=0,00 ,)(x x x δ 表示密度分布的极限。 δ函数具有筛选性质： )0()()(-f dx x f x =? +∞ ∞ δ 其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-?+∞∞ δ 同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =?，[])()(22w F t f =?，则
积分变换主要公式
一、傅里叶变换 1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件： 1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞ -∞?收敛； 则傅氏积分公式存在，且有 ()()()()()(), 1[]11002,2 iw iw t f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ +∞+∞--∞ -∞ ??=-?++-? ?? ? 是的连续点是的第一类间断点 2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞ --∞ ==? 1-2 傅里叶逆变换定义式：()1 1[]()()2iw t F F w f t F w e dw π +∞--∞ == ? 1-3 3、常用函数的傅里叶变换公式()1 ()F F f t F ω-??→←?? 矩形脉冲函数 1 ,22()sin 2 0, 2 F F E t E f t t τ τωτω-?≤?? ??→ =? ←???> ?? 1-4 单边指数衰减函数 ()()1 ,01 1 ,0 t F F e t e t F e t iw j t βββω --?≥??→=?= ??? ←????++
复变函数与积分变换 复旦大学出版社 习题六答案
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =
积分变换中非常有用的公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
工程数学积分变换答案
工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】 建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛 应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析与场论部分 第一章向量与向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6 向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数与积分变换部分 第一章：复数与平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。
复变函数与积分变换总结
第一章小结 一、 复数及运算 1. 复数及代数运算 2. 复数的几何表示 复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐 角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积(商)的模等于模的积(商)，幅角等于幅角和(差)；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便 二、 复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域 三、 复变函数 1. 对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法 (1). 参考一元实变函数的研究方法 例. 设函数()f z 在0z 连续，且0()0f z ≠，证明必存在0z 的一个邻域，使得在此邻域内()0f z ≠ 证明：设0 0lim ()()z z f z f z →=，则对任意的0(),2 f z ε= 存在0δ>使得当0z z δ-<时 00()()(),2f z f z f z -< 因此 00()()(),2 f z f z f z -< 所以 0()()0.2 f z f z >> (2). 转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论 四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤 1. 证明复数模的不等式 关键步骤： (1). 证明原不等式两端平方后的不等式 (2). 利用2 z z z = 2. 确定平面曲线的复数方程 关键步骤：转化为求,x y 满足的方程 3. 确定复数方程对应图形 关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,x y 的方程；转化为关于,r θ的方程 4. 确定映射()w f z =将z 平面上的图形映到w 平面上的图形 关键步骤： (1). 写出()w f z =对应的两个二元实变函数
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2
习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.
(完整版)复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式. .专业资料.整理分享. 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ?≥=+??
积分变换课后答案
1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F