积分变换 (课堂PPT)

满足付氏积分定理的第2°条,才能保证
存
在。
lim
T
fT
(t)
5
.
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上
的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
F
2 k s i n 0
2 3
8
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0.的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
f (t)
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2
2
t
f(t)21
F()ejtd 1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
7
| t | 1
.
0
sin cos t
d
2 4
0
| t | 1 | t | 1
因 此 可 知 当 t 0时,有
s in x d x s in c ( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2s i n 可 作 出 频 谱 图 :
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
量那样, 以统一的方式加以解决.
14
.
0 t0
给
函数
序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定
义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
fT(t)a 2 0n 1(a nco nts b nsinn t)
(1 .1 .1 )
其中 2T称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t) 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
a0
2 T
T
2 T
2
fT (e)dt
dnT 2T 2T 2fT(e)dt(n1,2,3,)
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sinn td(tn1,2,3,)
3
.
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnejwnt n (三)付氏积分 任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
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如果我们形式地计算这个导数, 则得.
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
2
.
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
co ns t1(ej ntej nt) (1 .3 .1)0
2
sinnt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
11
.
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
f (t)dt
则积发
F(w) f(t)ejwdt 存t 在,并且在f
(t)的连续点处
f(t)1 F(w)ejwdt t而在f
2
(t)的间断点t0处，应以
1 2f(t00)f(t00)代替该式左端的f (t)。
注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，
才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象
原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
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例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t
1
.
的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
积分变换 .
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
§1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
§2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
1
.
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
(一)付氏级数
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
f(t)2 1 f(t)ejwdt e tjw dt w
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
4
.
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列
条件：
1°在任一有源自文库区间满足狄利克雷条件；
2°
2
2j2ejtd
10cos2t 2sintd
9
.
因 此0cos2t 2sintd e0 /2 t
t0 t0 t0
10
.
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
ejn t con stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn it n( 1 .3 .9 )
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在原来电流为零的电路中, 某一.瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.