积分变换主要公式超强总结 (1)

一、傅里叶变换
1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：
1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞
-∞⎰收敛；
则傅氏积分公式存在，且有
()()()()()(),
1[]11002,2
iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ
+∞+∞--∞
-∞
⎧⎪
=-⎨++-⎪
⎩⎰⎰
是的连续点是的第一类间断点
2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞
--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11
[]()()2iwt F F w f t F w e dw π
+∞--∞
==
⎰
1-3
3、常用函数的傅里叶变换公式()1
()F
F
f t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1
,22()sin 2
0,2
F F E t E f t t τ
τωτω-⎧≤
⎪⎪
−−→=⎨
←−−⎪>
⎪⎩
1-4 单边指数衰减函数
()()1,0110
,0t
F
F
e t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨
←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()1
1F
F
t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()1
1
F
F
u t w iw
πδ-−−→+←−− 1-7 ()1
12F F
w πδ-−−→←−− 1-8 ()1
2F F
t j πδω-−−→'←−− 1-9 ()01
02F j t F
e ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F
F
t ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦
1-11
()()1000sin F F
t j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦
1-12 4、傅里叶变换的性质
设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =
（1）线性性：()()1
121()()F
F
f t f t F F αβαωβω-−−→++←−−
1-13 （2）位移性：()()0
1
0F
j t F
f t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()01
0()F j t F
e f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1
()F
F
f t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1
()F n n F
f t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1
()F
F
jt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()
()
()()1
()F
n n F
jt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()1
1
()t
F
F
f t dt F j ωω
--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：1
1()F
F
f at F a a ω-⎛⎫
−−→←−− ⎪⎝⎭
1-21 （6）对称性：()1
()2F
F
F t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：
（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1
[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2
（2）位移性：[]0()F f t t -=()0
iwt e F w - 1-14
()
00
0()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15
（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有
[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16
()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦
1-17
[]()()d
F tf t j
F w dw
= 1-18 ()()n
n
n
n d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19
（4）积分性：()
()t
F w F f t dt iw
-∞⎡⎤=⎢⎥
⎣
⎦
⎰ 1-20
（5）相似性：[]1()()w
F f at F a a
=
1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2
（6）对称性:设 ()()w F t f −→←
，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-22
5、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞
∞-。

1-23
()()12012()(),0()()0,0
t
f f t d t f t u t f t u t t τττ⎧-≥⎪*=⎨⎪<⎩
⎰ 1-24
6、卷积定理：设[]11()()F f t F w = []22()()F f t F w =
1
1212()()()()F
F
f t f t F w F w -−−→*⋅←−− 1-25 1
1212()()()()F F
f t f t F w F w -−−→⋅*←−− 1-26 7、单位脉冲函数:
筛选性：假设()f t -∞+∞在（，）上连续，则有：()()(0)t f t dt f δ+∞
-∞=⎰ 1-27
更一般的有：00()()()t t f t dt f t δ+∞
-∞-=⎰ 1-28 时间尺度变换性质：1()()c
kt c t k k
δδ-=- 其中,0k c ≠ 1-29 特殊的：1
()(),(0)kt t k k
δδ=
≠和()()t t δδ-= 1-30 乘以时间的函数()f t 性质：()()()()f t t a f a t a δδ-=- 1-31 特殊的：()()(0)()f t t f t δδ=和()0t t δ=
二、拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换定义式 ：()[]t f L =()0st f t e dt +∞
-⎰=()s F 2-1
拉普拉斯逆变换定义式：()[]()t f s F L =-1 2-2 2、常用函数的拉氏变换：
()()()1
1
1
1
1
1
1
1
22
22
22
22
11111u 1sin cos 1!L
L L
L L kt L L L L L L L L L m N L m m m L t t s
e s k k kt s k s kt s k k shkt s k s chkt s k m m t s s
δ--------∈++−−→←−−
−−→←−−−−→←−−-−−→←−−+−−→←−−+−−→←−−-−−→←−−-Γ+−−→=←−−， ()()()22
2
22
2
2
2
11
[]1231[1]241
[]25[sin ]26[cos ]27[]28[]291![]210
kt m N m
m m L t L L u t s
L e s k
k L kt s k s
L kt s k k
L shkt s k s
L chkt s k m m L t s s δ∈++=-==-⎡⎤⎣⎦=
--=
-+=-+=--=--Γ+==-
3、基本性质：设()()()()1
1
,,1,2,L
L
i i L L
f t F s f t F s i αβ--−−→−−→=←−−←−−是常数 （1）线性性质： ()()()()1
1212L
L
f t f t F s F s αβαβ-−−→⋅+⋅⋅+⋅←−− 2-11 （2）微分性质： ()()()1
0L
L
f t sF s f -−−→'-←−− 2-12 ()()()1
L
L dF s t f t ds
-−−→-←−− 2-13 推广到n 阶：
(
)
()()()()(
)
()1
112000L
n n n n n L
f t s F s s f s f f ----−−→'---←−−2-14
()
()()1
n
L
n
n
L d F s t f t ds -−−→-←−− 2-15 （3）积分性质：
()()1
t L
L F s f t dt s
-−−→←−−⎰
2-16
()()1
L
s L f t F s ds t
-∞−−→←−−⎰
2-17
（4）位移性质：()()0
1
0L
st L
f t t e F s --−−→-←−− 2-18 ()()1
L
at L e f t F s a -−−→-←−−
2-19
（5）相似性质：()1
1,0L
L s
f at F a a a -⎛⎫−−→>←−− ⎪⎝⎭
2-20 上面性质写成变换式如下面：
（1）线性性质：时域上：()()[]()()s F s F t f t f L 2121⋅+⋅=⋅+⋅βαβα 2-11-1
频
域
上
：
1-L ()()[]()()t f t f s F s F 2121⋅+⋅=⋅+⋅βαβα2-11-2
（2）微分性质：时域上：()[]()()0f s sF t f L -=' 2-12
推论：
()()[]()()()()()()00001321-----''-'--=n n n n n n f f s f s f s s F s t f L 2-14 频域上：()()
()
[]1dF s L t f t ds
⋅=- 2-13-1 或()()()1[]L F s t f t -'=- 2-13-2 推论： ()
()()()
[]1n n
n
n
d F s L t f t ds -=- 2-15
（3）积分性质：时域上：()()
0[]t
F s L f t dt s
=
⎰ 2-16 频域上：若()s F s ds ∞
⎰收敛，则()
()[
]s f t L F s ds t
∞=⎰ 2-17-1 推广：如果积分()
f t dt t +∞
⎰存在，则()()00[]f t dt L f t ds t
+∞∞=⎰⎰ 2-17-2
（4）位移性质：时域上： ()()0
0[]st L f t t e F s --= 2-18-1
或：()()()0
100[]st L e F s f t t u t t --=-- 2-18-2
频域上：()()a s F t f e L at -=][ ()c a s >-Re 2-19-1
或：()()()11at at
L F s a e L F s e f t ---==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
2-19-2 （5）相似性质：()⎪⎭
⎫
⎝⎛=a s F a at f L 1][ 0>a 2-20-1
更广泛：()1[]b s a s L f at b e F a a -⋅⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
2-20-2 4、卷积定理：()()()()1
1212L
L
f t f t F s F s -−−→*⋅←−− 即：()()()()1212[]L f t f t F s F s *=⋅ 2-21。