机械控制理论基础课件第3章系统数学模型

第三章
系统的数学模型
例 机 械 控 制 理 论
如：弹簧－阻尼器环节
dx0 (t ) Kx0 (t ) Kxi (t ) dt K 1 C G (s) , T Cs K Ts 1 K C
此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。 说此环节具有“惯性”，这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C 的原因。惯性大小由T来决定。
第三章
系统的数学模型 建立控制系统数学模型的方法
机 械 控 制 理 论
分析法
对系统各部分的运动机理 进行分析，依据系统本身 所遵循的有关定律列写数 学表达式，并在列写过程 中进行必要的简化。
实验法
根据系统对某些典型输入 信号的响应或其它实验数 据建立数学模型。即人为 施加某种测试信号，记录 基本输出响应。
系统方框图是系统数学模型的图 解形式。可以形象直观地描述系统中 各元件间的相互关系及其功能以及信 号在系统中的传递、变换过程。
duC (t ) uC (t ) u r (t ) dt
弹簧-质量-阻尼器（SM-D）机械位移系统
m d 2 x(t ) dt
2
F (t )
m
k
x (t )
F (t ) F1 (t ) F2 (t ) dx(t ) Kx(t ) dt
F (t ) f
f
m
d 2 x (t ) dt 2
第三章
系统的数学模型
电网络系统微分方程的列写
机 械 控 制 理 论
电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和 电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数 学模型。 1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电 流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等 于所有流进节点的电流之和）。 2）基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路 的电压降的代数和。
第三章
系统的数学模型
三、传递函数
机 械 控 制 理 论
传递函数的基本定义 ：
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条 件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏 变换之比。
传递函数是描述系统动态过程的另一种数学模型，即时域=>复数域，它 通过输入与输出之间的信息传递关系，来描述系统本身的动态特性。
第三章
系统的数学模型
4、积分环节
机 械 控 制 理 论
输出量正比于输入量对时间的积分。
运动方程为：
1 t x0 (t ) 0 xi (t )dt T
X 0 ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts
传递函数为：
式中，T－积分环节的时间常数。
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系统的数学模型 5、振荡环节
机 械 控 制 理 论
第三章
系统的数学模型
例 机 械 控 制 理 论
因为： 其拉换变换：
求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴 及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传 动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).
z1ni (t) z2n o (t)
z1Ni (s) z2 No (s)
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
第三章
系统的数学模型
2、惯性环节（非周期环节）
机 械 控 制 理 论
凡运动方程为一节微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
G( s) X 0 ( s) K X i ( s) Ts 1
式中: K－环节增益（放大系数）； T－时间常数，表征环节的惯性，和环节结构 参数有关
第三章
系统的数学模型
6、延迟环节（也称传输滞后环节）
机 械 控 制 理 论
运动方程： x 0 (t) x i (t )
传递函数： G(s) e s 为纯延迟时间。 式中，
其输出滞后输入时间τ ，但不失真地反映输入，延 迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。
第三章
系统的数学模型
第三章 线 性 系 统 与 非 线 性 系 统
系统的数学模型 1、线 性 系 统
机 械 控 制 理 论
可以用线性微分方程描述的系统。如 果方程的系数为常数，则为线性定常 系统;
如果方程的系数是时间 t 的函数，则 为线性时变系统;
线性系统线性是指系统满足叠加原理
第三章 线 性 系 统 与 非 线 性 系 统
第三章
系统的数学模型
例 机 械 控 制 理 论
d 1 ui (i ) Ri (t ) L i (t ) i (t )dt dt C u (t ) 1 i (t )dt 0 C d2 d LC 2 u0 (t ) RC u0 (t ) u0 (t ) ui (t ) dt dt
f
dx(t ) Kx(t ) F (t ) dt
第三章
系统的数学模型 小结
机 械 控 制 理 论
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以 抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分 析研究。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同 而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制 理论中进行实验模拟的基础。 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统 中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电 容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储 能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构 及其参数。
第三章
系统的数学模型
典型环节的传递函数
机 械 控 制 理 论
具有某种确定信息传递关系的元件、 元件组或元件的一部分称为一个环节 任何复杂系统可看做由一些基本的环 节组成，控制系统中常用的典型环节 有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积 分环节、振荡环节和延迟环节等
第三章
系统的数学模型 1、比例环节
系统的数学模型 2、非 线 性 系 统
机 械 控 制 理 论
用非线性微分方程描述的系统。
非线性系统不满足叠加原理
第三章
系统的数学模型
例 机 械 控 制 理 论
ax(t) bx(t) cx(t) dy(t)
，其中,a,b,c,d均为常数。
线性定常系统
a(t)x(t) b(t)x(t) c(t)x(t) d(t)y(t)
系统的数学模型
传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述
机 械 控 制 理 论
d n y(t) d n 1y(t) an a n 1 n n 1 dt dt
d m x(t) d m1x(t) a 0 y(t) bm bm1 m m 1 dt dt
延迟环节与惯性环节的区别
机 械 控 制 理 论
惯性环节从输入开始时刻起就已有输 出，仅由于惯性，输出要滞后一段时 间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0 ～τ时 间内,没有输出，但t=τ之后，输出完 全等于输入。
第三章
系统的数学模型
四、方块图及动态系统的构成
机 械 控 制 理 论
1、方框图
机 械 控 制 理 论
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)
拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
机 械 控 制 理 论

传递函数的概念只适用于线性定常系统，它只反应系统在零初始 条件下的动态特性

对于物理可实现的系统，必有m≤n G(s)仅取决于系统本身的参数，与外界输入无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不说明被描述系 统的物理结构

一个G(s)只表示一对输入输出间的关系，同一系统不同输入输 出间的G(s)是不同的，传递函数的量纲是根据输入量和输出量 来决定的，可有可无
第三章
系统的数学模型
机械系统微分方程的列写
机 械 控 制 理 论
机械系统中部件的运动有直线和转动 两种。机械系统中以各种形式出现的 物理现象，都可简化为质量、弹簧和 阻尼三个要素。列写其微分方程通常 用达朗贝尔原理。即：作用于每一个 质点上的合力，同质点惯性力形成平 衡力系。
第三章
系统的数学模型
是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能 够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为
2 d d 2 T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
第三章
系统的数学模型 3、微分环节
机 械 控 制 理 论
输出量正比于输入量的微分。
运动方程为：
x0 (t )
G( s)
dxi (t ) dt
传递函数为：
X 0 ( s) s X i ( s)
式中：τ－微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节 一起出现
第三章
例 机 械 控 制 理 论
直线运动（机械平移系统）
d2 d m 2 x o (t) C x o (t) Kx o (t) f i (t) dt dt
第三章
系统的数学模型
例 机 械 控 制 理 论
转动系统
TK (t ) K i (t ) 0 (t ) d Tc (t ) C 0 (t ) dt d2 J 2 0 (t ) TK (t ) Tc (t ) dt d2 d J 2 0 (t ) C 0 (t ) K 0 (t ) K i (t ) dt dt
第三章
系统的数学模型 传递函数的零点和极点
机 械 控 制 理 论
传递函数的另一种 表示形式
传递函数的零点
(s z1 )(s z2 )(s zm ) M ( s) G( s) K N ( s) (s p1 )(s p2 )(s pn )
常数
传递函数的极点
◆ N(s)=0,称为系统的特征方程，它的根称为系统的特征根（也就是G(s)的极点） ◆ G(s)的零、极点和放大系数决定着系统的瞬态响应和稳态性能
第三章
系统的数学模型
R-L-C电路系统
L R C
例
机 械 控 制 理 论
L
di(t ) 1 1 i (t )dt Ri (t ) u r (t ), uC (t ) i (t )dt dt C C


相似系统：揭示了不同物理
现象之间的相似关系
LC
d 2uC (t ) dt 2
RC
机 械 控 制 理 论
第三章
系统的数学模型
第三章
系统的数学模型
机 械 控 制 理 论

一、概述 二、系统微分方程的建立 三、传递函数 四、方框图及动态系统的构成 五、信号流图及梅逊公式
第三章
系统的数学模型
一、概述
机 械 控 制 理 论
数学模型
描述系统的动态特性的数学表达 式
建
模
深入了解元件及系统的动态特性， 准确建立它们的数学模型
线性时变系统
y(t) x (t)
2
非线性系统
第三章
系统的数学模型
本课程涉及的数学模型形式
机 械 控 制 理 论
时间域：微分方程（一阶微分方 程组） 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
第三章
系统的数学模型
二、系统微分方程的建立
机 械 控 制 理 论
建立微分方程的步骤是： 1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究 系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件 所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意 负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方 程。 所谓标准方程是指： ①将与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输出量有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列；
b0 x(t)
式中，n m，当初始条件全为零时，对上式 进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
m m 1 b s b s b0 Y(s) m m 1 G(s) X(s) a ns n a n 1s n 1 a 0
第三章
系统的数学模型 传递函数的主要特点