江苏省南通市通州、海安2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
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A． B． C． D．
10．已知函数 ， 既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． 或 D．
二、多选题
11．对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式 的解集可能为（）
A． B． C． D．
12．定义：在平面直角坐标系 中，若存在常数 ，使得函数 的图象向右平移 个单位长度后，恰与函数 的图象重合，则称函数 是函数 的“原形函数”.下列四个选项中，函数 是函数 的“原形函数”的是（）
（1）试规定 的值，并解释其实际意义；
（2）根据假定写出函数 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；
（3）设函数 .现有 （ ）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.
23．设 ，函数 .
（1）若 ，求证：函数 为奇函数；
五、解答题
18．在平面直角坐标系 中，已知平面向量 ， ， .
（1）求证： 与 垂直；
（2）若 与 是共线向量，求实数 的值.
19．已知函数 ， .现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长度；
方案2：将函数 的图象向左平移 个单位长度Leabharlann Baidu再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
3．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．智能主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线 （ ， ， ）的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（）
A． B． C． D．
6．设 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）
A． + 和 - B． 和 + C． + 和 + D． - 和 +
7．下列大小关系正确的是（）
A． B． C． D．
8．已知方程 的实数解为 ，且 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
9．函数 的图象大致为（）
15．如图，在平行四边形 中， ， ，点 为对角线 与 的交点，点 在边 上，且 ，则 ________.（用 ， 表示）
16．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm2.
四、双空题
江苏省南通市通州、海安2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 的非空子集的个数为（）
A．3B．6C．7D．8
2．下列各图中，一定不是函数的图象的是（）
A． B． C． D．
即
故选： ．
【点睛】
本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
4．B
【分析】
根据已知条件确定出 的取值范围，又根据两角和与差的正切公式求出 ，得出答案．
【详解】
解： ， ， ， ，
故 ， ，
故 ，
又 ，
所以 ，
故选： ．
【点睛】
考查两角和与差的正切公式，角的范围的确定，属于中档题．
5．C
【分析】
由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于 轴对称，可求出．
【详解】
解：由某噪音的声波曲线 ， ， 的振幅为1，周期为 ，初相为0，
知声波曲线： ，
通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．如图， 的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量 （以图中的格点 为起点，格点 为终点），则（）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有11个
B．满足 的格点 共有3个
C．存在格点 ， ，使得
D．满足 的格点 共有4个
三、填空题
14．已知集合 ， ， ，则 _________.
（2）若 ，判断并证明函数 的单调性；
（3）若 ，函数 在区间 上的取值范围是 ，求 的范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据含有 个元素的集合有 个非空子集，计算可得．
【详解】
解：集合 含有 个元素，
含有 个元素的集合的非空子集个数为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查集合的非空子集，属于基础题．
2．B
【分析】
（1）求 和 的值；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
22．用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数 ，其中 .
17．请先阅读下面的材料：对于等式 （ ，且 ），如果将 视为自变量 ， 视为常数， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是幂函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是指数函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果 为常数e（自然对数的底），将 视为自变量 ，则 为 的函数，记为 ，那么 _______，若将 表示为 的函数，则 _________（ ，且 ）.
根据函数的定义直接判断即可．
【详解】
解：由函数的定义可知，一个 的值只能对应一个 的值，而选项 中一个 的值可能对应两个 的值，故不是函数图象，
故选： ．
【点睛】
本题考查函数定义及其表示，属于基础题．
3．A
【分析】
根据使函数有意义列出不等式组，解得即可;
【详解】
解：函数 的定义域应满足， ，解得 ．
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
20．已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）若 ，求 和 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
21．已知 ， ， ， .
10．已知函数 ， 既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． 或 D．
二、多选题
11．对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式 的解集可能为（）
A． B． C． D．
12．定义：在平面直角坐标系 中，若存在常数 ，使得函数 的图象向右平移 个单位长度后，恰与函数 的图象重合，则称函数 是函数 的“原形函数”.下列四个选项中，函数 是函数 的“原形函数”的是（）
（1）试规定 的值，并解释其实际意义；
（2）根据假定写出函数 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；
（3）设函数 .现有 （ ）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.
23．设 ，函数 .
（1）若 ，求证：函数 为奇函数；
五、解答题
18．在平面直角坐标系 中，已知平面向量 ， ， .
（1）求证： 与 垂直；
（2）若 与 是共线向量，求实数 的值.
19．已知函数 ， .现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长度；
方案2：将函数 的图象向左平移 个单位长度Leabharlann Baidu再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.
3．函数 的定义域为（）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，且 ，则 （）
A． B． C． D．
5．智能主动降噪耳机工作的原理：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线 （ ， ， ）的振幅为1，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（）
A． B． C． D．
6．设 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（）
A． + 和 - B． 和 + C． + 和 + D． - 和 +
7．下列大小关系正确的是（）
A． B． C． D．
8．已知方程 的实数解为 ，且 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
9．函数 的图象大致为（）
15．如图，在平行四边形 中， ， ，点 为对角线 与 的交点，点 在边 上，且 ，则 ________.（用 ， 表示）
16．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm2.
四、双空题
江苏省南通市通州、海安2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 的非空子集的个数为（）
A．3B．6C．7D．8
2．下列各图中，一定不是函数的图象的是（）
A． B． C． D．
即
故选： ．
【点睛】
本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
4．B
【分析】
根据已知条件确定出 的取值范围，又根据两角和与差的正切公式求出 ，得出答案．
【详解】
解： ， ， ， ，
故 ， ，
故 ，
又 ，
所以 ，
故选： ．
【点睛】
考查两角和与差的正切公式，角的范围的确定，属于中档题．
5．C
【分析】
由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于 轴对称，可求出．
【详解】
解：由某噪音的声波曲线 ， ， 的振幅为1，周期为 ，初相为0，
知声波曲线： ，
通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．如图， 的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量 （以图中的格点 为起点，格点 为终点），则（）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与 是相反向量的共有11个
B．满足 的格点 共有3个
C．存在格点 ， ，使得
D．满足 的格点 共有4个
三、填空题
14．已知集合 ， ， ，则 _________.
（2）若 ，判断并证明函数 的单调性；
（3）若 ，函数 在区间 上的取值范围是 ，求 的范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据含有 个元素的集合有 个非空子集，计算可得．
【详解】
解：集合 含有 个元素，
含有 个元素的集合的非空子集个数为 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查集合的非空子集，属于基础题．
2．B
【分析】
（1）求 和 的值；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
22．用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数 ，其中 .
17．请先阅读下面的材料：对于等式 （ ，且 ），如果将 视为自变量 ， 视为常数， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是幂函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是指数函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果 为常数e（自然对数的底），将 视为自变量 ，则 为 的函数，记为 ，那么 _______，若将 表示为 的函数，则 _________（ ，且 ）.
根据函数的定义直接判断即可．
【详解】
解：由函数的定义可知，一个 的值只能对应一个 的值，而选项 中一个 的值可能对应两个 的值，故不是函数图象，
故选： ．
【点睛】
本题考查函数定义及其表示，属于基础题．
3．A
【分析】
根据使函数有意义列出不等式组，解得即可;
【详解】
解：函数 的定义域应满足， ，解得 ．
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数 在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
20．已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）若 ，求 和 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
21．已知 ， ， ， .