课程导报答案

第9期

4.4矩形、正方形（1）

1. D.

2. C.

3. 53.

4. 因为PK∥AO，PQ∥BO，所以四边形OKPQ是平行四边形.

因为OA，OB分别平分∠MOC和∠NOC，

所以∠POQ=1

2∠POM，∠POK=1

2

∠PON.

所以∠POQ＋∠POK=1

2∠POM＋1

2

∠PON=1

2

（∠POM＋

∠PON）=1

2

×180°=90°.

即∠KOQ=90°.所以□OKPQ是矩形.

5. 0.8.

6. 4或

55

8.

4.4矩形、正方形（2）

1. C.

2. 3，

3.

3.（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC．

因为∠BAC=45°所以∠BAD=90°.

所以菱形ABCD是正方形．

（2）因为22

AC=，所以OA=OC=OB=OD=2，所以AB=2. 所以正方形ABCD的周长为8，面积为4．

4. 5

EF=．

5. （1）BG DE

=．

理由：因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，所以GC EC

=，BC DC

=，90

BCG DCE

∠=∠=o．所以BCG DCE

△≌△.所以BG DE

=．

（2）存在.BCG

△和DCE

△．

将BCG

△绕点C按顺时针方向旋转90o后得DCE

△．

4.5梯形（1）

1. D.

2. 52.

3. 60.

4．梯形的腰长为4cm.

5. (1)因为AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，

所以∠DCB＝∠B＝60°，∠DAC＝∠ACB．

所以∠ADC＝120°.

又因为AD=DC，所以∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠ACB＝30°，所以∠B+∠ACB＝90°，所以AB⊥AC. （2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，所以四边形AEFD为矩形.

因为AB⊥AC，所以2212

BC AB AC

=+=.

因为AB=AD=DC=6,所以EF=6，所以BE=3，所以2236933

AE AB BE

=-=-=．

所以11

()(612)33273

22

S AD BC AE

+⋅=+⋅=

梯

＝．

4.5梯形（2）

1. C.

2. 122.

3．答案不唯一，如∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，

∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD. 4．因为四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

所以130

2

CAE DAB

∠=∠=︒．

又因为CE⊥AC，所以60

E DAB

∠=︒=∠．

又因为CD∥AB，即CD∥AE，

且AE AB BE DC BE DC

=+=+≠，

所以四边形AECD是等腰梯形．

5. （1）过点D作DE⊥BC于点E，

所以四边形ABED为矩形，所以AD=BE=15cm，DE=AB=6cm，

所以2222

1068

CE CD DE

=-=-=cm，所以BC=23cm．（2）设点P运动ts时，梯形PBCD是等腰梯形，此时AP=tcm, BP=CD=10cm．

因为AD⊥BA，所以∠A=90°，由勾股定理，可得236100,

t+=解得t=8(s)．

4.4～4.5测试题

基础巩固

1. A.

2. C.

3. B.

4. D.

5. B.

6. C.

7. 4+22. 8. 90, 45. 9. 384. 10. 5.

11. 因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以AB DC A D

=∠=∠

，．

因为点M是AD的中点，

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所以AM DM =． 在ABM △和DCM △中，

AB DC A D AM DM =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，，， 所以ABM DCM △≌△（SAS ）． 所以MB MC =．

12. 在矩形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝CD ， 所以∠AED +∠ADE ＝90°．

因为∠DEF ＝90°，所以∠BEF +∠AED ＝90°． 所以∠ADE ＝∠BEF ．

因为△DEF 是等腰直角三角形，所以DE ＝EF ． 所以△ADE ≌△BEF ．所以AD ＝BE ．

因为AD ＋CD ＝AD ＋（2＋BE ）＝2AD ＋2＝10． 所以AD ＝4．

13. （1）因为四边形ABCD 是正方形，42BD = cm ， 所以由勾股定理得AB=4cm.

（2）提示：根据正方形的性质，知EG =BG ，EF=DF.由EF ⊥DC 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，∠C ＝90°可得四边形EGCF 是矩形，故EF=GC,EG=FC.

所以四边形EFCG 的周长=EG+CG+CF+FE=BG+CG+CF+DF=CB+CD= 2AB=8cm ．

14. （1）AE=BF ，且AE ∥BF.理由：由题意知，AC=CF ，BC=CE ，所以四边形ABFE 为平行四边形. 所以AE=BF ，且AE ∥BF.

（2）当∠ACB=60°时，四边形ABFE 为矩形. 理由：

因为AB=AC ，∠ACB=60°，所以△ABC 为等边三角形. 所以BC=AC ．

又因为AC=CF ，BC=CE ，所以AF=BE.

又因为四边形ABFE 为平行四边形，所以□ABFE 为矩形. 15. （1）因为EF 垂直平分BC ，所以BF=FC,BE=EC. 因为点E 是AB 的中点，所以BE=AE ．

因为CF=AE ，所以BE=EC=CF=BF.所以四边形BECF 是菱形． （2）当∠A=45°时，菱形BECF 是正方形．

理由：要使菱形BECF 为正方形，只需说明其中有一个角为直角即可，而∠EBF=2∠1，所以只需∠1=45°.

而当∠1=45°时，则因为∠ACB=90°，所以当∠A=45°，菱形BECF 是正方形．

能力提高

1. A.

2. 10.

3. 132S S S =+.

4．（1）因为在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ， 所以∠BAD =∠DA C ．

因为AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， 所以MAE CAE ∠=∠．

所以∠DAE =∠DAC +∠CAE =12

⨯180°=90°． 又因为AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， 所以ADC CEA ∠=∠=90°. 所以四边形ADCE 为矩形．

（2）当△ABC 是等腰直角三角形时，其中∠BAC=90°，AB=AC ，四边形ADCE 是正方形．

理由：因为AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，所以DC=12

BC ． 又因为∠BAC=90°，所以AD=12

BC ，所以DC=AD ． 由（1）四边形ADCE 为矩形，所以矩形ADCE 是正方形． 5. (1) 因为四边形ABCD 是正方形， 所以 ∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA.

又因为 AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE. 所以∠MEA=∠AFO. 在Rt △BOE 和Rt △AOF 中，

,,,AFO MEA AOF BOE OA OB ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

所以Rt△BOE ≌

Rt△AOF ，所以 OE=OF. (2) OE=OF 成立 .

理由：因为四边形ABCD 是正方形， 所以BOE AOF ∠=∠=90°,OB OA =.

又因为AM BE ⊥,所以090F MBF E OBE ∠+∠==∠+∠. 又因为MBF OBE ∠=∠, 所以E F ∠=∠. 所以Rt△BOE ≌ Rt△AOF. 所以 OE=OF.

第10期

4.6探索多边形的内角和与外角和(1)

1．A. 2．122, 90． 3．十. 4．120. 5. 1080. 6. 设∠A=x °，则∠B=x °+20°，∠C=2x °．