误码率问题

i b
i
∞
⎧1 0 ≤ t ≤ Tb g (t ) = ⎨ 。假设 {ai } 独立序列。 else ⎩0
经过理想信道后，收端观察到的信号是
2
r (t ) = s (t ) + n (t )
(1)
其中 n ( t ) 是均值为 0，方差为 σ 的平稳高斯噪声。问题是：如何从 r ( t ) 中得知发送的序列
试题一参考答案
一. 简答题：
(1)答：
∗ GT (ω ) GR (ω ) = H (ω ) ， GR (ω ) = GT (ω ) e− jωt0 ，其中t 是最佳取样时刻。
0
(2)答：
(3)答：需 Am ≤ Ac
1。 (4)答：用载波 2 cos 2πf c t 对 n(t ) 作相干解调得到的是 n(t ) 的同相分量，其功率还是 P
应满足什么条件？
1 。今 (4)已知 n(t ) 是白噪声 n w (t ) 通过中心频率为 f c 的窄带滤波器的输出， n(t ) 的功率是 P
用载波 2 cos 2πf c t 对 n(t ) 作相干解调，问解调器输出的噪声功率是多少？
(5)对数似然比是似然函数 p (r | s i ) 的比的对数，即
(5)答：
p ( r | si ) =
1 2π × N0 2
−
(r −
2×
Ei N0 2
)
2
e
=
1 e π N0
−
(r −
Ei N0
)百度文库
2
， i = 1, 2 。
⎡ r− E 2⎤ ⎡ r− E 1 2 ⎥ − ⎢− λ = ln = ⎢− ⎥ ⎢ p ( r | s2 ) ⎢ N0 N0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ 2r ⎡ ⎤ + E2 − E1 = − E E 1 2 ⎦ N ⎣ N p ( r | s1 )
量化误差是 0.003V。 (3)每一路按Nyquist速率取样，则取样速率是 8kHz，编码后每一路的数据速率是 64kbps。10
路这样的信号进行时分复用后的总速率是 640kbps，码元周期是
Ts =
1 640 × 103 ，脉冲宽度
是
τ=
1 2 Ts = = 1280kHz 2 ，信号的主瓣带宽是 τ Ts
⎧ s1 = + A 分别对应发送 s1(t)或 s2(t)，n 与 s ⎩ s2 = − A
对于 P ( X < x ) 或者 P ( X > x ) 这样的概率问题，只要知道 X 的概率分布就可以计算
了。发送 + A 而错的概率是 P ( y < VT | s1 ) ，因此我们需要先求得发送 s1 时， y 的概率密度 函数 p y|s1 ( y ) ， 也可记为 p ( y | s1 ) 或 p1 ( y ) 。 然后得到错误率为 P ( e | s1 ) = 同样的， P ( e | s2 ) =
∫
VT
−∞
p y|s1 ( y ) dy 。
∫
∞
VT
p y|s2 ( y ) dy 。于是
VT ∞ −∞ VT
Pb = P ( s1 ) ∫ p y|s1 ( y ) dy + P ( s2 ) ∫ p y|s2 ( y ) dy
因此可对(4)求极值。对 P b 求关于 VT 的导数并令其为 0： 解方程(5)就能得到 VT 的最佳设计。
λ = ln
p (r | s1 ) p (r | s 2 ) 。已知发送 s1 、 s 2 时，
N0 r 是方差为 2 ，均值分别为 E1 和 E 2 的高斯随机变量，请计算 λ 。
二
计算题
1. 在四相绝对移相（QPSK）系统中 (1)若二进制数字信息的速率为 128kbit/s，请计算 QPSK 信号的主瓣带宽。 (2)试给出 QPSK 调制及解调器的原理框图，请画出 QPSK 信号的功率谱示意图。
1
代入方程(5)可解得最佳判决门限为式(5.3.16)：
VT =
σ2
2A
ln
P ( s2 ) P ( s1 )
。 相应可以算出误码率 P b 。特别在先验等概时， VT = 0 （从对称性也能得知这一点）
2/2
试题一
一. 简答题：
(1)在理想信道下的最佳基带系统中， 发送滤波器 GT (ω ) ， 接收滤波器 G R (ω ) 和系统总的传 输函数 H (ω ) 之间应满足什么关系？ (2)某基带信号 m(t ) 的频谱如下图示，此信号先经过DSB-SC调制，又经过一个带通滤波器变 成了VSB信号
{ai } ？
由于 {ai } 是独立序列，彼此毫无关系，因此“发送一万个符号”等同于“发送一个符 号”的行为重复了一万次，只不过每次发送时的具体符号和遇到的具体噪声不一样，但问题 是 一 样 的 。 因 此 我 们 研 究 单 个 符 号 的 情 形 。 即 在 时 间 [ 0, Tb ] 内 发 送 sg ( t ) ， 收 到
y ( t ) = sg ( t ) + n ( t ) 。这里的 s 就是
表示第 i 种可能的取值。
a0 ，即第 0 个发送的码元。我们将 s 的
两个可能取值记为 s1 = + A ， s2 = − A 。注意下标： ai 的下标表示第 i 个发送的码元， si 则 接收端在 [ 0, Tb ] 中的某个时间点测量 y ( t ) 的值，得到的这个值叫抽样值，记为 y ，也
>V y< T
s2
s1
(2)
二 错误率
如果没有噪声，判决器将能正确告诉我们发送的是什么。由于存在噪声，发送 + A 时，
1/2
收到的 y 可能是 ( −∞, +∞ ) 内的任何数值，因此一定会有机会使得 y < VT ，这样就使判决器 误以为发送的是 − A 。发送 − A 时同理。在我们的模型下，要想完全不错是不可能的。我们 关心的是出错的概率（误码率） ，只要这个概率低于一定的数值，通信就是可靠的。这个数 值与具体传的东西有关。 发生判决错误的情形有两种： (1)发送 s1 ( t ) 而 y < VT ，判决器误认为是 s2 ( t ) ，记这种概率为 P ( e | s1 ) 或 P ( s2 | s1 ) ； 按照全概率公式，发生错误的概率是 (2)发送 s2 ( t ) 而 y > VT ，判决器误认为是 s1 ( t ) ，记这种概率为 P ( e | s2 ) 或 P ( s1 | s2 ) 。
(4)
这个结果是 VT 的函数。 VT 是接收端可以控制的一个参量。我们自然希望误码率越小越好。
P ( s1 ) p y|s1 (VT ) − P ( s2 ) p y|s2 (VT ) = 0
(5)
为了求解方程(5)，同时为了能用(4)来计算误码率，我们需要知道式中的两个条件概率 密度函数。由式 (3) 知，给定条件发送 s1 时， y 是一个高斯随机变量，其条件均值为
误码率问题
误码率分析是数字通信中一个非常重要的内容，是本课的一个重点。第 5 章、第 6 章都 会反复出现误码率分析。我们先考虑简单的情形，再逐步扩展。
一 问题的描述
假 设 发 送 二 进 制 双 极 性 NRZ 信 号 s ( t ) =
i =−∞
∑ a g ( t − iT ) ， 其 中 a ∈ {± A} ，
Z = ∫ n ( t ) cos 2π f c tdt
0 T
(2)无论发 0 发 1，抽样值中的噪声都是 变量，其方差为
2 ⎡ σ2 = E⎡ ⎣Z ⎤ ⎦ = E ⎢∫
，Z是均值为 0 的高斯随机
T
N0 δ (τ − t ) cos 2π f c t cos 2π f cτ dtdτ 2 N T NT = 0 ∫ cos 2 2π f ctdt = 0 0 2 4 =∫
0 0
(
)
(
)⎤ ⎥
2
⎥ ⎥ ⎦
二
计算题
1. 解： (1)QPSK 的符号速率为 128/2=64kHz，QPSK 主瓣带宽为 2×64=128kHz。 (2)调制原理图如下
解调原理图如下
QPSK 的功率谱示意图如下
2.解： (1)PCM 系统框图如下
(2)-10.55V 对应极性码是 0
15 15 − 15 ⎡ ⎤ 2 = 15 ,15⎥ ∆= ⎢ ⎦ 范围内，所以段落码是 111，段内的量化间隔是 16 32 10.55 落在 ⎣ 2
Pb = ∑ P ( e | si ) P ( si )
P ( si ) 是发送 + A 或 − A 的概率，即信息中出现 1 或 0 的概率。这个概率叫先验概率。后面
我们还会讲道后验概率。 对于 Fig 1 所示的情形，我们有
i =1
2
y = s+n
(3)
其中随机变量 n 是对噪声的抽样，随机变量 s = ⎨ 独立。
sV ( t ) 。请画出 sV ( t ) 的频谱。
(3) 用 调 制 信 号
f (t ) = Am cos Ωt
对 载 波
AC cos ω C t
进 行 调 制 后 得 到
s (t ) = ( Ac + f (t )) cos ω c t 。为了能够无失真地通过包络检波器解出 f (t ) ，问 Am 的取值
15 ⎥ ⎢ ⎢10.55 − 2 ⎥ ⎢ ⎥=6 ∆ ⎢ ⎥ ⎦ 10.55 落在第 ⎣ 小段内（0 数起） ，所以段内码是 0110。
因此编码器输出的 PCM 码组是 01110110。
∆⎞ ⎛ 15 − ⎜ + 6∆ + ⎟ = −10.547 2⎠ 译码器将 01110110 恢复为第 8 段内的第 6 小段的中点，即 ⎝ 2 V，
3. 解： (1)按照最小差错率准则设计就是设计最佳接收机，因此接收机结构如下
1 f >> c s t = A cos 2 π f t s t = 0 c 代表发 1， 2 ( ) T 。依 其中 1 ( ) 代表发 0。 f c 是载波频率，假设
2E A2T = E A= T 。 ， 题意有 2
2. 将话音信号 m(t ) 采样后进行A律 13 折线PCM编码，设 m(t ) 的频率范围为 0~4 kHz，取值 范围为-15~15 V， (1)请画出 PCM 系统的完整框图； (2)若 m(t ) 的某一个抽样值为-10.55 V，问编码器输出的PCM码组是什么？收端译码后 的量化误差是多少V？； (3)对 10 路这样的信号进行时分复用后传输，传输信号采用占空比为 1/2 的矩形脉冲， 问传输信号的主瓣带宽是多少？ 3. 设到达接收机输入端信号为OOK信号，信号持续时间为 (0, T ) ，发“1”的能量为E。接 收机输入端的噪声 n(t ) 是单边功率谱密度为 N 0 的 0 均值白高斯噪声。 (1)试按照最小差错概率准则设计一最佳接收机，并画出最佳接收机结构。 (2)分别写出发“1”及发“0”时，最佳时刻抽样值 V 的表达式； (3)写出判决公式； (4)若发“1”的概率为 1 3 ，发“0”的概率为 2 3 ，求最佳判决门限 V th ； (5)详细推导出平均误比特率计算公式。 4. 在某高清晰度电视系统（HDTV）中，每帧图象需要扫描 1080 行，每行有 1920 个象素 （pixels） ，每个象素用 3 种颜色（红、绿、蓝）来表示，每种颜色有 256 个灰度等级，假 定各灰度等级等概出现，三种颜色彼此独立。该系统每秒需传送 30 帧图象。如果传输信 道中的信噪比为 30dB，那么传送这样的电视信号最少需要多少带宽？
T
0
⎣
0
∫ n ( t ) n (τ ) cos 2π f t cos 2π f τ dtdτ ⎤ ⎥ ⎦
T
0
c
c
∫
T
0
发 0 时，V中的信号分量是 0，故此 V = Z
E [ y | s1 ] = A ，条件方差为 D [ y | s1 ] = D [ n ] = σ 2 ，因此
p1 ( y ) =
同理得
⎛ ( y − A)2 ⎞ exp ⎜ − ⎟ 2 ⎜ ⎟ σ 2 2πσ 2 ⎝ ⎠
1
⎛ ( y + A)2 ⎞ exp ⎜ − p2 ( y ) = ⎟ 2 ⎜ ⎟ σ 2 2πσ 2 ⎝ ⎠
称为判决量。不妨假设在 [ 0, Tb ] 的正中间测量。这个抽样值送到“判决器”中，它依据 y 的 。如 Fig 1 所示。 值判断发送的是 s1 ( t ) （ + A ）还是 s2 ( t ) （ − A ）
Fig 1 问题的模型
判决器根据 y 推测发送的是 s1(t)还是 s2(t)， 其规则是： 如果 y > VT 则认为发送的是 s1(t)， 否则认为发送的是 s2(t)。电压 VT 叫判决门限。判决器所做的这个操作叫判决，其规则叫判 决规则，可记为判决公式的形式：