江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
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7．执行右侧的程序框图，若输入 ，则输出 .
8．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________.
9．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
考点：程序框图．
8．6
【分析】
求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【详源自文库】
∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC 2 ，CB＝R＝2，
∴切线的长|AB| 6．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查圆的切线长的求法，直线和圆相切的性质的合理运用，关键由圆的对称轴可知直线经过圆心求出a值.
9．
【分析】
因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.
5．3或4
【解析】
直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为 是整数，即 为整数，所以 为整数，且 ，又因为 ，取 ，验证可知 符合题意；反之 时，可推出一元二次方程 有整数根．
6．
【分析】
先计算出 的频率，然后用 乘以这个频率得出所求的人数.
【详解】
由图象可知， 的频率之和为 ，故所求人数为 人.
【点睛】
本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.
7．
【解析】
试题分析：输入 ，在程序执行过程中， 的值依次为 ；
； ； ； ，程序结束．输出 ．
14．已知函数 设 ，若 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数 的个数为________.
二、解答题
15．设 ：函数 在 是增函数； ：方程 表示焦点在 轴上的双曲线．
(1)若 为真，求实数 的取值范围；
(2)若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求实数 的取值范围．
16．已知曲线 上任意一点 到直线 的距离是它到点 的距离的2倍.
根据渐近线与直线 的平行关系确定出 的关系，再根据焦点在 上确定出 的值，结合 计算出 即可得到双曲线的方程.
【详解】
因为一条渐近线与 平行，所以 ，
又因为双曲线 的焦点为 ，且直线 过点 ，
（1）试将 表示为 的函数；
（2）若 ，且 时， 取得最小值，试求 的值．
18．已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
参考答案
1．
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
【详解】
原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“ ”.
【点睛】
本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
2． 或
【解析】
【分析】
设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可得到直线方程
3．若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 ．
4．若“ ”是真命题，则实数 的最小值为.
5．．设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是
6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.
19．已知椭圆 两焦点分别为 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过P作倾斜角互补的两条直线 分别交椭圆于 两点．
(1)求 点坐标；
(2)求证：直线 的斜率为定值；
(3)求 面积的最大值．
20．已知函数 ．
(1)当 时， 取得极值，求 的值．
(2)当函数 有两个极值点 时，总有 成立，求m的取值范围．
【详解】
设所求直线为
则 ，解得
则所求直线为 或
故答案为 或
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系以及直线与圆的位置关系，要注意本题中的半径是 ，属于基础题．
3．
【解析】
试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是 ,故 ,故应填 .
考点：抛物线和双曲线的几何性质及运用．
4．1
【解析】
若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值
【全国百强校】江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．命题“ ”的否定是______.
2．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是________.
(1) 求曲线 的方程；
(2) 过点 的直线 与曲线 交于 两点.若 是 的中点,求直线 的斜率.
17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 ．现已知相距 的 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ，它们连线上任意一点 处（异于 两点）的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设 ．
10．设 分别为圆 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是_________.
11．若曲线 处的切线平行于直线 的坐标是_______.
12．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.
13．已知定义 在函数 的导函数 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为______.
8．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________.
9．已知双曲线 的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．
考点：程序框图．
8．6
【分析】
求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【详源自文库】
∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1＝0，∴a＝﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC 2 ，CB＝R＝2，
∴切线的长|AB| 6．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查圆的切线长的求法，直线和圆相切的性质的合理运用，关键由圆的对称轴可知直线经过圆心求出a值.
9．
【分析】
因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.
5．3或4
【解析】
直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为 是整数，即 为整数，所以 为整数，且 ，又因为 ，取 ，验证可知 符合题意；反之 时，可推出一元二次方程 有整数根．
6．
【分析】
先计算出 的频率，然后用 乘以这个频率得出所求的人数.
【详解】
由图象可知， 的频率之和为 ，故所求人数为 人.
【点睛】
本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.
7．
【解析】
试题分析：输入 ，在程序执行过程中， 的值依次为 ；
； ； ； ，程序结束．输出 ．
14．已知函数 设 ，若 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数 的个数为________.
二、解答题
15．设 ：函数 在 是增函数； ：方程 表示焦点在 轴上的双曲线．
(1)若 为真，求实数 的取值范围；
(2)若“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求实数 的取值范围．
16．已知曲线 上任意一点 到直线 的距离是它到点 的距离的2倍.
根据渐近线与直线 的平行关系确定出 的关系，再根据焦点在 上确定出 的值，结合 计算出 即可得到双曲线的方程.
【详解】
因为一条渐近线与 平行，所以 ，
又因为双曲线 的焦点为 ，且直线 过点 ，
（1）试将 表示为 的函数；
（2）若 ，且 时， 取得最小值，试求 的值．
18．已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数b的值；
（II）求函数f（x）的单调区间；
（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．
参考答案
1．
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.
【详解】
原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“ ”.
【点睛】
本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.
2． 或
【解析】
【分析】
设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可得到直线方程
3．若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则 ．
4．若“ ”是真命题，则实数 的最小值为.
5．．设 ，一元二次方程 有整数根的充要条件是
6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.
19．已知椭圆 两焦点分别为 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过P作倾斜角互补的两条直线 分别交椭圆于 两点．
(1)求 点坐标；
(2)求证：直线 的斜率为定值；
(3)求 面积的最大值．
20．已知函数 ．
(1)当 时， 取得极值，求 的值．
(2)当函数 有两个极值点 时，总有 成立，求m的取值范围．
【详解】
设所求直线为
则 ，解得
则所求直线为 或
故答案为 或
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系以及直线与圆的位置关系，要注意本题中的半径是 ，属于基础题．
3．
【解析】
试题分析：由题设可得双曲线的一个焦点是 ,故 ,故应填 .
考点：抛物线和双曲线的几何性质及运用．
4．1
【解析】
若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值
【全国百强校】江苏省华罗庚中学、江都中学和仪征中学2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．命题“ ”的否定是______.
2．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是________.
(1) 求曲线 的方程；
(2) 过点 的直线 与曲线 交于 两点.若 是 的中点,求直线 的斜率.
17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 ．现已知相距 的 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ，它们连线上任意一点 处（异于 两点）的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设 ．
10．设 分别为圆 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是_________.
11．若曲线 处的切线平行于直线 的坐标是_______.
12．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为________.
13．已知定义 在函数 的导函数 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为______.