电磁场与电磁波基础教程习题解

《电磁场与电磁波基础教程》

（符果行编著）习题解答

第1章

1.1 解：（1）==A =B

==C

（2）)))23452

A x y z

B y z

C x z =

=+-+=-，，；A a a a a a -a a a a a A

（3）()()+2431223x y z x y z =+-+-+=--+=，；A B a a a a a a A B （4）()()23411x y z y z ⋅=+-⋅-+=-；

A B a a a a a （5）()()234104x y z y z x y z ⨯=+-⋅-+=---；A B a a a a a a a a （6）()()()1045242x y z x z ⨯⋅=-++⋅-=-；A B C a a a a a

（7）()()()x 2104522405x y z x z y ⨯⨯=-++⨯-=-+A B C a a a a a a a a 。 1.2解：cos 68.56

θθ⋅=

==︒；

A B A B

A 在

B 上的投影cos 1.37

B A A θ===；

B 在A 上的投影cos 3.21

A B B θ===。 1.3 解：()()()()()()()4264280⋅=-++-=正交A B 。

1.4 解：1110x x y y z z x y y z z y ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；；a a a a a a a a a a a a

0x x y y z z ⨯=⨯=⨯=；a a a a a a x y z y z x z x y ⨯=⨯=⨯=；，a a a a a a a a a 。

1.5 解：（1）111000z z z z ρρϕϕρϕϕρ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；

000z z z z z ρρϕϕρϕϕρρϕ⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。

（2）111000r r r r θθϕϕθθϕϕ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=，，；，，a a a a a a a a a a a a ；

000r r r r r θθϕϕθϕθϕϕθ⋅=⋅=⋅=⨯=⨯=⨯=，，；，，a a a a a a a a a a a a a a a 。

1.6 解：()22223x

y z x z z y xy z yz x y z ΦΦΦ

Φ∂∂∂∇=++=+++∂∂∂a a a a a a 在点（2，-1，1）处 ()2-1133x y z l l ΦΦ

ΦΦ∂∇=--=∇⋅=∇⋅

∂，，

；

A

a a a a A

()()11332233

x y z x y z =--⋅

+-=- a a a a a a 。 1.7 解：()221214x y z x y z x y z y z x y z

ΦΦΦ

ΦΦ∂∂∂∇=++=++∇=++∂∂∂，

，，a a a a a a a a a 。

1.8 解：()()()1113x y z x y z

∂∂∂

∇⋅=

++=++=∂∂∂r 。 1.9 解：对z z ρρ=+r a a 取散度，()13z

z

ρρρρ∂∂∇⋅=

⋅+=∂∂r ，对r r =r a 取散度，()2

2

13r r r r

∂∇⋅=

⋅=∂r ，看出对同一位置矢量r 取散度不论选取什么坐标系都应得同一值，坐标系的选取只是表示形式不同而已。 1.10 解：1100z c c c z ρρρρρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∇⋅=

=∇⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-1，=B a a B ，由亥姆霍兹

定理判定这是载流源在无源区(0)==G J 产生的无散场。

1.11 解：1100z

c c z ϕ

ρρϕρρρ

⎛⎫⎛⎫∂∂∂

∇⨯=-=∇⋅== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭，E a a E ，由亥姆霍兹定理判定这是电荷源在无源区()0g q ==产生的无旋场；将0∇⨯=E 与恒等式()0u ∇⨯∇=对比，可知

E 与±

u ∇等效，令标量位u Φ=得Φ=-∇E 。 1.12 解：F 满足无旋场的条件为0∇⨯=F ，在直角坐标系中表示为

()

03 2 x z x y z y az bx z cy z ∂∂∂=∂∂∂---+y a a a

解得a =0，b =3和c =2。

1.13 解：

()()2220x y xy x y

∂∂

∇⋅=

--=∂∂，F ()()()()2222224x

y z z xy x y xy x y y z z x y ⎡⎤∂∂∂∂

∇⨯=-+-+--=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦

F a a a a 由亥姆霍兹定理判定知，这是属于第三类的无散有旋场。

1.14 解：

取2222221111:00sin r

C C c c r r r r r r r r r θϕθθθ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∇⋅=⋅=∇⨯-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，=F a F F a a ，属 于第一类的无散无旋场，由无旋性可以引入标量位的梯度来表示； 取2221r c c c r r r r r r ∂⎛⎫=∇⋅=⋅= ⎪∂⎝⎭:，F a F 1110sin r c c r r r r θθϕθ∂∂⎛⎫⎛⎫

∇⨯=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭F a a ，属于第

二类的有散无旋场，由无旋性可以引入标量位的梯度来表示； 取1:0sin c c r r r ϕθϕ∂⎛⎫

=∇⋅== ⎪∂⎝⎭

，

F a F 111sin sin r

c c c r r r r r r r r r r θϕθθθ∂∂∂⎛⎫

⎛⎫⎛⎫∇⨯=-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭

⎝⎭⎝⎭F a a a 2cot r c r θ=a ，属于第三类

的无散有旋场。