基于matlab的模糊聚类分析

模糊传递闭包和等价闭包
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定义一：（模糊）聚类分析
在科学技术，经济管理中常常需要按一定的标准(相似程 度或亲疏关系)进行分类。对所研究的事物按一定标准进行 分类的数学方法称为聚类分析。 由于科学技术，经济管理中的分类往往具有模糊性，因 此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。我们不能明确地回 答 “是” 或 “否”， 而是只能作出 “在某种程度上是” 的回答 ，这就是模糊聚类分析。
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2.1 特征抽取，建立原始数据矩阵
假设待分类对象的集合为 X = { X1, X2, …, Xn }，集合中的每
个元素具有 m 个特征，设第 i 个对象 Xi 的第 j ( j = 1, 2,
…, m ) 个特征为 xij，则 Xi 就可以用这 m 个特征的取值来 描述，记 Xi = ( xi1, xi2, …, xim) 于是,得到原始数据矩阵为： x 11
xi | | x jk x j |
2
( xik xi )
xi
( x jk x j )
k 1
m
2
其中，
m
1
m
x ik , x j
k 1
m
1
m
x jk
k 1
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（2）距离法
rij = 1 – c d (xi, xj )
其中c为适当选取的参数.
m
海明距离
d ( xi , x j ) | xik x jk |
S 称为模糊矩阵 Q 与 R 的乘积。
在当论域为有限集时，传递闭包法很简便，即对相 似矩阵 R ，求 R2， R4，…， 当 Rk◦Rk = Rk 时，便有 e(R ) = t ( R ) = R k 。
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y Y
( q ij r jk ) .
•
Matlab程序---cd3.m
•function B=cd3(R) •a=size(R); •B=zeros(a); •flag=0; •while flag==0 •for i= 1: a • for j= 1: a • for k=1:a • B( i , j ) = max(min( R( i , k) , R( k, j) ) , B( i , j ) ) ;%R与R内 积，先取小再取大 • end • end •end •if B==R • flag=1; •else • R=B;%循环计算R传递闭包 •end •end
k 1
rik rkj rij ,
n
i , j 1, 2 , , n .
定义四：模糊矩阵的截矩阵 设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称
A= (aij())m×n,
为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij≥ 时，aij() =1；当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
rij
1 s

s
a ij
k
b ij
k
k 1
• •function R=biaod2(Y,c) •[a,b]=size(Y); •Z=zeros(a); •R=zeros(a); •for i=1:a • for j=1:a • for k=1:b • Z(i,j)=abs(Y(i,k)-Y(j,k))+Z(i,j); • R(i,j)=1-c*Z(i,j);%绝对值减数法--欧氏距离求模糊相 似矩阵 • end • end •end •fprintf(‘模糊相似矩阵如下：R=\n'); •disp(R) •end


function Y=bzh1(X) [a,b]=size(X);
C=max(X);
D=min(X); Y=zeros(a,b); for i=1:a for j=1:b Y(i,j)=(X(i,j)-D(j))/(C(j)-D(j)); %平移极差变化进行数据标准化 end
定义五：模糊传递闭包 设 RF ( X X )，称 t(R) 为 R 的传递闭包，如果 t(R) 满 足: (1) 传递性：(t(R))2 t(R) ；
(2) 包容性：R t(R) ；
(3) 最小性：若 R′是 X 上的模糊传递关系，且
R R′ t(R) R′，
即 R 的传递闭包t(R)是包含 R 的最小的传递关系。
当 X、Y、Z 为有限论域时，即 X = {x1, x2, …, xn}, Y ={ y1, y2, …, ym }，Z ={ z1, z2, …, zl }，则 Q、R、S （= Q ◦R）均可表示为矩阵形式：
Q = (qij)nm ,
其中
R = (rjk)ml ,
S = (sik)nl
s ik
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3.案例分析
环境单元分类 每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物等四个
要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素中含量的超限
度来描写。 假设有五个单元 x1, x2, x3, x4, x5，它们的污染数据如 下表所示。
定义六：模糊等价闭包
设 RF ( X X )，称 e(R) 为 R 的等价闭包，若 e(R) 满 足下述条件：
(1) 等价性：e(R) 是 X 上的模糊等价关系。 (2) 包容性：R e(R)。 (3) 最小性：若 R’ 是 X 上的模糊等价关系，且
R R’ e(R) R’ 。
x 21 ... x n1
( i =1，2，…，n )
x 12 x 22 ... xn2 ... ... ... ... x1 m x2m ... x nm
2.2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ据标准化处理

描述事物特征的量纲是各种各样的, 为了便于分析和比
较,从而在计算的过程中消除这种干扰。 因此要对矩阵进
行标准化处理, 这可以有各种类型的方法, 如平移-标准差 变换和平移-标准差变换，从而可以把矩阵尽量转化为标 准化矩阵。
2.2 数据标准化处理（续）
平移 • 标准差变换
x ij
其中
x ij x j sj
1 n
n
( i 1, 2 ,..., n , j 1, 2 ,..., m )
1 0.5 A 0.2 0 0.5 1 0.1 0.3 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 , 0.8 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
A0.3
若 R 是 X 上的模糊等价关系，则其 截关系是经典等价 关系，它们都可将 X 作一个划分，当 从 1 下降到 0 时，就 得到一个划分族，而且由于 > 时， R [x] R [x] ，即 R 给出的分类结果中的每类，是 R 给出的分类结果的子类，所 以 R 给出的分类结果比 R 给出的分类结果更细。随着的 下降， R 给出的分类越来越粗，这样就得到一个动态的聚类 图。 但通常模糊关系，不一定有传递性，因而不是模糊等价关 系，对这种模糊关系直接进行上述分类显然是不合理的。为此 ，我们希望寻求一种方法，能将不是等价的模糊关系进行改造 ，以便分类使用。
• •function [D k] =jjz4(B) •L=unique(B)'; •a=size(B); •D=zeros(a); •for m=length(L):-1:1 • k=L(m); • for i=1:a • for j=1:a • if B(i,j)>=k • D(i,j)=1; • else D(i,j)=0;%求截距阵，当bij≥ 时，bij() =1；当bij＜ 时， bij() =0 • end • end • end •fprintf(‘当分类系数k=：\n'); •disp(L(m)); •fprintf(‘所得截距阵为：\n'); •disp(D); •end


end
fprintf(‘标准化矩阵如下：Y=\n'); disp(Y) end
2.3 标定, 建立模糊相似矩阵

针对上述的标准化矩阵 , 计算各分类对象间的相似程度,
从而建立模糊相似矩阵 R= (rij) n n, 这个过程又称为标定, 计
算标定的方法是很多的, 主要包括三大类方法: (1)相似系数
2.5 求模糊矩阵的截矩阵

依次取 ∈[0, 1] ， 截关系 R，R 是经典等价关系，它 诱导出 X 上的一个划分 X/R , 将 X 分成一些等价类。确 定相应的λ截矩阵，则可以将其分类。 随 由大到小，分类由细到粗，形成一个动态的分类图 。

Matlab程序--- jjz4.m
定义二：模糊相似矩阵 若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时，X 上的一个模糊相似 关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I ≤R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).
法; (2)距离法; (3)主观评分法。三类方法各有不同的适用范 围, 不同的问题需要的方法是不一样的。

（1）相似系数法 ----夹角余弦法

rij
m
m
x ik x
2
jk
k 1

x ik
k 1

m
x
2 jk
k 1
相似系数法 ----相关系数法
|x
rij
k 1 m k 1
m
ik
Matlab程序---biaod2.m
2.4 求传递闭包