高中数学高考二轮复习概率与统计教案

专题三概率与统计

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高考点拨] 本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，考查内容强化“用数据说法，用事实说话”，背景容易创新．基于上述分析，本专题按照“用样本估计总体”“古典概型与几何概型”“随机变量及其分布列”“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导，强化突破．

突破点6 古典概型与几何概型

(1)直接列举：然后进行求解．

(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏．

(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率．

(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.

准确确定度量方式和度量公式是求解几何概型的关键，常见的几何度量涉及的测度主要包括长度、面积、体积、角度等.

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．

回访1 古典概型

1．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.1

8 B.38 C.58

D.78

D 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24

＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，

∴所求概率为1－1＋116＝7

8

.]

2．(2013·全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1

14

，则n ＝________.

8 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n ＝1

14，

即n 2

－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.]

回访2 几何概型

3．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.1

3 B.12 C.23

D.34

B 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1

2

.故选B.]

4．(2016·全国甲卷)从区间0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成

n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随

机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n

m

B ．2n m

C.4m

n

D.

2m n

C 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得

S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m

n

.]

的关键是准确列举基本事件，难度较小.

(1)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，先从袋中任意取

出一个球，取出后不放回，然后从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )

A.3

5 B.310 C.12

D.625

(2)已知M ＝{1,2,3,4}，若a ∈M ，b ∈M ，则函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋x －3在R 上为增函数的概率是( )

【导学号：85952027】

A.916 B ．716 C.416

D.316

(1)B (2)A (1)设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．

其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，

b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310

.故选B.

(2)记事件A 为“函数f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋x －3在R 上为增函数”． 因为f (x )＝ax 3

＋bx 2

＋x －3，所以f ′(x )＝3ax 2

＋2bx ＋1. 因为函数f (x )在R 上为增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 又a >0，所以Δ＝(2b )2

－4×3a ＝4b 2

－12a ≤0在R 上恒成立，即a ≥b 2

3.

所以当b ＝1时，有a ≥1

3，故a 可取1,2,3,4，共4个数；

当b ＝2时，有a ≥4

3，故a 可取2,3,4，共3个数；

当b ＝3时，有a ≥3，故a 可取3,4，共2个数； 当b ＝4时，有a ≥16

3

，故a 无可取值．

综上，事件A 包含的基本事件有4＋3＋2＝9(种)．