整数的速算与巧算

7 11 13 1001 (三个常用质数的乘积，重点记忆)

理论依据：乘法交换率：a X b=b Xa

整数速算巧

算

知识框架

、整数四则运算定律 1) 加法交换律： a b b a 的等比数列求和 2) 加法结合律： (a b) c a (b c) 3) 乘法交换律： a b b a

4) 乘法结合律： (a b) c a (b c)

5) 乘法分配律： a (b c) a b a c ； (b c) a b a c a

6) 减法的性质： a b c a (b c) 7) 除法的性质： a (b c) a b c ； 8) 除法的“左”分配律： (a b) c a c b c ； (a b) c a 是没有“右”分配律的， 即c (a b) c a c b 是不成立的!

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用． c b c ，这里尤其要注意，除法

、加减法中的速算与巧算 速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下： 1)

分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数 有相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中

的一个数叫做另一个数的“补数”．

加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整． 数值原理法.先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加. 4)

基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”(要注 意把多加的数减去，把少加的数加上)

三、乘法凑整 思想核心： 先把能凑成整十、 整百、 整千的几个乘数结合在一起， 最后再与前面的数相乘， 使得运算简便。

例如： 4 25 100 ， 8 125 1000， 5 20 100

12345679 9 111111111 (去 8 数，重点记忆)

乘法结合率：(a X b) X c=a x (b x c) 乘法分配率：（a+b ） X c=a x c+b Xc

积不变规律：a X b=(a X c) x (b * c)=(a * c) x (b x c)

四、乘、除法混合运算的性质

a b (a n) (b n) (a m) (b m) m 0,

在连除时，可以交换除数的位置，商不变.即: 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家） 例如：a b c a c b b c a

在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“X”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变.即

两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘.

(a b) (c d) (a c) (b d) (a d) (b c)

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.

五、利用位值原理思想进行巧算

（1）位值原理的定义:

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身 的一个值外，还有一个“位置值”。 例如“ 2” ,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百, 这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

（2）位值原理的表达形式:

以六位数为例：

abcdef a 100000 b 10000 c 1000 d 100 e 10 f

(1)

商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数, 其商不变.即:

a (

b c) a b c

a (

b c) a b c

②括号前是“*”时,

去括号后， 括号内的“X”变为“*”

“*”变为 “X”.

a (

b c) a b c

(b c) a b c

添加括号情形：加括号时，括号前是“X” 时, 原符号不变；括号前是

时，原符号“X”

变为“*”，“*”变为“X”.即

a (

b c) a (b c)

b c a (b c) b c a (b c)

以具体数字为例：389762 3 100000 10000 9 1000 100 6 10

六、提取公因数思想

1. 乘法运算中的提取公因数：

1) 乘法分配律：a (b c) a b c或(b c) a aca

2) 提取公因数即乘法分配律的逆用：ca (b c) 或

c a (b c) a

b

2. 除法运算中的提取公因数：

1) 除法的“左”分配律：(a b) c；(a b

ca bc

)

2) 除法的“左”提取公因数：(a b)

七、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响

1) 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的”号都不变；

在“”号后面添括号或者去括号，括号内的(( (( ”号都改变，其中“ ”号变成“ ”

号，”号变成“ ”号；

在“”号后面添括号或者去括号，括号内的”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；

4) 在“”号后面添括号或者去括号，括号内的”号都改变，其中“ ”号变成“ ”

号，“ ”号变成“”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．

例题精

讲、加减速算

例1】计算: 123 234 345 456 567 678 789

考点】位值原理难度】3星题型】计算

解析】(法1) 原式

(1 2 345 6 7) 100 (2 3 4 5 6 7 8) 10 (3 4 5 6 7 8 9)

2800 350 42 3192

法2) 原式