中南大学物理电磁学课件 1静电场-3
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矢量微分算符
x
i
y
j
z
k
直角坐标系表示
• E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 • 在数学场论中把
U :
A:
A:
称作梯度
称作散度
称作旋度
静电场的基本方程的微分形式
• 数学场论公式
A d S A dV
S V
面积分 体积分
dr r , dU U
定值
0
r
半径之差∝r2
4 q
2
r U
2
而
E
1 r
2
r 越大 r 越大 ，等势面间距越大 ，越稀 ，E越小 r 越小 r 越小 ，等势面间距越小 ，越密 ，E越大
2
电势梯度
• 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 – 如 速度梯度 温度梯度等 U U lim • 沿l的方向微商可以表示为 l o
xp xp
qxdx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 任一圆环 dS 2 R sin Rd dq dS 2 R sin d
2
du
dq 4 0l
1 2 R sin d
APQ
Q
F dl
qq 0 4 0
P
Q
P
F cos dl Fdr
P
Q
rQ
Fdr
qq 0 4 0
rP '
rQ
dr r
2
rP '
A PQ
rQ
dr r
2
rP '
r qq 0 1 1 q Q E ( r ) dr 0 r rP ' 4 0 p ' rQ
空间某点的电势值
• 为了确定某点的值，还需要选择零点 • 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p ) U P
P
AP q0
P
E dl
两点之间电势差可表为两点电势值之差
U PQ
Q P
E dl
E dl
Q
E d l U ( P ) U (Q )
p ( L1 ) p ( L2 )
E dl 0
讨论
• 在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那 么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2 成反 比？ • 答：不一定
如弹性力 f kr 也有类似性质
哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能 重力 引入重力势能 势函数 弹性力 引入弹性势能 （位） 静电力 引入静电势能 任何作功与路径无关的力场，叫做“保守力场” （“势场”），可以定义势函数，引入势能
电势的定义
A PQ 0 W PQ 0
W PQ q0
电场付出能量，能量减 少 ( 电势能的减少 ， 与场源和 q 0 均有关 电场吸收能量，能量增 加
A PQ q0
• 从中扣除q0,即引入电势
U PQ
Q P
E dl
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
uP u1 u2 q 4 0 r1 q 4 0 r2 q(r2 r1 ) 4 0 r1r2
Y
P ( x, y )
r l
u q
r2 r1 l cos
l cos r
2
r1r2 r
q
2
r2
O
r r 1
q
X
4 0
l
x
u
2
其中 r 2 x 2 y 2
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
L
Q
E dl 0
Q
P
P ( L1 )
Q
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
任意有限大的带电体产生的电场
• 可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 • 结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
静电场的环路定理
• 静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零
Q
q 0 q1 q1 4 0 r p 1 rQ 1
P到 q1 的距离
q q 2 2 r p 2 rQ 2
q q n n r pn rQn
Q到q1 的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
单位：1V(伏特）＝1J/C
电势叠加原理
• 点电荷组有
UP
Ui
1
qi
4 0 ri
E dl
P
P
E1 d l
P
E2 d l
P
Ek d l
U P 1 U P 2 U Pk
U
i
pi
连续带电体有
1 4 0
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q P
静电场与 q0有能量交换
APQ q 0 E d l W PQ W P W Q (W Q W P )
电势能的 改变量 q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能 电势增量
• 可以与重力做功类比
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
2
d
4 0
l
R
O
l
q sin d 8 0l
2 2 2
r
rR
rR
P
由图 l R r 2Rr cos
2ldl 2rR sin d
du qdl 8 0 rR
u
rR
qdl 8 0 rR
q 4 0 r
rR
R r
u
R r
qdl 8 0 rRUP Nhomakorabea
E dl
P
dU
1 dq 4 0 rP
dU
P
dq r
2
dr
1 4 0
(
dq r
)
P
讨论
• 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 • 电势UP：P与无穷处电势差 • 电势零点 选取
– 可以任意选取，两点间的电势差与电势零点选择无关。 – 对有限大小的带电体，一般选择无穷远为电势零点
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q 2 , , q n
E E1 E 2 E n
• 在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功
APQ Q F dl q0 E dl P P Q Q Q q 0 E1 d l E 2 d l E n d l P P P
2
r
dr
q 4 0 R
q 4 0 r
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB 解: 由高斯定理
q q
RA
0
r RA
r RB
RB
E
q 4 0 r
2
RA r RB
由电势差定义
u AB u A uB
RB E dl
2
E dl
– 等势面密集处场强大，稀疏处场强小 – 证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
U (r ) 1 q 4 0 r
微分 dU ( r ) 1 q
2
4 0 r
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
• 问题
– 选无穷远为零点， 总是合适么？
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
uP E dl
P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
u ui qi 4 0 ri
u du
dq 4 0 r
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理
B A RA
q 4 0 r
2
dr
q
4 0 RA
(
1
1 RB
)
2.如图已知+q 、-q、R
①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc uo uc 0 ( q 4 0 3R q 4 0 R
d
)
a
q
0
b
q
q 6 0 R
c
R
R
R
② 将单位负电荷由
L S
无旋
E
场方程的微分形式
0
0 E 0
将 E U 代入 E
E ( U ) U
2
0
得
U
2 2
0
泊松方程,
静电场的基本 微分方程
若 ＝0 U ＝ 0 拉普拉斯方程
l l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的 方向微商为 U U
n lim
n o
n
显然
n l cos
U l U n
有
U n
U
1
l cos
,或
U l
U n
cos
结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿
其他任何方向的变化率都大 • 电势梯度
– 方向： 沿电势变化最快的方向 – 大小： U
n
在三维空间
U n
U或 gradU
U n U n
电势梯度与场强的关系
U
Q
E d l En
E
P
n 0
lim
Δn 很小， 场强E变化不大
E U ( gradU )
A d l ( A ) d S
L S
线积分 面积分
对静电场方程积分形式进行变换可以得到 一组静电场的基本微分方程
E d S E dV
S V
q
0
1
0
V
dV E
0
有源
E d l ( E ) d S 0 E 0
q 4 0 R
方法二
定义法
q 4 0 r
2
由高斯定理求出场强分布 E
rR
由定义
rR
u E dl
P
0
rR
rR
d
R
O
l
P
u E dl E dl
R r R
0
R
q 4 0 r
2
dr
u
r
q 4 0 r
Z
R
r
x
P
X
O
dl du 4 0 r 4 0 r
2R
方法二 定义法 由电场强度的分布
E qx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
uP du
0
dl
4 0 r
2R 4 0 r
q 4 0 R x
2 2
u Edx
§4 环路定理
静电场力做功与路径无关
• 电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 • 讨论静电场的环流
流速场的环流 0 有旋 v d l 0 无旋
静电场：电力线不闭合 可以猜到静电场的环流为零
E dl 0
证明
• 单个点电荷产生的场
– 把试探电荷q0从P移到Q
AO u uo 0
O电场力所作的功
电场强度和电势
• 已知场强 • 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元 位移dl电场力所做的元功
dA q 0 E d l q 0 Edl cos 0 cos 0
2
A 0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 10 ) 28.8 10 J
③求该过程中电势能的改变
A 0 W W0 28.8 10
7
0
电势能
例2、求均匀带电圆环轴线 Y 上的电势分布。 dl 已知：R、q
解:方法一 微元法
dq
1 4 0
2
px
3
cos
x y
2
(x y )2
2
9 课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷 4.0 10 C r=5cm
①求
uo
q1
q1 4 0 r
O
q2
u 4
28.8 10 V
2
r
q4
q3
7
9 ②将 q0 1.0 10 c 从
0 电场力所作的功
x
i
y
j
z
k
直角坐标系表示
• E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 • 在数学场论中把
U :
A:
A:
称作梯度
称作散度
称作旋度
静电场的基本方程的微分形式
• 数学场论公式
A d S A dV
S V
面积分 体积分
dr r , dU U
定值
0
r
半径之差∝r2
4 q
2
r U
2
而
E
1 r
2
r 越大 r 越大 ，等势面间距越大 ，越稀 ，E越小 r 越小 r 越小 ，等势面间距越小 ，越密 ，E越大
2
电势梯度
• 场有分布，沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 – 如 速度梯度 温度梯度等 U U lim • 沿l的方向微商可以表示为 l o
xp xp
qxdx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 任一圆环 dS 2 R sin Rd dq dS 2 R sin d
2
du
dq 4 0l
1 2 R sin d
APQ
Q
F dl
qq 0 4 0
P
Q
P
F cos dl Fdr
P
Q
rQ
Fdr
qq 0 4 0
rP '
rQ
dr r
2
rP '
A PQ
rQ
dr r
2
rP '
r qq 0 1 1 q Q E ( r ) dr 0 r rP ' 4 0 p ' rQ
空间某点的电势值
• 为了确定某点的值，还需要选择零点 • 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为
U ( p ) U P
P
AP q0
P
E dl
两点之间电势差可表为两点电势值之差
U PQ
Q P
E dl
E dl
Q
E d l U ( P ) U (Q )
p ( L1 ) p ( L2 )
E dl 0
讨论
• 在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那 么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2 成反 比？ • 答：不一定
如弹性力 f kr 也有类似性质
哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能 重力 引入重力势能 势函数 弹性力 引入弹性势能 （位） 静电力 引入静电势能 任何作功与路径无关的力场，叫做“保守力场” （“势场”），可以定义势函数，引入势能
电势的定义
A PQ 0 W PQ 0
W PQ q0
电场付出能量，能量减 少 ( 电势能的减少 ， 与场源和 q 0 均有关 电场吸收能量，能量增 加
A PQ q0
• 从中扣除q0,即引入电势
U PQ
Q P
E dl
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
uP u1 u2 q 4 0 r1 q 4 0 r2 q(r2 r1 ) 4 0 r1r2
Y
P ( x, y )
r l
u q
r2 r1 l cos
l cos r
2
r1r2 r
q
2
r2
O
r r 1
q
X
4 0
l
x
u
2
其中 r 2 x 2 y 2
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
L
Q
E dl 0
Q
P
P ( L1 )
Q
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
任意有限大的带电体产生的电场
• 可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 • 结论：在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关
静电场的环路定理
• 静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零
Q
q 0 q1 q1 4 0 r p 1 rQ 1
P到 q1 的距离
q q 2 2 r p 2 rQ 2
q q n n r pn rQn
Q到q1 的 距离
每项均与路径无关，只与位置有关
单位：1V(伏特）＝1J/C
电势叠加原理
• 点电荷组有
UP
Ui
1
qi
4 0 ri
E dl
P
P
E1 d l
P
E2 d l
P
Ek d l
U P 1 U P 2 U Pk
U
i
pi
连续带电体有
1 4 0
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q P
静电场与 q0有能量交换
APQ q 0 E d l W PQ W P W Q (W Q W P )
电势能的 改变量 q0在 P点 的电势能 q0在 Q点 的电势能 电势增量
• 可以与重力做功类比
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
2
d
4 0
l
R
O
l
q sin d 8 0l
2 2 2
r
rR
rR
P
由图 l R r 2Rr cos
2ldl 2rR sin d
du qdl 8 0 rR
u
rR
qdl 8 0 rR
q 4 0 r
rR
R r
u
R r
qdl 8 0 rRUP Nhomakorabea
E dl
P
dU
1 dq 4 0 rP
dU
P
dq r
2
dr
1 4 0
(
dq r
)
P
讨论
• 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 • 电势UP：P与无穷处电势差 • 电势零点 选取
– 可以任意选取，两点间的电势差与电势零点选择无关。 – 对有限大小的带电体，一般选择无穷远为电势零点
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q 2 , , q n
E E1 E 2 E n
• 在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功
APQ Q F dl q0 E dl P P Q Q Q q 0 E1 d l E 2 d l E n d l P P P
2
r
dr
q 4 0 R
q 4 0 r
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB 解: 由高斯定理
q q
RA
0
r RA
r RB
RB
E
q 4 0 r
2
RA r RB
由电势差定义
u AB u A uB
RB E dl
2
E dl
– 等势面密集处场强大，稀疏处场强小 – 证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
U (r ) 1 q 4 0 r
微分 dU ( r ) 1 q
2
4 0 r
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
• 问题
– 选无穷远为零点， 总是合适么？
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
uP E dl
P
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
u ui qi 4 0 ri
u du
dq 4 0 r
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势 由叠加原理
B A RA
q 4 0 r
2
dr
q
4 0 RA
(
1
1 RB
)
2.如图已知+q 、-q、R
①求单位正电荷沿odc 移至c ，电场力所作的功
Aoc uo uc 0 ( q 4 0 3R q 4 0 R
d
)
a
q
0
b
q
q 6 0 R
c
R
R
R
② 将单位负电荷由
L S
无旋
E
场方程的微分形式
0
0 E 0
将 E U 代入 E
E ( U ) U
2
0
得
U
2 2
0
泊松方程,
静电场的基本 微分方程
若 ＝0 U ＝ 0 拉普拉斯方程
l l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的 方向微商为 U U
n lim
n o
n
显然
n l cos
U l U n
有
U n
U
1
l cos
,或
U l
U n
cos
结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿
其他任何方向的变化率都大 • 电势梯度
– 方向： 沿电势变化最快的方向 – 大小： U
n
在三维空间
U n
U或 gradU
U n U n
电势梯度与场强的关系
U
Q
E d l En
E
P
n 0
lim
Δn 很小， 场强E变化不大
E U ( gradU )
A d l ( A ) d S
L S
线积分 面积分
对静电场方程积分形式进行变换可以得到 一组静电场的基本微分方程
E d S E dV
S V
q
0
1
0
V
dV E
0
有源
E d l ( E ) d S 0 E 0
q 4 0 R
方法二
定义法
q 4 0 r
2
由高斯定理求出场强分布 E
rR
由定义
rR
u E dl
P
0
rR
rR
d
R
O
l
P
u E dl E dl
R r R
0
R
q 4 0 r
2
dr
u
r
q 4 0 r
Z
R
r
x
P
X
O
dl du 4 0 r 4 0 r
2R
方法二 定义法 由电场强度的分布
E qx 4 0 ( x R )
2 2 3 2
uP du
0
dl
4 0 r
2R 4 0 r
q 4 0 R x
2 2
u Edx
§4 环路定理
静电场力做功与路径无关
• 电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 • 讨论静电场的环流
流速场的环流 0 有旋 v d l 0 无旋
静电场：电力线不闭合 可以猜到静电场的环流为零
E dl 0
证明
• 单个点电荷产生的场
– 把试探电荷q0从P移到Q
AO u uo 0
O电场力所作的功
电场强度和电势
• 已知场强 • 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元 位移dl电场力所做的元功
dA q 0 E d l q 0 Edl cos 0 cos 0
2
A 0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 10 ) 28.8 10 J
③求该过程中电势能的改变
A 0 W W0 28.8 10
7
0
电势能
例2、求均匀带电圆环轴线 Y 上的电势分布。 dl 已知：R、q
解:方法一 微元法
dq
1 4 0
2
px
3
cos
x y
2
(x y )2
2
9 课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷 4.0 10 C r=5cm
①求
uo
q1
q1 4 0 r
O
q2
u 4
28.8 10 V
2
r
q4
q3
7
9 ②将 q0 1.0 10 c 从
0 电场力所作的功