清华大学微积分精品课件1

则有 f ( g( x)) ln( x2 1), x (, 1) (1, ).
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2. 反函数
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x1 )
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(1
x1
2
x2
x1
)
1 2 1
Y ( x) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
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（一） 凸性定义：
设函数 f ( x) : [a, b] R. 如 果 x1, x2 [a, b], 不 等 式
f (1x1 2 x2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 ) 对 于 满 足1 2 1 的 任 意 非 负 实 数1和 2
,
则 x ( x1 , x2 ) , 有x 1 x1 2 x2
其中0 1, 2 1 , 且 1 2 1
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弦线AB的方程为
Y(x)
f ( x1 )
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(
x
x1
)
x ( x1, x2 ) , 有
Y ( x) Y (1 x1 2 x2 )
x [1, )
反双曲正切
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arctanhx 1 ln 1 x 2 1 x
x (1, 1) 35
非初等函数的例子
1,
（1）符号函数
y
sgn
x
0,
y
1
1,
x 0, x 0, x 0.
O•
x
1
[注意] x x sgn x
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（2）取整函数
y x: k (k x k 1, k Z )
x
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y 凹的（上凸）
y f (x)
B
A
o x1 x
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x2
x
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x ( x1, x2 ) , x可 表 示 为 如 下 形 式 ：
记 x x1 k, (k 0)
x2 x
可解出
1
k
x 1 k x1 1 k x2 ,
令1
1 1 k
,
2
k 1 k
3. 函数的周期性
T 0,x R f ( x T ) f ( x ) 称 f 为周期函数 若 f 有最小周期T ,则称T 是 f 的周期
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
1, 当x为有理数
(x)
0,
当x为无理数
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4. 函数的有界性
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对 每一个x D,都有 f ( x ) M, 则称函 数f 在 D 上是有 上界的.
都 成 立,则 称 f 在[a, b]上 为凸 函 数.
如 果 f (1x1 2 x2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x2 )
则 称 f 在[a, b]上 为 凹函 数.
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四、 复合函数与反函数
1. 复合函数
定义： 假 定 给 了 两 个 函 数y f (u)和
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定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为奇函数
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为偶函数
2. 函数的增减性
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
x f 1( y) ln y y (0, )
习惯上, 记 y ln x x (0, )
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五、 初等函数
基本初等函数
（1）常量函数 y c (常 数) （2）幂函数 y x
e是无理数
（3）指数函数 y a x (a 0) y e x
（4）对数函数 y log a x y ln x : loge x
[例] y 1 在( , 0) (0, )上是无界的.
x 对任意的M 0, 取 x*
1
,则有
2M
1
2M M
x x x*
对 任 意 的 0, 在(, ][ , )上 是
有 界 的. 1 1
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x
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5.函数的凸性
y
凸的（下凸） y f (x)
B
A
o
x1
x
x2
Z {0， 1， 2,， n,} 整数集
Q { p p, q为 互 质 的 整 数} 有理数集 q
R { x x是实数}
实数集
C { x iy x, y R} 复数集
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2. 邻域 设 x0 R, 0 数集{ x x x0 }称为点x0 的 邻域
记作 N ( x0, ).
（5）三角函数 sin x, cos x, tan x, cot x
（6）反三角函数
都是周期函数
arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x
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初等函数 基本初等函数经过有限次的四则运算
及复合运算所得到的函数, 称为初等函数.
双曲函数 双曲正弦
欢迎你！
清华园的
新主人
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微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@math.tsinghua.edu.cn
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参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
u g( x),并 且 g的 值 域R( g)与 f 的 定 义 域D( f )的 交 集 非 空, 这 时 在 集 合
D {x x D(g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
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记作 f g
即 f g( x) : f (g( x))
例 (1) y f (u) eu , u g( x) sin x,
则有 f ( g( x)) esin x x ( , )
(2) y f (u) u, u g( x) x2 ,
则有 f (g( x)) x2 x
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因 为x (, ), 有 e x 0 和 e x 0
所以, y e x和 y e x 在(, )上,
有 下 界, 无 上 界.
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[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对 任 意 的 正 数M 0,总 存 在x* D,
使 得 f ( x* ) M ,则 称 函 数 f 在 D 上 无 界.
（f ( x1 ) f ( x2 )）,称 f 为 单 调 增 函 数
（严格单 调增函数)
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
( f ( x1 ) f ( x2 ) ),称 f 为 单 调 减 函 数
（严 2020/11/13 格 单 调 减 函 数)
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f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
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[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
有反函数
是严格单调函数
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算
微分学应用
• 一元函数积分 • 简单微分方程
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不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
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第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
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一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
微积分部分
刘坤林等
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清华大学出版社 4
作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
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交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
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二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果Fra Baidu bibliotekx D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
{ y y R, y f ( x), x D}— 值 域 f (D)
3.逻 辑 符 号
（1）全称量词“” “” 表 示 “ 任 意 的 ” 。 例如“：x R”表示“对于任意的实数x”。
（2） 存 在 量 词 “” “”表示“存在”。 例如“：a,b Q,a b,c Q且c （a,b）”
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a , b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 2020/11/13
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
星期五 课后
理科楼 数学系 1111
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引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
[例如] 2.5 2 y 2.5 3
3
•
2
•
1 •
3 2 1 O•
1234
x
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
y f (D), ! x D, 使得 y f ( x)
这是一个由 f (D)到D 新的对应关系, 称为函数
y f ( x)的反函数.
记作 x f 1( y) y f (D)
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由定义可以知道：
反 函 数 f 1 的 定 义 域 是 函 数 f 的 值 域 f ( D)；
x (, )
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(3) f (u) arcsin u, g( x) e x 1.
因为 D( f ) [1, 1], R(g) (1, ),
D( f ) R(g) .
所以, 不能构成复合函数 f (g( x)).
(4) y f (u) ln u, u g( x) x2 1,
sinh x 1 (e x ex ) 2
双曲余弦 cosh x 1 (e x ex ) 2
双曲正切
tanh
x
sinh x cosh x
ex ex
ex ex
2020/11/13 x ( , )
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反双曲正弦 arcsinhx ln(x 1 x2 ) x (, )
反双曲余弦 arccoshx ln(x x2 1)
(2) 如果存在一个实数N , 使得对
每一个x D,都有 f ( x ) N
则称函 数f 在 D 上是有 下界的.
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(3) 既有上界又有下界的函数, 称为 有 界 函数.
即存在一个正数M 0, 使得对于
每一个x D,成立 f (x) M.
[例] y e x 和 y e x x (, )
x x0 x0 x x0
x0 O
x0
x0
x
N(x0, ) {x x x0 } (x0 , x0 )
数 集{ x 0 x x0 } N *( x0, )称 为
点 x 的 空 心 邻 域 2020/011/13 ( x0 , x0 ) {1x3 0 }
2020/11/13
或R( f ) 15
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例 ：f ( x) 2x2 1
对 应 规 则f 表 示 f () 2 2 1
f (1) 2 12 1
f ( 1 ) 2( 1 )2 1
x
x
f (2t 1) 2(2t 1)2 1
例: y x与y x2 x