用留数定理计算实积分

§2. 用留数定理计算实积分

一、教学目标或要求：

真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法

重点：用留数定理计算实积分的方法

难点：定理的应用

三、教学手段与方法：

讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：4－7

§2. 用留数定理计算实积分

留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分. 如，在研究阻尼振动时计算积分，在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分.

在热学中将遇到积分(，b为任意实数)如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂.如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数定理，那就简单了.当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.

把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样

左端可应用留数定理，如果容易求出，则问题就解决了，下面具体

介绍几个类型的实变定积分. 1. 计算⎰π

20d )sin ,(cos R θθθ型积分

令θi e =z ，则θcos 与θsin 均可用复变量z 表示出来，从而实现将

)sin ,(cos R θθ变形为复变量z 的函数的愿望，此时有

z

z z z i 21

sin ,21cos 22-=

+=θθ 同时，由于θi e =z ，所以1=z ，且当θ由0变到π2时，z 恰好在圆周1:=z c 上变动一周。故使积分路径也变成了所期望的围线。 至此，有

⎰⎰

=⋅-+=1

22π20

d i 1)i 21,21(R d )sin ,(cos R z z z z z z z θθθ

于是，计算积分⎰π20

d )sin ,(cos R θθθ的方法找到了，只需令θi

e =z 即可。

例 求。 解 当

时，

；当

时，令

，

当 时，在

内，

仅以

为一级极点，

在

上无奇点，故由留数定理

当

时,在

内

仅以

为一级极点,在

上无奇点，

例计算积分. 解：令得：

先求的奇点及其留数.

令其分母为零得：

这就是的两个单极点.

单极点的模为：

所以极点在单位圆内.而单极点的模为:

所以在单位圆外，在极点处.

此积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以求出开普勒积分：

之值.

为此，在前例中，用代得：

两也对a求导得：

令a=1得，即：

例求。

解为偶函数，故，

令，则

在内部仅有为一级极点，

，

故，比较实部得，故。

例计算积分.

解：若直接作变换，则积分复杂，若先考虑积分:

作变换：，则:

因为的阶极点.

所以：

故：

比较两边的实部和虚部得：。

1． 计算dx x Q x P ⎰

+∞

∞-)

()

(型积分

由于，考虑添加辅助曲线与实轴上

是区间

构成围线

，则

，

其中为落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出

的值，再取极限即得。

引理 6.1 设

在圆弧

充分大)上连续,且在

上一致成立(即与

中的

无关)，则

。

证

，由于

在

上一致成立，故

，

定理6.7设为有理分式，其中

，为互质多项式,且（1）；（2）在实轴上，

则。

证由,,存在,且

。作,与线段一起构成围线,取足够大，使的内部包含在上半平面内的一切孤立奇点,由在实轴上知,在上没有奇点,由留数定理得

，又。

由于

当

时,

，由引理6.1，

，

于是 。

例 设，计算

解：

为偶函数，所以

函数

的奇点为

故在上半平面的奇点为：，

而：

例 计算积分⎰∞

+∞-++x x x x d 1

242

。

解 经验证，此积分可用（7.11）式计算．首先，求出1

)()(242

++=z z z z Q z P 在上半平面的全部奇点．令

0124=++z z 即22424)12(1z z z z z -++=++222)1(z z -+= )1)(1(22+-++=z z z z 0=

于是，

)

()

(z Q z P 在上半平面的全部奇点只有两个： i 2321+=

α 与 i 2321+-=β且知道，α与β均为)

()(z Q z P 的一级极点． 其次，算留数，有

))()()(()(lim ),)()((Res 2

βαβαααα++---=→z z z z z z z Q z P z i 34i 31+=

))()()(()(lim ),)()((Res 2

βαβαβββ++---=→z z z z z z z Q z P z i 34i 31-=

最后，将所得留数代入（7.11）式得

)],)()((Res ),)()((Res [i π2d 1242βαz Q z P z Q z P x x x x +=++⎰∞

+∞-3

π=. 3 积分

的计算

引理6.2(Jordan) 设

在半圆周充分大)上连续,且 在

上一致成立，则

。

证

，由于

在

上一致成立，故

,