等差数列及其前n项和

∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
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方法二 ∵当 n≥2 时，S1n－Sn1－1＝2SSn－n1－＋1 1－Sn1－1 ＝2SSnn－－11＝2， ∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知S1n＝12＋(n－1)×2＝2n－32， ∴Sn＝2n1－32， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n1－32－2n1－72 ＝2n－32－22n－72；
又 b1＝a1－1 1＝－52.
∴数列{bn}是以－52为首项，1 为公差的等差数列．
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(2)解 由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设函数 f(x)＝1＋2x2－7， 易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数． ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1；当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
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方法二 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
探究提高
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解 决问题． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常 用方法．
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基础自测
题号 1 2 3 4 5
答案ห้องสมุดไป่ตู้
12n－10 3 4 15
2n－1 20 主页
等差数列的判定或证明
例 1 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1 (n≥2，n∈N*)，数 列{bn}满足 bn＝an－1 1 (n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn 存在最 大 值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最 小 值．
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忆一忆知识要点
[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定
(1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)S2n－1＝(2n－1)an. (4)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
等差数列及其前n项和
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忆一忆知识要点
1．等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这
个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 an＝a1＋(n－1)d .
探究提高
证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法： an＋1－an＝d；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.
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变式训练 1
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2SSn－n－1＋1 1 (n≥2)，a1
＝2. (1)求证：S1n是等差数列； (2)求 an 的表达式． (1)证明 方法一 由 Sn＝2SSn－n－ 1＋1 1， 得S1n＝2SSn－n－1＋1 1＝Sn1－1＋2， ∴S1n－Sn1－1＝2，
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忆一忆知识要点
5．等差数列的前 n 项和公式
na1＋an
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝ 2
或
Sn＝ na1＋nn2－1d .
6．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B 为常数)．
7．等差数列的最值
(1)可利用定义证明 bn－bn－1 (n≥2)为常数来证明数列{bn}是等 差数列． (2)通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后从函数的观点 解决数列的最大项和最小项的问题．
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(1)证明 ∵an＝2－an1－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝an－1 1. ∴n≥2 时，bn－bn－1＝an－1 1－an－11－1 ＝2－an11－1－1－an－11－1 ＝ana－n1－－1 1－an－11－1＝1.
(1)由 S5S6＋15＝0 与 S5＝5 可构建关于 a1，d 的方程组． (2)由 S5S6＋15＝0 可化为关于 a1 的一元二次方程，因为{an} 存在，所以关于 a1 的一元二次方程有解．
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解 (1)由题意知 S6＝－S155＝－3，a6＝S6－S5＝－8. 所以5aa1＋1＋51d0＝d＝－58，. 解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7. (2)方法一 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 因为关于 a1 的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得 d≤－2 2或 d≥2 2.
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当 n＝1 时，a1＝2 不适合 an，
2 故 an＝2n－32－22n－72
n＝1 n≥2.
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等差数列的基本量的计算
例 2 设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的 前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0. (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1； (2)求 d 的取值范围．
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
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忆一忆知识要点
4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d ，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)， 则 ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公 差为 2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列．