定积分的概念

性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
段时间内所经过的路程.
S T2v(t)dt T1
二 定积分的几何意义
y f ( x) 0,
y f ( x) 0,
oa
bx
oa
bx
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积 的负值
几何意义
y
A2
o A1
A3 x
它是介于x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直 线 x a, x b 之 间 的 各 部 分 面 积 的 代数 和 ． 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ；在 x 轴 下 方 的 面 积取负号．
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解 (1) 分割
将[0,1]n等分，分点为 xi 小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
i
n
，(i 1 ，(i n
1,2,, n ) 1,2,, n
)
（2）取点 取i xi ，(i 1,2,, n)
注：
b
1. f (x)dx是一个和式的极限 a
是一个确定的常数
n
2
.当
f ( )x
i 1
i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
1.5.3 定积分的概念 与性质
一 定积分的概念
定义6.1 设函数 f x 在区间 a,b 上有定义。
（1）、分割
在区间 a,b 内任取 n 1个分点：
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b
把区间 a,b 等分成n个小区间：xi1, xi ,i 1,2,n
（2）作和
上的定积分，记作 b f xdx ，即
a
n
b
f
a
x
dx
=
lim
n0
i 1
f ξi • xi
其中 f x 称为被积函数，x称为积分变量，
f xdx 称为被积表达式，
a,b 称为积分区间，a称为积分下限，
b 称为积分上限，
称为积分号
b f xdx 称作函数 f x 从a到b的定积分。 a
a
a
例2 计 算 积 分 1 1 x 2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
的面积（见下图）
y
面积值为圆的面积的 1
4
所以 1 1 x 2 dx
0
4
1 x
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
任取
ξ i
xi1,
xi
i
1,2,,
n,
ξi , f ξi 为曲线
f x上一点，作乘积 f ξi • xi 1,2,, n ，则
n
f ξi • x 称为函数 f x 在 a, b 上的积分和。
i 1
（3）取极限
n
lim
n0
i 1
f
ξ i
• x
存在，则称函数 f
x
在
a, b
上可积，并将极限值称为函数 f x 在 a,b
4．规定：ab
f
(x)dx
a
b
f
(x)dx
a
a f (x)dx 0
4. 曲边梯形由连续曲线 y f ( x)( f ( x) 0)、 x轴与两条直线x a 、x b所围成.
其 面积A等 于函 数f ( x)在 区间[a, b]上 的定 积 分， 即
b
A a f ( x)dx
5. 设某质点作直线运动，速度v v(t)是时 间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，物体在这
n
n
n
（3）求和 f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
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1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n
（4）求极限
1 x2dx lim n
0
0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3