定积分的概念完整版
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分的概念与性质
定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。
本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。
它是对函数在给定区间上的求和过程。
我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。
定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。
定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。
二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。
2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。
如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。
这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。
定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。
三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。
2. 定积分的加法性质。
对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分中的一种重要概念，它广泛应用于物理、计算机科学、经济学、统计学等领域。
在本文中，我们将探讨定积分的定义及其相关概念、定理和应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过限定积分上下限，计算函数在给定区间上的面积的方法。
具体地说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上关于x轴的面积为：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx其中∫表示积分符号，f(x)dx表示微元，最终结果为面积。
二、交错积分的概念定积分有时会被定义为交错积分的形式，按照这样的定义，定积分是将区间[a,b]分成n等份后，将每等份映射到默区间[a,b]，计算总面积面积的方法。
三、定积分的性质定积分具有一个重要的性质，即可加性。
也就是说，如果f(x)连续，则对于[a,b]和[b,c]的任意选取，有：∫<sub>c</sub><sup>b</sup>f(x)dx+∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f (x)dx=∫<sub>c</sub><sup>a</sup>f(x)dx这个性质对于求复杂函数的面积非常有用，因为它允许我们将求和区间划分成更小的部分，并在不同部分上执行计算，从而得到总面积。
四、定积分的定理除了性质外，定积分还有一些定理，它们可以更简单地求出某些函数的积分。
其中最著名的是牛顿-莱布尼茨公式，它指出：∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)d x=F(b)-F(a)其中F(x)是f(x)的原函数。
另外两个常见的定理是平均值定理和拉格朗日中值定理。
平均值定理指出，如果f(x)在区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上的平均值等于1/(b-a)∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx；拉格朗日中值定理指出，如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一个数c，使得：f(c)=(1/(b-a))∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x)dx这两个定理为找出区间[a,b]上函数值的平均值或最大值提供了帮助。
定积分的概念课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
定积分的概念
分割, i 如何取法, 极限
lim Sn lim f ( i )xi
0 0
i 1 n
存在, 则称此极限为f ( x )在[a, b]上的定积分,
记作 a f ( x )dx, 即
b
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
近似
12
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细, 即小区间的最大长度 max{ x1 , x 2 , x n } 趋近于零 ( 0) 时， （1）分割
播放
5
曲边梯形如图所示， 在区间[a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 分割 把区间 [a , b] 分成 n y
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
17
6.1.3 定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
b a
f ( x ) dx A
曲边梯形的面积
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
《定积分的概念》课件
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可 以用被积函数的不定积分来表示。这 个定理是计算定积分的基石，因为它 提供了一种将定积分问题转化为求不 定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积 等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法 和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定 积分的方法；换元法是通过换元公式将复 杂的积分转化为简单的积分；分部积分法 则是通过将两个函数的乘积进行求导，再 利用微积分基本定理计算定积分的方法。 这些方法在解决实际问题时各有优缺点， 需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利 用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的 市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分 和，可以评估整体的投资项目的风险。
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
定积分的概念95419
则 a bf(x )d x 0 . (a b )
证 f(x)0,f(i)0, (i1 ,2, ,n )
n
xi 0, f(i)xi 0,
i1 m x 1 , a x 2 , x , x n } {
n
lim
0 i1
f(i
)xi
b
b
a[g(x)f(x)d ] x0,
b
b
ag (x)d x af(x)d x 0 ,
于 是 a b f ( x ) d x a b g ( x ) d . x
性质5的推论：
（2） a bf(x)d xa bf(x)d.x(ab)
证 f( x ) f( x ) f( x ) ,
f(x)dx0. a
性质5的推论：
（1）如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f( x ) d x a b g ( x ) d .x ( a b )
证 f(x )g (x ), g (x ) f(x ) 0 ,
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )ti
i1
（3）取极限 m t 1 ,a t2 , x , tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)ti
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2 A 3 A 4
几何意义：
它是介x于轴、函数 f(x)的图形及两条 直线xa, xb之间的各部分面数 积和 的． 代 在x轴上方的面积取在 正x号轴；下方的面 积取负号．
定积分的概念
如果当
max{x
1 i n
i
}
0
时
总有 f ( i ) x i I , 那么称极限 I 为函数 f (x)
i 1
b
在[a, b]上的定积分，记为 f ( x)dx，即 a
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i 1
f ( i )xi
19
定积分的定义
积分上限
b a
f ( x)dx
8
引例：求面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
伯 鹃 讹 辣 霖 囤 肯 府 撬 腹 咳 未 剁 胰 然 尖
引例：求面积
步骤
Step1 大化小(分割)
在 a, b 之间任意插入 n -1个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
b
a
f
(
x
)
d
x
在几何上表示相应曲边梯形面
积的相反数，即
b
a
f
(x)dx
=
A
．
y f ( x)
a
b
定积分的几何意义
当 f (x) 在区间[a, b] 上有正有负时，
b
a
f
(x)dx
在几何上表示 的
x
轴上方图形
面积减去 x 轴下方图形的面积．如图所
示，有
b f (x)dx A1 A2 A3 A4 ． a
b f (x)dx =
b f (u)du ，例如：
1 x 2dx
定积分的定义与计算
定积分的定义与计算定积分是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域的数学分析和工程实践中。
本文将简要介绍定积分的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)的值进行“求和”的操作。
具体来说，我们将区间[a, b]进行分割，将每个小区间的长度取得越来越小，然后在每个小区间上找出一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，再将这些乘积相加起来，即可得到函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
数学表示上，定积分可以用符号∫来表示，即∫[a,b]f(x)dx，意思是对函数f(x)在区间[a, b]上求积分。
其中，dx表示积分的变量，a和b表示积分的下限和上限。
二、定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是定积分计算中常用的一种方法。
根据函数f(x)的不同形式，我们可以采用不同的积分公式来计算定积分。
一些常见的函数形式如下：- 多项式函数：一般多项式函数的定积分就是多项式各项的积分之和。
例如，对于f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以利用基本积分公式∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) 来计算定积分。
- 三角函数：三角函数的定积分可以利用一些特定的公式来计算。
例如，对于f(x) = sin(x)，我们可以利用基本积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C 来计算定积分，其中C为常数。
- 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定积分也有一些特定的计算公式。
例如，对于f(x) = e^x，我们可以利用基本积分公式∫e^x dx = e^x + C 来计算定积分，其中C为常数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是另一种常用的定积分计算方法。
该公式表明，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以通过计算原函数在区间端点的值之差得到，即∫[a,b]f(x)dx = F(b) -F(a)。
(完整版)§5-1定积分的概念和性质
第五章 定积分§5－－1 定积分的概念和性质一、两个实例1 曲边梯形的面积单曲边梯形由其他曲线围成的图形，可以用两组互相垂直的平行线分割成若干个矩形与单曲边梯形之和．适当选择直角坐标系，将单曲边梯形的一直腰放在x 轴上，两底边为x =a ，x =b ，设曲边的方程设为y =f (x )．先设f (x )在[a ，b ]上连续，且f (x )≥ 0，如图所示．以A 记图示曲边 梯形的面积．用区间[a ，b ]为宽，高为f (ξ)(a <ξ<b )的矩形面积来作为A 的近似值．(1)分割 任取一组分点a=x 0<x 1<x 2<...<x i －1<x i <...<x n －1<x n =b 将区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=[x 0，x 1]⋃[x 1，x 2]⋃...⋃[x i －1，x i ]⋃...⋃[x n －1，x n ]，第i 个小区间的长度为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．过各分点作x 轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n 个小曲边梯形(图5－2(2))，第i 个小曲边梯形的面积为∆A i ．(2)小范围内以不变代变取近似 在每一个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，认为f (x )≈f (ξi )， (x i －1≤ξi ≤x i )，以这些小区间为底、f (ξi )为高的小矩形面积作为第i 个小曲边梯形面积的近似值∆A i ≈f (ξi )⋅∆x i ，(i =1，2，...，n )．(3)求和得近似 将n 个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值 A =i ni i ni i x f A ∆ξ∆∑∑==≈11)(． (1)(4)取极限达到精确 以||∆x ||表示所有小区间长度的最大者， ||∆x ||=max{∆x 1，∆x 2，...，∆x n }，当||∆x ||→0时，和式(1)的极限就是原曲边梯形的面积A ，即A =∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．曲边梯形中的曲线方程y =f (x )与面积的关系：以S (x )表示以[a ，x ]为底边的曲边梯形的面积，(a ≤x ≤b )，则所求面积A =S (b )=S (b )－S (a ) ．∆S =S (x+∆x )－S (x )表示以[x ，x +∆x ]积，不妨设f (x )<f (x +∆x )，∆x >0，则 f (x )⋅∆x <∆S <f (x +∆x )⋅∆x ，f (x )<xs ∆∆< f (x +∆x )； 因为f (x )在[x ，x+∆x ]连续，由介值定理，存在ξ∈[x ，x+∆x ]xs ∆∆= f (ξ)，∆S =f (ξ)⋅∆x ． 当∆x →0，ξ→x ，因为f (x )连续，f (ξ)→f (x )，所以 xsx ∆∆∆0lim→=S '(x )=f (x )．即f (x )恰好是面积函数S (x )关于x 的变化率．因此可见，已知曲边y =f (x )，求图5－2(1)那样的曲边梯形的面积A ，从分析角度讲，实际上给出了面积函数S (x )的变化率f (x )，求S (x )在[a ，b ]段的累积量S (b )－S (a )． 2 变速直线运动的路程设一物体沿一直线运动，已知速度v =v (t )是时间区间[t 0，T ]上t 的连续函数，且v (t )≥0，求这物体在这段时间内所经过的路程s ．(1)分割 任取分点t 0<t 1<t 2<...<t n －1<t n =T ，把时间区间[t 0，T ]分成n 个小区间 [t 0，T ]=[t 0，t 1]⋃[t 1，t 2]⋃...⋃[t i －1，t i ]⋃...⋃[t n －1，t n ]，记第i 个小区间[t i －1，t i ]的长度为∆t i =t i －t i －1，物体在第i 时间段内所过走的路程为∆S i ，(i =1，2，...，n )．(2)在小范围内以不变代变取近似 在小区间[t i －1，t i ]上认为运动是匀速的，用其中任一时刻τi 的速度v (τi )来近似代替变化的速度v (t )，即v (t )≈v (τi )，t ∈[t i －1，t i ]，得到∆S i 的近似值∆S i ≈v (τi )⋅∆t i ．(3)求和得近似 把n 段时间上的路程近似值相加，得到总路程的近似值s ≈∑=ni i i t v 1)(∆τ． (2)(4)取极限达到精确 当最大的小区间长度||∆t ||=max{∆t 1， ∆t 2，...， ∆t n }趋近于零时，和式(2)的极限就是路程s 的精确值，即 s =∑=→ni i i t t v 1||||)(lim∆τ∆．若s =s (t )，t 0≤t ≤T 表示路程函数，则v (t )=s '(t )，可见问题实质也是已知路程函数的变化率，求s (t )在时间段[t 0，T ]内的累积量s (T )－s (t 0)．二、定积分的定义定义 设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义且有界，任取一组分点a =x 0<x 1<x 2<...<x n =b ，把区间[a ，b ]分成n 个小区间[a ，b ]=Y ni i i x x 11],[=-，第i 个小区间长度记为∆x i =x i －x i －1，(i =1，2，...，n )．在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi ，(i =1，2，...，n )，作和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(，称此和式为f (x )在[a ，b ]上的积分和．记||∆x ||=ni ≤≤1max ∆x i ．如果当||∆x ||→0时，积分和的极限存在且相同，则称函数f (x )在区间[a ，b ]上可积，并称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(=∑=→ni i i x x f 1||||)(lim∆ξ∆．其中“ ⎰ ”称为积分号，[a ，b ]称为积分区间，积分号下方的a 称为积分下限，上方的b 称为积分上限，x 称为积分变量，f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为被积表达式．实例１ 由曲线y =f (x )、直线x =a ，x =b 和x 轴围成的曲边梯形面积为A =⎰ba dx x f )(；实例２ 以速度v (t )作变速直线运动的物体，从时刻t 0到T 通过的路程为s =⎰Ttdt t v 0)(．关于定积分的定义，作以下三点说明：(1)f (x )在[a ，b ]上可积，只是要求f(x)在[a ，b]上有界、当||∆x ||→0时和式i ni i x f ∆ξ∑=1)(存在极限，并未要求f (x )在[a ，b ]上连续．可以证明，若f (x )在积分区间上连续或仅有有限个第一类间断点，则f (x )在[a ，b ]上必定是可积的．(2)如果已知f (x )在[a ，b ]上可积，那么对[a ，b ]的任意分法及在ξi 在[x i －1，x i ]中任意取法，极限∑=→ni i i x x f 10||||)(lim∆ξ∆总存在且相同，因此若用定积分的定义求⎰ba dx x f )(时，为了简化计算，对[a ，b ]可采用特殊的分法以及ξi 的特殊取法．(3)定积分⎰ba dx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数f (x )、积分区间[a ，b ]有关，而与积分变量的选择无关，因此⎰ba dx x f )(=⎰ba dt t f )(=⎰ba du u f )(．三、定积分的几何意义在实例1中已经知道，当[a ，b ]上的连续函数f (x )≥0时， 定积分⎰ba dx x f )(表示由y =f (x )为曲边、x =a ，x =b 和x 轴界定的单曲边梯形的面积．现若改f (x )≥0为f (x )≤0，则－f (x )≥0，此时界定的单曲 边梯形的面积是 A =∑∑=→=→-=-ni i i x ni ii x x f x f 1||||1||||)(lim)]([lim∆ξ∆ξ∆∆ =－⎰ba dx x f )(．。
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
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人教性课质标A版选三修2、-2 定积分的性质
Learning English 专业辅导，专业品质
(1)
b
kf(x)dxk
b f(x)dx（k为常数）；
a
a
(2)
b
b
a[f1(x)f2(x)]dxa
b
f1(x)dxa
f2(x)dx；
(3) b f(x)dxc f(x)dx b f(x)dx(其中 acb).
复习：如何求曲边梯形的面积？ 1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
以直代曲
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
在区间
[i1, i ] nn
上的左端点和右
端点的函数值来计算有何区别
从小于曲边梯形的面积 从大于曲边梯形的面积
1.5.3定积分的概念
人教复课习标A版选修2-2
Learning English 专业辅导，专业品质
从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程 的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分 割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都 可以归结为求一个特定形式和的极限.
曲边梯形面积
S lx i0m i n1f(i) xln im i n11 nf(i)
0
0
人教课标A二版选、修定2-积2 分的几何意义
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如果在区间 [a， b ]上函数 f（ x）
y
连续且恒有 f（ x） 0，那么定
f(b)
积分 b f（ x） dx 表示由直线 a
f(a)
x a， x b（ a b）， y 0和
s
曲线 y f（ x）所围成的曲边梯
a x0 x1 xi1 xi xn b
将区[a间 ，b]等分n成 个小区间，在每 间[x个 i1，小 xi] 区
上任取一 （ i i点 1， 2， ，n），作和式
n
i1
n
f（i）x
i1
ba n
f（i） ，
当n时，上述和式某 无个 限常 接数 近，这个
叫做函 f（x数 ）在区 [a， 间 b]上的定.积分
a： 积 分 下 限b： 积 分 上 限
[a， b]： 积 分 区 间函 数 （ f x） ： 被 积 函 数
x叫 做 积 分 变 量 . f(x)dx叫 做 被 积 式 .
曲 边 梯 形 的 面 积 S 1（ fx ） d x1 x 2 d x 1
0
0
3
汽 车 行 驶 的 路 程 S 1 v （ t ） d t 1 ( t2 2 ) d t 5
y Ａ
y=f１(x)
Ｂ
Ｄ
Ｃ
y=f２(x)
oa
b
x
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人教例课题标A版选修2-2
Learning English 专业辅导，专业品质
例 1 : 利 用 定 积 分 的 定 义 ， 计 算 1 x 3 d x 的 值 . 0 解 ： 令 fxx3
变速直线运动路程
S lt i0m i n1v(i)tln im i n11 nv(i)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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人教概课念标A版选修一2-2、定积分的概念L专e业arn辅in导g E，ng专li业sh品质
一般地，如果函数 f（x）在区间[a，b]上连续，用分点
0
0
3
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正确理解定积分的概念
ab（ f x） dxlni m i n1b na（ f i） .
(1)定 积 分 是 一 个 数 值 (极 限 值 ),它 的 值 仅 仅 取 决 于 被 积 函 数 与
积 分 的 上 ､下 限 ,而 与 积 分 变 量 用 什 么 字 母 表 示 无 关 ,即
记 a bf（ 作 x ） d， xa bf（ 即 x ） d x l n ii n m 1b n af（ i）
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人教说课明标A版选定修积2-2分的概念的说明L专e业arn辅in导g E，ng专li业sh品质
b f（x）dx a
（2）近似代替，作和
取ξi
=i (i n
=1,2,L,n)，
01x3dxSn= n i=1
f
ni x=i=n1ni 31n=n14
n
i3
i=1
=n14 41n2n+12 =411+n 12
（3）取极限
01x3dx=lni m Sn=lni m 4 11+n 12=4 1
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来无限逼近
来无限逼近
复习
1、 分割 将区间等分成 n 个小区间
i-1 1
2、 以直代曲 对于区间 n , n 上小曲边梯形，
i-1
1
以f n 为长， x= n 为宽小矩形面积近似代
小曲边梯形面积
i-1
3、 作和 S= s1+ s2++ sn=sif n • x
4、取极限 n +,
i-1 f n • xS
bf(x)dxbf(u)dubf(t)dt (称 为 积 分 形 式 的 不 变 性 );
a
a
a
( 2 ) 定 积 分 a bf(x )d (x )与 积 分 区 间 a ,b 息 息 相 关 ,不 同 的 积 分 区 间 ,
所 得 的 积 分 值 也 就 不 同 ,例 如 1 (x 2 1 )d x 与 3 (x 2 1 )d x 的 值 就 不 同 .
(1)分割
在区间[0,1]上等间割地插入n-1个分点，把区间
[0,1]等分成n个小区间 in-1,ni（i=1,2,L,n）每个小区 间的长度为 Δx= i - i -1= 1
nn n
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人教课标A版选修2-2
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oa
形（图中阴影部分）的 面积 .
y=f(x)
bx
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人教探课究标A版选课修2本-2P46
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探究
b
b
S a
f1(x)dxa
f2(x)dx
根据定积分的几何 意义，你能用定积 分表示图中阴影部 分的面积吗？