函数求极限方法汇总

函数求极限方法汇总

1、运用洛必达法则； 例1

()()()0sin cos lim cos sin -1lim tan sec lim 0lim 1

lim 1ln lim ln lim 3sin cos 233sin cos 2lim 31cos 3cos lim 313cos 3cos 1

lim 3sec 3sec lim 3tan tan lim cos cos lim sin sin lim 61lim 3cos 1lim sin lim 22

2

10002

22222222220032

1

0203022=--==-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-==-=⨯-========-=-→

→→→-→→→→→→

→→→→→→→x x

x x x x n x nx x x x x x x x x x x x x x x x x x b

a x

b x a bx ax x x x x x x x x n o

x n x n

x n x x x x x x x x x x x x x ππππππππ例1，2为00式3为

∞

∞

4为∞⋅05为∞⋅∞式如遇到此n 种形式都将要转换为0

或∞

∞型解决此类题型也常与等价无穷小代换一起用，中间能把极限条件计算出来的要计算出来，注意；代换与计算是用在两式相乘时。如6

===-=-=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x tan lim 316tan sec 2lim 31sec lim tan lim sin tan lim 020********

1 此例中把secx 当0x →时计算

2，等价无穷小代换法（要求能记住常用的代换式以及推广式）

2

22

sin 21202

sin

2

3-2

16336_21222

22

22

2

2200220020

2

22101

000})2sin 2(1lim )

(cos lim 2)631(lim )6x 3lim )1

1(lim 21

21

212sin lim

12sin lim 01

11

lim 12lim 1

2sin .lim 22sin lim 22sin lim 02lim )

0(2

sin 2lim 1

sin lim 1sin lim ,3)1(log )1ln(ln 112

1cos 1tan sin 0x 1)tan 1tan 1(2lim )1()tan 1tan 1(tan 2lim 1

tan 1tan 1lim

,4)

21(lim )21(lim ,35252lim 5sin 2sin lim ,21))11(1(lim )11(lim 11lim 0x )1

1(lim 122

6(2)

1(3lim ---→→-⨯+-⨯+∞→-∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→→∆→→→→⨯→→→→-∞→--∞

→∞→→=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-+-===+-+=++=+=⋅+⋅++=+=+=++==⋅⇒=≠=∆⇒=+→→+→-⇒⇔-⇔

-⇔⇔→=-++=--++=---+=+=+====+=+=⎪⎭⎫

⎝⎛--∞→→-=-+--→∞

x

x x

x x x x x x x x x x x x x x n

n n n n n n x a x x x x x x

x x

x x x t

t t t x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x

x x x

x x n x x x x x x

x

x

x x x x x x a x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x x t

t x t x t x x x x x ，（例；第二，解；例求极限解；例求极限第一，运用两个重要极限法；

时成立常见等价代换，强调于是时则当令，）

[]

[][]

01

sin lim 01

sin lim 0

,64

532lim ,03245lim 045lim 4532lim ,50

1)(lim 1)((1lim )

(lim 1

1-(sin 1lim )1(sin 1lim sin lim lim )(lim 1

lim sin lim 1

lim lim )(lim 4220021212

1211

)()

()

(cos 1sin lim

cos 1

sin 1sin 12

cos 12

cos 12

)(1)(ln lim

)(ln )()(0sin sin cos lim cos sin ln lim

sin ln cos 1

2

cos 12

cos sin lim

sin cos 1lim sin 1ln lim

ln sin lim ln sin 0

sin 0

)(2

2

2

30200

==∞=+--=-+-=+-+--=--+===+=-+=============→→→→→→→-→→--⋅

-→

→

→

→→-→

→

→→→→→→→

→→→→x x x

x x x x x x x x x x x x x u x u x u e

x x x

e

e x u e e

e

e

x

e

x x x u x x x x x x a

x x v x v a

x x v a

x x x x

x x x x

x x

x x v x u x u x v a

x x v a

x x

x x x

x x

x x

x x x x x

x

x x

x x

x x x x x x x v a

x x a

x x x x x x x 例乘等于无穷小量与有界函数相故

法则，但因不能运用商的极限运算分母的极限例；倒数求极限

此种方法要求此处理方法可以写成；）

例间可能要用

进而运用洛必达法则此的极限可转化成解析由题可得形如例，一，例的处理方法有两种’

，常见的题型

π

π

ππ

ππ

ππ

∞=+-+-=-+-=+---=+---→∞→∞→∞→2

222

32

3

2232

1

235

12lim 1_2352lim 05

121

11lim 52123lim 1x

x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x 有理分式求极限

求不定积分的方法与技巧汇总