三角函数基本知识总结

三角函数基本知识总结

一、基本概念、定义;

1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角 。

①终边相同的角：（用集合表示终边在下列范围内的角）

x 轴上 ，y 轴上 ，这两种角被称为称为： 。 第一象限 ，第二象限 ，

第三象限 ，第四象限 ，称为： 。 直线y ＝x 上 ，

直线y =上 。 ②区间角：将角{}

1203012060,k k k Z αα+<<+∈在坐标系①中表示出来，并在坐标系中作好必要的标记。

把坐标系②中终边在阴影部分的角用集合表示出来是 。 2. 弧度制：把 叫1弧度的角。 公式：|α|＝ ；

换算：

180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度； 扇形：弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ . 3. 任意角的三角函数：

①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。过点A(1,0)作 ，交 于点T ，

o

x

y ①

②

x -

则 。作出角13

4

π

α=-

③同角三角函数关系式： 平方关系（3个）：

商数关系（2个）：

倒数关系（3个）：

④诱导公式：

二、基本三角公式（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明）;

1．和、差角公式：

=±)sin(βα =±)cos(βα

=±)tan(βα

2．二倍角公式：

=α2sin ，=α2cos ＝ ＝ ，

=α2tan

倍角公式变形：降幂公式（升幂公式）：

=ααcos sin =α2sin =α2cos

2(sin cos )αα±=

3．半角公式：

2cos 12sin

αα-±=, 2cos 12cos αα+±=, αα

αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 4．积化和差公式：

)]sin()[sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；

)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-=．

5．和差化积公式：

2

cos 2sin

2sin sin β

αβαβα-+=+； 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-； 2

cos 2cos 2cos cos β

αβαβα-+=+； 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-．

三、应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明;

1、基本技巧：

①1的妙用：1＝ ＝ ＝ ＝ ②凑角：()()x y x y ++-= ()()x y x y +--=

α＝ ＝ ＝ 等等。

③化异为同：a 、 b 、 c 、 ④化一：sin cos a x b x += ＝ 其中：

⑤联系：要注意tan ,tan αβ是二次方程2

0ax bx c ++=的两根的应用。

例如：设,2

2

π

π

αβ-

<<

， tan ,tan αβ是方程2

40x -+=的两根，求αβ+。

2、化简的标准：

3、用诱导公式化简求值的原则：

四、三角函数的性质；

1、三角函数的性质表：

2、有关三角函数的最值的类型：①.sin cos y a x b x =+型；②.sin sin y a x b x c =++型；

③.sin cos a x c y b x d

+=

+型；④.22

sin sin cos cos y a x b x x c x =++型；⑤.sin cos y x x =型；

⑥.关于sin ,cos x x 的齐次式型；

第⑥种类型的解决思路：a 、运用公式2

(sin cos)1sin 2x x ±=±；b 、构造对偶式； 例：求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值；

五、sin()y A x ωϕ=+的图像和性质；

1、作图：五点法，依次取x ωϕ+＝

2、周期：T ＝

3、单调区间：

0A ω>时，增区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤

减区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤

0A ω<时，增区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤

减区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤

4、最大值：0A >时，当x ωϕ+＝ 时，y 取最大值A 。 最小值：0A <时，当x ωϕ+＝ 时，y 取最小值A -。

5、对称轴：解等式x ωϕ+＝

6、对称中心：解等式x ωϕ+＝

7、奇偶性：当ϕ＝ 时，y 是奇函数；当ϕ＝ 时，y 是偶函数； 8、 概念：当x R +

∈时，振幅 ；周期T ＝ ；频率f ＝ ；初相 ；相位 。 9、根据图像求函数的解析式：①第一零点：

②第一零点的选择原则：

例如：①如图是函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>的图像，求解析式；

②如图是函数cos()(0)y A x A ωϕ=+>的图像，求解析式； 10、三角变换： (0,0A ω>>)

将sin y x =的图像——————————>sin()y x ϕ=+——————————>sin()y x ωϕ=+————————————>sin()y A x ωϕ=+；

或者：将sin y x =的图像————————>sin()y x ω=————————>sin()y x ωϕ=+——————————>sin()y A x ωϕ=+；

原则：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对 进行变换；

11、联系：1、对于cos()y A x ωϕ=+，其性质同样可以由图像类似的给出。

2、tan()y x ωϕ=+的周期是T ＝ ，单调 区间是解不等式 得到 。 12、典型例题：

已知2

2

sin sin cos 2cos ()y x x x x x R =++∈，求解下列各题： ①、若已知tan 3x =，试求y 的值；

y

o

12

π

1112π

-

3