圆的面积奥数

圆的面积

圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法及技巧．

请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度．

经典题再现

如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB=20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14）

解：由圆的周长可求圆的半径：75.36=2×3.14×r，r=12．

即OC=12．

由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高．

98.28=(12+20.76)×高÷2，高=6．

阴影的面积=12×6÷2=12×3=36（平方分米）．

典型例题

【例1】长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？

解：

22

6 3.144 3.14

64

44

⎛⎫

⨯⨯

-⨯-

⎪

⎝⎭

=16.82（平方厘米）

答：影阴部分的面积是16.82平方厘米．

【例2】如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为

14.13⨯2÷3.14 = 9，故半径为3厘米，直径为6厘米．

又因为s 2的面积为19.625平方厘米，所以S 2的半径的平方为19.625÷3.14 = 6.25（平方厘米），所以它的半径为2.5厘米，直径为5厘米，所以阴影部分面积为（6 - 5）⨯5 = 5（平方厘米）．

答：阴影部分的面积是5平方厘米．

【例3】 如图，A 及B 是两个圆（只有14）的圆心，那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米?

解：观察上图可以发现大14

圆的面积减去长方形的面积（包括小阴影和大空白两部分）再减去小14

圆的面积．就是两个影阴部分的面积差． 即

22113.14424 3.14244

⨯⨯-⨯-⨯⨯= 1.42（平方厘米） 答：两个阴影部分的面积相差1.42平方厘米．

【例4】 如图，圆的直径AB 是4cm 的面积是7cm 2，∠ABC 等于30°，求阴影部分面积．

解：这个题许多同学将ABC 看成是圆心角为30°的扇形．这是错误的，因为AB 是直径，BC 不是，AB ，BC 不一样长，所以，ABC 不是扇形．

如下图，找到圆心O，连CO，AOC才是扇形．先要求这个扇形的圆心角，就可以求出它的面积．然后再求三角形COB的面积，用ABCD 的面积减去，就是阴影面积．

阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积，再减去△BOC 的面积．

扇形的圆心角=180°-（180°-30°×2）=60°．

扇形的面积=2×2×3.14×60÷360=2.09（平方厘米）．

△BOC的面积=7÷2÷2=1.75（平方厘米）．

阴影部分的面积=7–2.09 1.75=3.16．

答：阴影部分的面积是3.16平方厘米．

【例5】下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形．

所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积．

2×4=8（平方厘米）

答：影阴部分的面积是8平方厘米．

【例6】如图所示，这是一个正六边形，它的面积为1040平方厘米．空白部分是半径为10cm的6个小扇形．求阴影部分的面积．

解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积．正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积．

我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆，6个小扇形可以拼成2个小圆形．阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积．

6个扇形的面积为3.14×102×2=628（平方厘米），

阴影部分的面积：1040-628=412（平方厘米）．

答：阴影部分的面积为412平方厘米．

难题详解

如下图所示，在4×7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?

解：矩形纸板共28个小正方形．其中弧线是1

圆周．非阴影部分共6

4

个，也共6个．可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28-6-3=19个小方

．

格．所以，阴影面积占纸板面积的19

28

．

答：阴影面积占纸板面积的19

28

同步练习

1．如下图，ABCD为正方形，且F A=AD=DE=2厘米，求阴影部分的面积？

2．有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？

3．已知图中各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分面积．

4．已知每个圆的直径为6厘米，求阴影部分的面积．

5．图中正方形ABCD的边长是20厘米，求阴影部分面积．

6．如图，已知每个小正方形的面积为1平方厘米，求阴影部分面积．（注：所用分点均理解为所在边中点）．

7．如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求A，B，C三部分面积之比．

8．如图，O为圆心，C为扇形ACB的圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分面积．