第5章 运输问题与指派问题
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非基变量所对应的 价格系数
基变量所对应 的价格系数
ij
cij (ui v j )
行位势 列位势
OR课件
TP & AP
产地 A
1 2 3
销 地
-4
B 2 1 8 3
6
1
B
3 -1
2
B
5 3 2
3
B
4 3
4
产 量
4 2
ui
0 -5 -5
9 3 4 8
9
10 4 2 4
7
7 2 5 6
（3） 特殊指派问题的求解
OR课件
TP & AP
导 学
重 点 与 难 点 -----
重点
运输与指派问题模型及其特征 算法原理 特殊问题的处理
难点
两算法的思想及其实现
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OR课件
TP & AP
导 学
本 章 要 求 -----
运输问题和指派问题是一种 特殊的LP问题，要求了解两问题 的基本特征；掌握两问题的求解
i 1 j 1 n ij
n
n
x
ij
1 i j 0 否则
x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
OR课件
（2）匈牙利算法 §5 指 派 问 题
算法的提出：观测模型的特征
OR课件
TP & AP
产地 A
销 地
1 2 3
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 4
产 量 9 5 7
15 21
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
A A
销 量
产地 A
1
销 地
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 4
B 0 0 0 6
虚
产 量 9 5 7
第5章
千 里 之 外
Transportation Problem—IP & Assignment Problem—AP
OR课件
TP & AP
导 学
主 要 内 容 -----
运输问题
§1 运输问题及其数学模型
§2 求解方法－－表上作业法 §3 特殊运输问题的求解
§5 指派问题
（1） 指派问题及其数学模型 （2） 求解方法－－匈牙利法
ij
cij xij i x ij xij j i j i i j j cij xij i 0
i j i j j
当不同行不同列的bij=0 时，xij＝1；否则，xij＝0
§5 指 派 问 题
[cij]n×n
不同行（列）减去最小元素
[ bij]n×n
有相同的最优指派
？
OR课件
TP & AP
设：i，j 分别是系数矩阵[cij] 行和列减 去的最小元素。则 bij=cij- i - j
§5 指 派 问 题
b x c x
i j ij ij i j ij i j
A 2 A 3 销 量
OR课件
产地 A
1 2 3
TP & AP
销 地
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 14
产 9 5 7
25
量
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
A A 销
量
21
产地 A A A
1 2 3
销 地
B 2 1 8 0 3
1
B 9 3 4 0 8
2
B 10 4 2 0 4
令
u1 = 0
u 0 v 9 v 7 u 5 u 5 v 6 v 7
1 2 4 2 3 1 3
OR课件
TP & AP
闭回路法
?
?
§2 表 上 作 业 法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回
路上采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回
路以外xij不变。
产地 A A A
1 2 3
OR课件
导 学
回 顾 -----
到目前为止，针对规划问题所建立的算 法有一个共同的特征：
从约束条件入手
但是： 在决策的实践中，有些问题约束条件存 在一定的特殊性，按常规办法有可能出 现严重退化而导致问题无法顺利求解。 如：运输问题、指派问题等。
OR课件
运 筹 帷 幄 之 中
决 胜
运输问题与指派问题
1 2 3
2 3
4 1
11
3 10 2 4
7 16 2 50 3 5 6
7
8 3
2
3 5 4 3 8
9
2 4
7
销 量
产地 A A A
vj
1 2 3
销 地
B
1
B
1 9
2
B
3
B
4
4
产 量 9 5 7
ui 0 -5 -4
2 3
4 1
10
4 10 3
7 6 2 0 2 5 6
7
方法：闭回路法、位势法
检验数ij0 ?
N
Y
最优解
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
OR课件
TP & AP
折现闭回路：
§2 表 上 作 业 法
产地 A1 A2 A3
销 地
B1 X 11 X 21 X 31
B2 X 12 X 22 X 32
B3 X 13 X 23 X 33
B4 X 14 X 24 X 34
8 3
2
3 5 4 3 8
8
4 2 4
6
销 量
S=83
OR课件
TP & AP
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
目标取极大（MaxZ）：
用ij 0 进行最优性检验。
供过于求（产>销）：
加虚销点，且Ci虚＝0 ，销量为产销之差 【例】
供不应求（销>产）：
加虚产点，且C虚j = 0 ，产量为销产之差 【例】
7
9 5 7
§2 表 上 作 业 法
A A
vj
7
3
销 量
u1 v2 c12 9 u1 v4 c14 7 u 2 v1 c21 1 u 2 v4 c24 2 4 u 3 v2 c32 u 3 v3 c33 2
（1）数学模型 §5 指 派 问 题
【例】现有4辆装载不同货物的待卸车，派班员要 分派给4个装卸班组，每个班组卸一辆车。由于各 个班组的技术专长不同，各个班组卸不同车辆所需 时间（小时）如下表。问派班员应如何分配卸车任 务，才能使卸车所花的总时间最少？
装卸组 待卸车
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
A B C D
c
ij
OR课件
装卸组 待卸车
TP & AP
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
§5 指 派 问 题
A B C D
bj
ai 1 1
1
1
1
1
1
1
解：引入0－1变量xij， 并令:
Z
min
cij xij
?
B 9
2
销 地
-4
B 2 1 8 3
1
3
3
-1
B
5 3 1
3
B
4
产 量
41
10 4 2 4
7
3
9 5 7
7
3 4 8
4
3
2 5 6
25
销 量
OR课件
TP & AP
产地
销 地
B
1
B 9
-1
2
B
5
3
B
4
4
产 量 9 5 7
ui 0 -5 -5
§2 表 上 作 业 法
A A A
vj
… … … … … …
Bn C1n C2n … c mn bn
产量 a1 a2 … am
A1 A2 …. Am. 销量
单位运价
产销量（平衡）
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
模型
设：xij为AiBj的运量
MinS
c x
i 1 j 1 ij
m
n
ij
n x ij a i , i 1, 2 , , m j 1 m x ij b j , j 1, 2 , , n i 1 m n x ij 0 ( a i b j ) i 1 j 1
OR课件
TP & AP
§2 表 上 作 业 法
算法的提出：观测模型的特征 【简例】已知有关资料如下表
产地 销 地
A1 A2 销 量
B1 1 4 10
B2 2 5 25
B3 3 6 15
产 量 20 30
要求建立总运费最小的模型。
OR课件
TP & AP
§2 表 上 作 业 法
x 2 x 3x 4 x 5 x 6 x x x x 20 x x x 30 x x 10 约束条件个数为 x x 25 m+n，但只有m+n-1 x 15 x 个是线性无关 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n x
3
产 量 9 5 7 4
A 虚 销 量
OR课件
TP & AP
问题的提出
§5 指 派 问 题
设有n个人，需要分派他们去做n件 工作。要求一个人做一件事，一件事只
能由一个人完成；由于每人的专长不同，
各人做任一种工作的效率可能不同，因
而创造的价值也不同。问如何安排，才
能使创造的总价值最大？
OR课件
TP & AP
7
3
9 5 7
2
4
7
4 8
3
2 5 6
2
销 量
OR课件
TP & AP
位势法
§2 表 上 作 业 法
基本原理：由于找闭回路带来的麻烦，根
据对偶理论，设两组变量（对偶变量）ui和vj，
及基变量的检验数等于0，建立一组参数方程：
u v c
i j
ij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
11 12 13 21 22 23 11 12 13 21 22 23 11 12 13 ij 21 22 33
模型
MinS
1 0 A 1 0 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
元素只有0和1， 每列只有两个1
1
B 9 3 4 8
3
2
B
5
3
B 7 2 5 6
4
4
产 量
4 2
10 4 2 4
9 5 7
3
销 量
Z=1×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×4＋2×2＝100
OR课件
TP & AP
差值法[伏格尔（Vogel) 法]
基本思想：在考虑最大差值的基础上，就近供应
§2 表 上 作 业 法
OR课件
TP & AP
算法思想
§2 表 上 作 业 法
与单纯形法一样，最优解在基本可
行解中产生。但基于模型的特征，初始
基本可行解是通过分析单位运价表，首
先满足局部最优，然后通过调整（迭代） 使整体达到最优。
平衡表
OR课件
TP & AP
算法步骤及要点
§2 表 上 作 业 法
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个 数为 m+n-1；以解变量为顶点 不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
Z
min
TP & AP
cij xij
i 1 j 1 n ij
n
n
x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
特殊的运输问题
OR课件
TP & AP
算法原理
OR课件
TP & AP
闭回路法
§2 表 上 作 业 法
基本原理：以任一非基变量为顶点，其它顶 点为基变量，所构成的闭回路是唯一的。
产地 A A A
1 2 3
ij
奇数顶点
c－ c
ij 偶数顶点
ij
销 地
－4
B 2 1 8 3
1
B
3
2
B
5 3
3
B
4
产 量
4
9
－1 3
10 4 2 4
顶点: x11,x12,x32,x31 顶点：x12,x13,x33,x34,x24,x22
定理：以m+n-1个变量构成的基本可行解的 充要条件是它不含折现闭回路。
OR课件
TP & AP
最小元素法
§2 表 上 作 业 法
基本思想：“就近供应”或称“就廉 供应”
产地 A A A
1 2 3
销 地
B 2 1 8 3
差值（行、列）＝次小元素－最小元素
产地 A1 A2 A3 销 量 列差值
销 地
B1 2
3
B2 9 5 3 4 8 1 5
3
B3 10 4 2 4 4 2
8
B4 7 1 2 5 5 6 3
2
产 量 9 5 7
行差值 5 1 2
1 2
1 8 3 1
Z=2×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×1＋2×5＝88
单位运价：Ai Bj：cij
a b
i 1 i j 1
m
n
j
问：如何调运这种物资才能使总的运费最小？
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
单位运价表与平衡表（合表）
产地 销地
B1 C11 C21 … c m1 b1
B2 C12 C21 … c m2 b2
算法原理及计算过程；学会对它
们的特殊形式的处理。
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
设某种物资有
m个产地：A1,A2,…,Am；
产量分别为：a1,a2,…,am个单位； n个销地：B1,B2,…,Bn； 销量分别为：b1,b2,…,bn个单位； 假设产销总量是平衡的，即
基变量所对应 的价格系数
ij
cij (ui v j )
行位势 列位势
OR课件
TP & AP
产地 A
1 2 3
销 地
-4
B 2 1 8 3
6
1
B
3 -1
2
B
5 3 2
3
B
4 3
4
产 量
4 2
ui
0 -5 -5
9 3 4 8
9
10 4 2 4
7
7 2 5 6
（3） 特殊指派问题的求解
OR课件
TP & AP
导 学
重 点 与 难 点 -----
重点
运输与指派问题模型及其特征 算法原理 特殊问题的处理
难点
两算法的思想及其实现
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OR课件
TP & AP
导 学
本 章 要 求 -----
运输问题和指派问题是一种 特殊的LP问题，要求了解两问题 的基本特征；掌握两问题的求解
i 1 j 1 n ij
n
n
x
ij
1 i j 0 否则
x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
OR课件
（2）匈牙利算法 §5 指 派 问 题
算法的提出：观测模型的特征
OR课件
TP & AP
产地 A
销 地
1 2 3
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 4
产 量 9 5 7
15 21
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
A A
销 量
产地 A
1
销 地
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 4
B 0 0 0 6
虚
产 量 9 5 7
第5章
千 里 之 外
Transportation Problem—IP & Assignment Problem—AP
OR课件
TP & AP
导 学
主 要 内 容 -----
运输问题
§1 运输问题及其数学模型
§2 求解方法－－表上作业法 §3 特殊运输问题的求解
§5 指派问题
（1） 指派问题及其数学模型 （2） 求解方法－－匈牙利法
ij
cij xij i x ij xij j i j i i j j cij xij i 0
i j i j j
当不同行不同列的bij=0 时，xij＝1；否则，xij＝0
§5 指 派 问 题
[cij]n×n
不同行（列）减去最小元素
[ bij]n×n
有相同的最优指派
？
OR课件
TP & AP
设：i，j 分别是系数矩阵[cij] 行和列减 去的最小元素。则 bij=cij- i - j
§5 指 派 问 题
b x c x
i j ij ij i j ij i j
A 2 A 3 销 量
OR课件
产地 A
1 2 3
TP & AP
销 地
B 2 1 8 3
1
B 9 3 4 8
2
B 3 10 4 2 14
产 9 5 7
25
量
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
A A 销
量
21
产地 A A A
1 2 3
销 地
B 2 1 8 0 3
1
B 9 3 4 0 8
2
B 10 4 2 0 4
令
u1 = 0
u 0 v 9 v 7 u 5 u 5 v 6 v 7
1 2 4 2 3 1 3
OR课件
TP & AP
闭回路法
?
?
§2 表 上 作 业 法
基本思想：确定换入、换出变量。在闭回
路上采用“奇加偶减”调整运量xij，闭回
路以外xij不变。
产地 A A A
1 2 3
OR课件
导 学
回 顾 -----
到目前为止，针对规划问题所建立的算 法有一个共同的特征：
从约束条件入手
但是： 在决策的实践中，有些问题约束条件存 在一定的特殊性，按常规办法有可能出 现严重退化而导致问题无法顺利求解。 如：运输问题、指派问题等。
OR课件
运 筹 帷 幄 之 中
决 胜
运输问题与指派问题
1 2 3
2 3
4 1
11
3 10 2 4
7 16 2 50 3 5 6
7
8 3
2
3 5 4 3 8
9
2 4
7
销 量
产地 A A A
vj
1 2 3
销 地
B
1
B
1 9
2
B
3
B
4
4
产 量 9 5 7
ui 0 -5 -4
2 3
4 1
10
4 10 3
7 6 2 0 2 5 6
7
方法：闭回路法、位势法
检验数ij0 ?
N
Y
最优解
调整：找到新的调运方案
方法：闭回路法
OR课件
TP & AP
折现闭回路：
§2 表 上 作 业 法
产地 A1 A2 A3
销 地
B1 X 11 X 21 X 31
B2 X 12 X 22 X 32
B3 X 13 X 23 X 33
B4 X 14 X 24 X 34
8 3
2
3 5 4 3 8
8
4 2 4
6
销 量
S=83
OR课件
TP & AP
§3 特 殊 TP 及 其 求 解
目标取极大（MaxZ）：
用ij 0 进行最优性检验。
供过于求（产>销）：
加虚销点，且Ci虚＝0 ，销量为产销之差 【例】
供不应求（销>产）：
加虚产点，且C虚j = 0 ，产量为销产之差 【例】
7
9 5 7
§2 表 上 作 业 法
A A
vj
7
3
销 量
u1 v2 c12 9 u1 v4 c14 7 u 2 v1 c21 1 u 2 v4 c24 2 4 u 3 v2 c32 u 3 v3 c33 2
（1）数学模型 §5 指 派 问 题
【例】现有4辆装载不同货物的待卸车，派班员要 分派给4个装卸班组，每个班组卸一辆车。由于各 个班组的技术专长不同，各个班组卸不同车辆所需 时间（小时）如下表。问派班员应如何分配卸车任 务，才能使卸车所花的总时间最少？
装卸组 待卸车
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
A B C D
c
ij
OR课件
装卸组 待卸车
TP & AP
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
§5 指 派 问 题
A B C D
bj
ai 1 1
1
1
1
1
1
1
解：引入0－1变量xij， 并令:
Z
min
cij xij
?
B 9
2
销 地
-4
B 2 1 8 3
1
3
3
-1
B
5 3 1
3
B
4
产 量
41
10 4 2 4
7
3
9 5 7
7
3 4 8
4
3
2 5 6
25
销 量
OR课件
TP & AP
产地
销 地
B
1
B 9
-1
2
B
5
3
B
4
4
产 量 9 5 7
ui 0 -5 -5
§2 表 上 作 业 法
A A A
vj
… … … … … …
Bn C1n C2n … c mn bn
产量 a1 a2 … am
A1 A2 …. Am. 销量
单位运价
产销量（平衡）
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
模型
设：xij为AiBj的运量
MinS
c x
i 1 j 1 ij
m
n
ij
n x ij a i , i 1, 2 , , m j 1 m x ij b j , j 1, 2 , , n i 1 m n x ij 0 ( a i b j ) i 1 j 1
OR课件
TP & AP
§2 表 上 作 业 法
算法的提出：观测模型的特征 【简例】已知有关资料如下表
产地 销 地
A1 A2 销 量
B1 1 4 10
B2 2 5 25
B3 3 6 15
产 量 20 30
要求建立总运费最小的模型。
OR课件
TP & AP
§2 表 上 作 业 法
x 2 x 3x 4 x 5 x 6 x x x x 20 x x x 30 x x 10 约束条件个数为 x x 25 m+n，但只有m+n-1 x 15 x 个是线性无关 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n x
3
产 量 9 5 7 4
A 虚 销 量
OR课件
TP & AP
问题的提出
§5 指 派 问 题
设有n个人，需要分派他们去做n件 工作。要求一个人做一件事，一件事只
能由一个人完成；由于每人的专长不同，
各人做任一种工作的效率可能不同，因
而创造的价值也不同。问如何安排，才
能使创造的总价值最大？
OR课件
TP & AP
7
3
9 5 7
2
4
7
4 8
3
2 5 6
2
销 量
OR课件
TP & AP
位势法
§2 表 上 作 业 法
基本原理：由于找闭回路带来的麻烦，根
据对偶理论，设两组变量（对偶变量）ui和vj，
及基变量的检验数等于0，建立一组参数方程：
u v c
i j
ij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
11 12 13 21 22 23 11 12 13 21 22 23 11 12 13 ij 21 22 33
模型
MinS
1 0 A 1 0 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1
元素只有0和1， 每列只有两个1
1
B 9 3 4 8
3
2
B
5
3
B 7 2 5 6
4
4
产 量
4 2
10 4 2 4
9 5 7
3
销 量
Z=1×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×4＋2×2＝100
OR课件
TP & AP
差值法[伏格尔（Vogel) 法]
基本思想：在考虑最大差值的基础上，就近供应
§2 表 上 作 业 法
OR课件
TP & AP
算法思想
§2 表 上 作 业 法
与单纯形法一样，最优解在基本可
行解中产生。但基于模型的特征，初始
基本可行解是通过分析单位运价表，首
先满足局部最优，然后通过调整（迭代） 使整体达到最优。
平衡表
OR课件
TP & AP
算法步骤及要点
§2 表 上 作 业 法
初始调运方案
特征：解变量（基变量）个 数为 m+n-1；以解变量为顶点 不构成折现闭回路。 方法：最小元素法、差值法
Z
min
TP & AP
cij xij
i 1 j 1 n ij
n
n
x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
特殊的运输问题
OR课件
TP & AP
算法原理
OR课件
TP & AP
闭回路法
§2 表 上 作 业 法
基本原理：以任一非基变量为顶点，其它顶 点为基变量，所构成的闭回路是唯一的。
产地 A A A
1 2 3
ij
奇数顶点
c－ c
ij 偶数顶点
ij
销 地
－4
B 2 1 8 3
1
B
3
2
B
5 3
3
B
4
产 量
4
9
－1 3
10 4 2 4
顶点: x11,x12,x32,x31 顶点：x12,x13,x33,x34,x24,x22
定理：以m+n-1个变量构成的基本可行解的 充要条件是它不含折现闭回路。
OR课件
TP & AP
最小元素法
§2 表 上 作 业 法
基本思想：“就近供应”或称“就廉 供应”
产地 A A A
1 2 3
销 地
B 2 1 8 3
差值（行、列）＝次小元素－最小元素
产地 A1 A2 A3 销 量 列差值
销 地
B1 2
3
B2 9 5 3 4 8 1 5
3
B3 10 4 2 4 4 2
8
B4 7 1 2 5 5 6 3
2
产 量 9 5 7
行差值 5 1 2
1 2
1 8 3 1
Z=2×3＋9×5＋4×3＋2×4＋7×1＋2×5＝88
单位运价：Ai Bj：cij
a b
i 1 i j 1
m
n
j
问：如何调运这种物资才能使总的运费最小？
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
单位运价表与平衡表（合表）
产地 销地
B1 C11 C21 … c m1 b1
B2 C12 C21 … c m2 b2
算法原理及计算过程；学会对它
们的特殊形式的处理。
OR课件
TP & AP
§1 TP 问 题 及 其 数 学 模 型
设某种物资有
m个产地：A1,A2,…,Am；
产量分别为：a1,a2,…,am个单位； n个销地：B1,B2,…,Bn； 销量分别为：b1,b2,…,bn个单位； 假设产销总量是平衡的，即