浅谈中学数学中逆向思维方法的应用

浅谈中学数学中逆向思维方法的应用

————以定义、定理、公式的逆用为例

江苏省如皋市经济开发区城北中学 顾秀明

在数学解题中，通常是从已知到结论的方式，然而有些数学题，若总是按照这种思维方式则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解答，在这种情况下，只要我们多注意定义、定理、公式的逆用，往往可以使问题简化。经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。

一、定义的逆用

在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用容易被人们忽视，只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，就能使有些问题解答简捷。

例1 若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5，求x 的取值范围。

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-（4-x ）=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是： 1-x ≤0，且x-4≤0

∴x 的取值范围是：1≤x ≤4

例2、a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0，且1-ab 02

≠。则199322)1(a b ab ++的值是______. 分析：常见的方法是先解出a ，b 的值，然后再代入199322)1(a

b ab ++中求解，这样将十分麻烦，但如果我们逆用方程根的定义，把199322)1(a b ab ++化成199322)1(a

a b b ++，把a

1,2b 看成是一个方程的两个根，这样可以使此题的运算量减少，解答非常简捷。 解：∵a 2+2a-1=0，∴a 0≠.011·2)1(2=--a

a 又∵012)(22=--

b b 而1-ab 02≠.即21b a

≠ ∴2,1b a

是方程0122=--x x 的两个实数根。 ∴1·1,2122-==+b a

b a ∴199322)1(a b ab ++=199322)1(a

a b b ++=(2-1)1993=1 二、定理的逆用

对于定理而言，众所周知，不是所有的定理的逆命题都是正确的，但是，在教学中重视引导学生探讨定理的逆命题是否正确，不失是指导学生研究新问题的一个有效方法，它对于激发学生的学习兴趣和指导学生正确地运用逆定理解题，更具有重要意义。 例3、实数m ，n ，l 满足m-n=8，mn+l 2+16=0，求证：m+n+l=0

分析：若直接求出m ，n ，l 的值，运算量非常大而且很容易出错，如果运用韦达定理的逆定理就非常简单。

证明：由m-n=8得到m+（-n ）=8

由mn+l 2+16=0得m ·（-n ）=l 2+16

故以m ，-n 为根的一元二次方程应为x 2-8x+l 2+16=0①

∵m ，-n 为实数

∴△=（-8）2-4（l 2+16）≥0解得-4l 2≥0

∴l=0，代入①式得x 2-8x+16=0

即（x-4）2=0 因此m ，-n 为相等的实数，即m+n=0

∴m+n+l=0

例4、已知，在平行四边形ABCD 中的AD 和CD 边上取E 、F 两点，且有AF=CE ，AF 与CE 相交于O 点，连接OB 。求证：OB 平分∠AOC

分析：我们知道角平分线定理，角平分线上的点到这个角两边距离相等。这道题要证OB 平分∠AOC ，只要用角平分线定理的逆定理，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。所以只要证到OB 上有一点到∠AOC 两边的距离相等，那么问题就解决了。

证明：连结BF 、BE ，作BH ⊥AF ，

BG ⊥EC ，H ，G 为垂足

因△ABF 、△BCE 与平行四边形ABCD

具有同底同高的关系

∴S △ABF =2

1S 平行四边形ABCD S △BCE = 2

1S 平行四边形ABCD ∴S △ABF = S △BCE 即21AF ·BH=2

1CE ·BG 又∵AF=EC ，∴BH=BG

根据角平分线定理的逆定理知：B 在∠AOC 的平分线上

因而OB 平分∠AOC

三、公式的逆用

数学公式记忆非常重要，只从单一方面去记忆公式，不能使学生全面掌握和利用公式进行灵活有效的计算或证明，记忆了公式以后，应力求将关系式进行变式训练，通过顺用和逆用公式联系起来，从而使问题层层深入，思维不断变化，这样可以培养学生思维的敏捷性，使学生熟练掌握解题技巧，提高解题速度。

例5、已知方程0)1(2

122=+---m m x x ，当m 为何值时，方程两根βα,之差的绝对值最小？最小值是多少？

分析：有些同学拿到这道题目可能采用的方法是先把方程的两根βα,解出来，然后再进行解答，虽然这种方法可以解答出结果，但明显地增加了运算量，比较复杂。如果我们逆用了=2a ︱a ︱这一公式，就非常快速地解答出来。

解：∵0)1(222=+---m m x x

∴2=+βα βα·=-(12+-m m )

∵︱βα-︱=αββαβα4)()(22-+=- =4

7)21(2)1(4422+-=+--m m m ∴当m=2

1时，︱βα-︱有最小值7 例6、 若关于x 的不等式（a-1）x ＞a2-2的解集为x ＜2，求a 的值。

分析：根据不等式性质3，从反方向进行分析，得：

a-1＜0，且a2-2=2（a-1）

∴所求a 值为a=0.

综上所述，在中学数学中，根据题目的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的应用，往往可以减少运算量，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学能力具有相当重要的作用。