图像处理 第六章 几何运算

第六章几何运算

目录

1.引言

2.灰度级插值

3.空间变换

3.1 仿射变换

3.2 透视变换

4.几何校正

5.图象卷绕（Image Warping）

6.图象变形（Image Morphing）

作业

1.引言

几何运算与点运算不同，它可改变图象中物体（象素）之间的空间关系。这种运算可以看成将各象素在图象内移动的过程。其定义为：

g(x,y)=f(x',y')=f[a(x,y),b(x,y)] 其中，f(x,y)表示输入图象，g(x,y)表示输出图象，a(x,y)和b(x,y)表示空间变换，若它们是连续的，则将保持图象中的连通关系。

几何运算中灰度级插值是必不可少的组成部分，因为图象一般用整数位置处的象素来定义，而几何变换中，g(x,y)的灰度值一般由处在非整数坐标上的f(x,y)的值来确定，即g中的一个象素一般对应于f中的几个象素之间的位置。反过来看也是一样，即f中的一个象素往往被映射到g中的几个象素之间的位置。

实现几何运算有两种方法，其一为前向映射法，即：将输入象素的灰度一个个地转移到输出图象中，如果一个输入象素被映射到四个输出象素之间的位置，则其灰度值就按插值法在四个输出象素之间进行分配；其二为后向映射法（象素填充法），这时将输出象素逐个地映射回输入图象中，若输出象素被映射到四个输入象素之间的位置，则其灰度由它们的插值来确定。在实际中，通常采用后向映射法。

几何变换常用于摄象机的几何校正过程，这对于利用图象进行几何测量的工作是十分重要的。

仿射变换（Affine Transformation ）和图象卷绕（Image Warping ）是两类常见的几何运算。前者属于射影几何变换，多用于图象配准（Image Registration ）作为比较或匹配的预处理过程；后者用控制点及插值过程来定义，将一幅图象逐渐变化到另一幅图象的图象变形（Morphing ）过程是其典型的应用，多见于影视特技及广告的制作。

2.灰度级插值

最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。复杂一点的方法是双线性插值，如下图所示：

假设输出图象的宽度为W ，高度为H ，输入图象的宽度为w 高度为h ，要将输入图象的尺度拉伸或压缩变换至输出图象的尺度。按照线形插值的方法，将输入图象的宽度方向分为W 等份，高度方向分为H 等份，那么输出图象中任意一点（x ，y ）的灰度值就应该由输入图象中四点（a ，b ）、（a+1，b ）、（a ，b+1）和（a+1，b+1）的灰度值来确定（如图1.）。其中a 和b 的值分别为：

（x ，y ）点的灰度值f(x, y)应为：

H

y W x <≤<≤0,0⎥⎦⎥⎢⎣⎢

⨯

=W w x a ⎥⎦

⎥⎢⎣⎢

⨯

=H h y b

其中

此外，还有多种其它插值方法，如三次样条等。图象处理软件一般都提供若干种插值方法供用户自己选择。

3.空间变换

空间变换包括可用数学函数表达的简单变换（如：平移、拉伸等仿射变换）和依赖实际图象而不易用函数形式描述的复杂变换（如对存在几何畸变的摄象机所拍摄的图象进行校正，需要实际拍摄栅格图象，根据栅格的实际扭曲数据建立空间变换；再如通过指定图象中一些控制点的位移及插值方法来描述的空间变换）。

3.1 仿射变换（affine transformation ）

其中 A 是变形矩阵，b 是平移矢量。在2维空间，A 可以按如下的四个步骤分解：尺度、伸缩、扭曲、旋转 （1）尺度

（2）伸缩

（3）扭曲

（4）旋转

)

1,()(),()1(),(+-+-+=b x f b y b x f y b y x f )

,()1(),1()(),()1,()1()1,1()()1,(b a f x a b a f a x b x f b a f x a b a f a x b x f -+++-=+-++++-=+b

Ax x f +=)(0

,0

0≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=s s s A s ⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=st s

A A t A s t t 0

0,0

01

,0

,10

1

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=st stu s

A A A u A s t u u

即：

π

θθθθ

θθθ

20cos sin sin sin cos cos ≤≤⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''st stu s st stu s y x

图2 人脸图象和掩膜图象

3.2 透视变换(Perspective Transformation)

透视变换是中心投影的射影变换，在用非齐次射影坐标表达时是平面的分式线性

变换，具有如下的形式：

（参见：丘维生，解析几何，北京大学出版社，1996。）

透视变换常用于图象的校正，例如在移动机器人视觉导航研究中，由于摄象机与地面之间有一倾斜角，而不是直接垂直朝下（正投影），有时希望将图象校正成正投影的形式，就需要利用透视变换。

重投影变换的应用实例（透视变形的校正）

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+-=≤≤⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=θθθ

θθθ

πθθθ

θθθθcos sin sin sin cos cos ;20,cos sin sin cos st stu s st stu s A A A A A s t u 0''33

323123222113

121133

3231232221333231131211≠++++=

++++=

a a a a a a a a a a y a x a a y a x a y a y a x a a y a x a x 且