对称及三十二种对称型

☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。 具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
Li 1= C
Li1为旋转360º后反伸，因为图形旋转360º后复 原，也就是说等于不旋转而单纯反伸，所以 Li1=C。
• Li 2= P
Li2为旋转180º后反伸，如图， 点1围绕Li2旋转180º后，再凭供Li2上的 一点反伸与点2重合，但由图可见，凭籍 垂直于Li2（过中心）的对称面的反映，
即：自然界产出的所有晶体的对称总共只可能出现 32 个对称型，相应即可分为32个晶类。
（三）三十二种对称型及对称分类
晶族名称
低级晶族 （无高次轴）
晶系名称 三斜晶系
单斜晶系
斜方晶系 (正交晶系)
中级晶族
四方晶系
（只有一个高次轴）
三方晶系
六方晶系
高级晶族
等轴晶系
（有多个高次轴）
晶体常数特点
a≠b ≠ c ≠ ≠ ≠90° a≠b ≠ c = =90° ≠90° a≠b ≠ c === 90° a=b ≠ c === 90°
1．由于晶体内部都具有格子构造，而格子构造本身就是质点 在三维空间周期重复的体现。因此，所有晶体都是对称的。
2．晶体的对称受格子构造规律的限制，只有符合格子构造规 律的对称才能在晶体上体现。因此，晶体的对称是有限的。
3．晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上， 也就是该晶体的对称不仅包含几何意义，也包含物理意义。
显晶质体、隐晶质体、非晶质体
内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体为晶质体。 其中较粗的用肉眼或者放大镜可以看出晶粒来为显晶质。
细微的只有通过显微镜才能分辨称为隐晶质。 内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体没有规则
的几何多面体外形。为非晶质体。（蛋白石）
第三讲：晶体对称规律（一）
一、晶体宏观对称要素及对称操作
也同样可以使点1与点2重合。 因此，Li2=P。
Li3为旋转120º后反伸，经Li3的作用可以依次获得1、2、3、4、5、6共6个点， 而由点1开始通过L3的作用可获得点1、3、5，再通过C的作用又获得点2、4、6，
总共获得6个点，与由Li3所推导出来的完全相同，因此，Li3=L3C；
Li6为旋转60º后反伸，从点1开始，旋转60º反伸获得点2，依次类推，可获得点 1、2、3、4、5、6共6个点，若将Li6代之以L3p，由点1开始，经L3的作用可获 得点1、3、5，再经过垂直于L3的P作用又可获得点2、4、6，因此，Li6=L3P
以四方四面体模型为例，说明Li4。
关于倒转轴Lin与普通对称要素的关系： 能够在晶体中出现的Li1、Li2、Li3、Li4、Li6，除
Li4是一种完全独立的对称要素外，其余四种倒转轴都 可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其 关系如下：
Li1=C Li2=P Li3=L3C Li6=L3P（PL3） （注： Li6 在对称分类上具有独立意义。）
对称的图形必须由两个以上的相同部分组成，如两个眼 睛大小不一，形状不同，就不是对称。但是只具有相同的部 分还不一定是对称图形，如图（板书显示）是由两个全等的 三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的图形还必 须符合另一个条件，那就是这些相同的部分通过一定的操作 （如旋转、反映、反伸）可以发生重复。换句话说，也就是 相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形中恢 复原来的形象。
结论：在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必然是两两平行（不 管是反向或正向平行）而且相等的。晶体如有对称中心存在时，它必定 位于晶体的几何中心，对称中心用“C”表示。 2．对称面（P）：是一个假想的平面，相应的对称操作是对此平面的 反映。对称面将图形平分为互为镜象的两个相等部分。
镜像反映可理解为：如果垂直于对称面作任意直线时，则在此直线 上，位于对称面的两侧且距离对称面等距离的地方，必可找到性质完全 相同的对应点。
（PL3）。
（四）晶体对称定律 由上述对称轴我们可以看出：有没有L5及高于L6的对称
轴呢？答案是： 晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。 这就是晶体对称定律。图示证明如下：
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成： 一个结晶多面体中全部对称要素的组合称为 该结晶
多面体的对称型。 举例：3L44L36L29PC，将一个晶体模型上所有对称
（三）对称要素和对称操作 对称操作：欲使图形中相同部分重复，必须通过一定的 操作，这种操作称为对称操作。 对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素 （点——对称中心；线——对称轴；面——对称面）
称为对称要素。 晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下：
1．对称中心（C）：为一个假想的几何点，相应的对称操 作是对于这 个点的倒反（反伸）。
因此，对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和 更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审 美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。
（二）晶体对称的特点
生物的对称是为了适应生存的需要（不对称就是残疾）， 建筑物，用品器皿的对称是人为的，是为了美观和适用，晶体 外形的对称表现为相同的晶面，晶棱和角顶作有规律的重复。 晶体的对称取决于它内在的格子构造，具如下特点：
是围绕此直线的旋转。当图形绕此直线旋转一定角度后，可使相同部
分重复。旋转一周重复的次数称为轴次n，重复时所旋转的最小角度称
为基转角，两者关系为
n 360
对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，记为Ln ； 晶体外形上可能出现的对称轴有L1，L2，L3，L4，L6；
L1无实际意义。 轴次高于2的对称轴又称为高次轴（L3，L4，L6）。在 一个晶体中，可以有，也可以没有对称轴，而每一种对称 轴也可以有一个或多个，一般把对称轴的数目写在符号Ln 的前面，如3L4, 4L3。 在一个晶体中，对称轴可能出露的位置为： （1）晶面的中心；（2）晶棱的中点；（3）角顶上。 举例：立方体（L2 位于棱中点；L4位于面中心，L3位 于角顶）。
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4．倒转轴（Lin）：又称旋转反伸轴。是一根通过晶体中心 的假想直线，相应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直 线上一个与晶体中心重合的点反伸的复合操作。即图形围绕 此直线旋转一定角度后，再对此直线上一个与晶体中心重合 的点进行反伸可使相等部分重复。
旋转反伸轴以Lin表示，i是反伸的意思，n为轴次，n可以 为1、2、3、4、6。相应的基转角为360º，180º，120º，90º， 60º。
（一）对称的概念 （二）晶体对称的特点 （三）对称要素和对称操作 （四）晶体对称定律
二、晶体对称型、晶类和对称分类
（一）对称型的概念及构成 （二）三十二对称型与晶类的概念 （三）晶体的对称分类
一、晶体宏观对称要素及对称操作
（一）对称的概念
对称的现象在自然界和我们日常生活中都很常见，如蝴 蝶、花冠、动物的形体等，都常呈对称的图形。
28. 3L24L3 ; 29. 3L24L33PC 30. 3Li44L36P ; 31. 3L44L36L2 32. 3L44L36L29PC
a=b ≠ c ==90°; =120°
a=b = c === 90°
对称特点 对称型种类
无对称面 无对称轴 L2 或 P 不多于1个 L2 或 P 多于1个 有一个L4 或Li4
有一个L3
有一个L6 或Li6
有四个L3
1.L1
2.C 3.L2 4.P 5.L2PC 6.3L2 7.L22P 8.3L23PC
要素找出来，按一定规则和顺序写出列在一起，即为该 晶体的对称型。
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
9.L4 ; 10. L44L2 ; 11. L4PC 12. L44P ; 13. L44L25PC 14.Li4 ; 15. Li42L22P
16.L3 ; 17. L33L2 ; 18. L33P 19.L3C ; 20. L33L23PC
21. Li6 ; 22.Li63L23P ; 23. L6 24. L66L2 ; 25. L6PC ; 26. L66P 27. L66L27PC
晶体中如有对称面存在时，必定通过晶体的几何中心。
晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：
（1）垂直并平分晶面；
（2）垂直晶棱并通过它的中心；
（3）包含晶棱。举例：立方 体有9P， 平分晶面和晶棱有3个P，包含
晶棱有6个P。
一个晶体中，可以没有对称面，如有，可以有一个或多个。
3．对称轴（Ln）：是一根通过晶体中心的假想直线，相应 的对称操作