《数学建模讲座》PPT课件

• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千
卡w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
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9
体重变化曲线
• Clear • W0=60; • t=0:3000; • W=5429/69-(5429-69*w0)/69*exp(-
23*t/12956); • Plot(t,w,’r’),grid,legend(‘体重变化曲
线’)；
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10
5、结果结论：将数学结果返 回到实际中做相应的解释
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24
综合实力的微分方程模型：
dx dt dy dt
x
y
M x y
M
m xx
25
对综合实力的微分方程模型进行尺度变换得：
du
dt dv
au1 u bv c
v u u
dt
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在以下三种参数条件下分析讨论模型奇点的 类型并对比奇点处线性化前后相图：
（1） a b；
3
一、模型举例
• 体重变化模型(一阶线性常微分方程) • 减肥计划模型（差分方程） • 国家综合实力模型（一阶二维非线性微
分方程组）
Baidu Nhomakorabea
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4
模型一、体重变化模型
• 某人食量10467J/Day,假设其中 5038J/Day因新陈代谢而自动消耗，其 它活动，如健身等所消耗的热量是 69J/(kg.Day)与他体重的乘积。假设与 脂肪形式存储的热量100%有效，且1kg 脂肪含热量41868J.试研究此人体重随 时间变化的规律。
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按
w (n ) 4 0 0 .9n 7 55 (n 0 1 ,2 , ,1)9减少至75千克。
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20
2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡):
跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分)
7.0 3.0 4.4
• 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
分 • 体重变化由体内能量守恒破坏引起 析 • 饮食（吸收热量）引起体重增加
• 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
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14
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克；
2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异),
2.5
7.9
基本
w(k1)w(k)c(k1) t~每周运动
模型
(t)w(k) 时间(小时)
取 t 0.00 ,即 3 t24( 0 .0) 25 t( 0 .0)2
w (k n ) (1 )n [w (k)C m ]C m
7 5 0 .9n 7 (92 0 4.6 4 ) 4.6 4 n14
1800(千 0 克 /千卡） ~ 代谢消耗系数(因人而异)
1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 确定某甲的代谢消耗系数
每周吸收20000千卡 w=100千克不
变wwcw c 20000 0.025
w 80 01000
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千
卡
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1）不运动情况的两阶段减肥计划
2015年数学建模讲座
微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析 贺天兰
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1
微分方程=自然定律
• 常微分方程：联系着自变量、未知函数、 及未知函数的某些导数之间的关系式
• 总是与变化率相联系：如 速度、加速度、 曲率、增长率、出生率、死亡率等
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2
本讲座分两个部分
模型举例 模型求解的基本理论
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x
n
)
0
dx d 2x d nx F(x, dt , dt2 , , dtn ) 0
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可以用初等方法求解的方 程（组）
• 可分离变量的一阶方 程及求解
dy f (x)g(y) dx
dPk(1 P)P
dt
N
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39
一阶线性微分方程求解：常数 变易法
First order linear non-homogeneous differential equation；Variation of constants
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19
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千 克
w ( k n ) 0 .9n [ 7 w ( k 5 ) 5] 0 50
已 w ( k ) 知 9 ,要 0w ( k 求 n ) 7 ， 求 5 n
7 50.97 n(9 5 05)0 50
nlg2( 5/40)19 lg0.975
• 给出明确可信的结论！
W542978.7kg 69
结论：随着时间，的此推人移的体重不的随变时化间， 将稳定7在 8.7kg左右
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11
6、敏感性分析：讨论参数 的变化对结果的影响
• 讨论：增加或减少热量的摄入，体重将 如何变化？
• 增加或减少健身活动，体重又将如何变 化？
• 那个参数的变化对体重比较敏感？
运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可
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21
。
3）达到目标体重75千克后维持不变的方案
每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变
w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) ( t ) w ( k )
w w C ( t)w C(t)w • 不运动 C 80 0 0 .00 2 75 5 15(千 00 ) 卡 0
模型为：
dv
du 2u1uv
d
1.999v 200.9uu
d
奇点为：（0,0）和（0.875,0.2187）
30
（2）a b , 0 a b 1 选 a 2 , b 1 . 9 , c 取 2 , 9 0 . 9 0 9 相图
奇点(0,0)和（0.875,0.2187）处线性化后模型相图
我们可以观察到，线性化 之前模型奇点附近的渐近行 为与对该模型在奇点处线 性化后的两个模型在零点 附近的渐近行为分别相似！
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（3）a b a c a 选 b a 1 . 2 取 ,b 5 0 . 2 ,c 1 , 0 . 8 c ab
模型为：
du
d
dv
1.25u1 u v 0.2v 0.85uu
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36
3、常微分方程的阶、线性、 非线性常微分方程
y' 2xy
3x25xy' 0
y' 10xy
y' x y yx
(x2y2)dxxyd0y
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37
4、问题：哪些常微分方程 可以用初等方法求解？
• 自治的常微分方程与 非自治的常微分方程
dx d 2x F(t, x, dt , dt2 ,
,
dn dt
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5
1、问题分析：问题涉及的原 则、理论或方法做适当分析
• 要研究此人体重随时间变化的规律，就 是要找出体重随时间变化的函数关系式。
• 注意各变量与它们的微小增量之间的关 系。
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6
2、问题假设：提出有利条件 ，对实际问题做理想化近似
• (1)设t时刻某人的体重为W(t)，一天开始时此 人的体重为W(0);
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12
定性分析
体重变化输入-输出W542969W Day Day Day t 41868
dW542969W dt 41868 Wt0 W0
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13
模型二、 减肥计划-节食与运 动
• 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25
背 ~正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 景 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持
• 运动(内容同前) C 80 0 0 .00 2 78 5 16(千 80 )
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模型三
• 综合实力的微分方程模型讨论
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一个地区物质文明和精神文明的综合 称为综合实力
物质文明的发展速度与现有水平及发展潜力 之积成正比，还与精神文明的水平成比例，精 神文明的发展速度与现有水平成比例，且与现 有的物质文明相关，有如下微分方程模型：
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二、相关的理论知识
微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析 贺天兰
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34
基本概念： 1、微分方程的解、通解
• 例：y=sin(arcsinx+c)
dy 1 y2
dx 1 x2
(-1,1)
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2、初值问题：柯西问题与 特解
x(4)x '' 1 ,x x'(40),1;xc1sitnc2c ots
• 输入热量=104675038=5429J
• 输出热量 =69×W=69WJ
体重变化输入-输出W542969W Day Day Day t 41868
dW542969W
dt Wt0
41W80 6h8
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4、模型求解
• 对数学翻译进行求解，既避免了对原问 题的直接处理，又利用了现有的数学知 识。
W(t)542 594 269W 90e123t3956 69 69
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过
1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
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减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
w ( k 1 ) ( 1 ) w ( k ) C m
w ( k n ) ( 1 ) n w ( k ) C m [ 1 ( 1 ) ( 1 ) n 1 ]
(1)n[w(k)C m]C m
以 0.02 ,5 1,C10代 00入 0 得
800m0
w (k n ) 0 .9n [ 7 w (k 5 ) 5] 0 50
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
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基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
相图
奇点(0,0)和(0.8,0.16)处线性化后模型相图
我们可以观察到，线性化 之前模型奇点附近的渐近行 为与对该模型在奇点处线 性化后的两个模型在零点 附近的渐近行为分别相同！
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（2）a b , 0 a b 1 选 a 2 , b 1 . 9 , c 取 2 , 9 0 . 9 0
（2） ab,0ab1 ；
（3）
abacab；
cab
27
（1）a b 选 a 1 , b 2 , 取 c 4 , 0 . 9
模型为：
dv
du u1 u v
d
2v 40.9 u
u
d
奇点为：（0,0）稳定焦点和（0.8,0.16）鞍点
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（1） a b 选 a 1 , b 2 , 取 c 4 , 0 . 9
• (2)W(t)是t的光滑函数； • (3)体重在某时间段内的变化等于输入与输出
之差，其中，其中输入是指扣除基本新陈代谢 之后的净食量吸收，输出是指如健身时的消耗；
• (4)只考虑一天的情况，且不会出现异常现象。
h
7
3.模型建立:实际问题---数 学语言:函数\方程\方程组等
• 此人每天的体重变化 =输入-输出
d
奇点为：（0,0）和（0.8,0.2）
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（3） a b a c a 选 b a 1 . 2 取 ,b 5 0 . 2 ,c 1 , 0 . 8 c ab 相图
奇点(0,0)和(0.8,0.2)处线性化后模型相图
我们可以观察到，线性化 之前模型奇点附近的渐近行 为与对该模型在奇点处线 性化后的两个模型在零点 附近的渐近行为分别相同！
非齐次
dyp(x)yq(x) （1）
dx
一阶线性齐次微分方程
dy p(x) y dx
（2）
h
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全微分方程 (Total/complete/filly)DE
M(x,y)dx+N(x, y)dy=0是全微 分方程的充要 条件是
第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克
吸收热量为 c ( k 1 ) 12 2 0 k ,0 k 0 0 0 , 1 , 0 9
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1）不运动情况的两阶段减肥计划
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千
克基本模型 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )