高考数学一轮复习第八章立体几何..表面积对点训练理

2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.1.2 表面积对点训练

理

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A ．3π

B ．4π

C ．2π＋4

D ．3π＋4 答案 D

解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12

×π×12

＋2×2＝3π＋4，故选D.

2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

A ．1＋ 3

B ．2＋ 3

C ．1＋2 2

D ．2 2

答案 B

解析 在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P －ABC ，表面积为12×1×2×2＋34

×(2)2

×2＝2＋ 3.

3.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －

ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

答案 C

解析 如图，设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以

S △OAB ＝1

2R 2，要使V O －ABC ＝13·S △OAB ·h 最大，则OA ，OB ，OC 应两两垂直，且(V O －ABC )max ＝13×12

R 2

×R

＝16

R 3＝36，此时R ＝6，所以球O 的表面积为S 球＝4πR 2

＝144π.故选C. 4．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( 材料利

用率＝

新工件的体积

原工件的体积

)(

)

A.89π

B.

169π

C.2

－3

π

D.

2－3

π

答案 A

解析 解法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此

长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h

2

，所以h ＝2－2x ，x ∈

(0,1)，长方体体积为V 长方体＝(2x )2

h ＝2x 2

(2－2x )≤2⎝

⎛⎭

⎪⎫x ＋x ＋2－2x 33＝1627，当且仅当x ＝2

－2x ，即x ＝23时取等号，V 圆锥＝13π×12

×2＝2π3，故材料利用率为16

272π3

＝89π

，选A.

解法二：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体

底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，x 1＝2－h

2

，所以h ＝2－2x ，x ∈(0,1)，

长方体体积为V 长方体＝(2x )2

h ＝2x 2

(2－2x )＝－4x 3

＋4x 2

，令V ′长方体＝－12x 2

＋8x ＝0，得x ＝23，故当x ＝23时，(V 长方体)max ＝1627，V 圆锥＝13π×12

×2＝2π3，故材料利用率为16

272π3＝89π

，选A.

5.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )

A ．21＋ 3

B ．18＋ 3

C ．21

D ．18

答案 A

解析 由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S

正方体

－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2

＝21＋ 3.

6．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )

A．90 cm2B．129 cm2 C．132 cm2D．138 cm2答案 D

解析由题干中的三视图可得原几何体如图所示．

故该几何体的表面积S＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×1

2

×3×4

＝138(cm2)．故选D.

7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π

4

B．16π

C．9π D.27π4

答案 A

解析由图知，R2＝(4－R)2＋2，

∴R 2＝16－8R ＋R 2

＋2，∴R ＝94，

∴S 表＝4πR 2

＝4π×8116＝814

π，选A.

8．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积是( )

A ．6＋8 3

B ．12＋7 3

C ．12＋8 3

D ．18＋2 3

答案 C

解析 该空间几何体是一个三棱柱．底面等腰三角形的高是1，两腰长为2，所以其底边长是23，两个底面三角形的面积之和是23，侧面积是(2＋2＋23)×3＝12＋63，故其表面积是12＋8 3.故选C.