机械振动-轴的扭转振动
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§5.3杆的扭转振动
如图所示，杆的单位体积质量为p，圆形截面极惯性距为Jp， 抗剪模量为G，圆轴上受一扭矩M， 轴上x处，t时刻相对于其左端面的扭转角度以θ (x,t)表示。
§5.3轴的扭转振动
从其上截取长度为dx的一小段来分析
转动惯量为Ip，圆形截面极惯性距为Jp,列出刚体转动方程：
M
M x
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
a
a
端点条件：
X=0, Θ=0
B=0
X=l, dΘ/dx=0
代入上式
§5.3轴的扭转振动 初始条件：
带入 得
§5.3轴的扭转振动
对于任意的x都要成立，即
带入
得
cosn 0
n
2
sinn 1
§5.3轴的扭转振动
三角函数的正交性 并对全长l积分
dx M
Ip
2 (x,t) ，
t 2
(1)
扭矩与单位转角之间有： (x,t) dx M dx
x
GJ p
(2)
代入(1)式，得轴的扭转振动运动方程为：
x
GJ
p
பைடு நூலகம்
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(3)
§5.3轴的扭转振动
x
GJ p
左右同*
§5.3轴的扭转振动
n
2
回代，得
a
a
（振型）
（振动）
一般解中有4个待定常数::
利用杆的两个端点条件
A或B 和固有频率Pn
剩下的Bn或An和φn 初始条件
带入一般解
扭转振动的方程的解为各阶主振动的叠加
(x, t)
(Ansin
n1
pn a
x
Bn
cos
pn a
x)(sinpnt n )
§5.3轴的扭转振动
解的形式
(x, t) (x) T(t)
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(4)
对于圆轴来说转动惯量
(5) 令： a2 G
P 则方程式转化为：
(6)
§5.3轴的扭转振动
杆的扭转振动和弦振动及杆的纵向振动 解的形式相同
(x, t) (x) T(t)
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
如图所示，杆的单位体积质量为p，圆形截面极惯性距为Jp， 抗剪模量为G，圆轴上受一扭矩M， 轴上x处，t时刻相对于其左端面的扭转角度以θ (x,t)表示。
§5.3轴的扭转振动
从其上截取长度为dx的一小段来分析
转动惯量为Ip，圆形截面极惯性距为Jp,列出刚体转动方程：
M
M x
(Asin p x B cos p x)(sinpt)
a
a
端点条件：
X=0, Θ=0
B=0
X=l, dΘ/dx=0
代入上式
§5.3轴的扭转振动 初始条件：
带入 得
§5.3轴的扭转振动
对于任意的x都要成立，即
带入
得
cosn 0
n
2
sinn 1
§5.3轴的扭转振动
三角函数的正交性 并对全长l积分
dx M
Ip
2 (x,t) ，
t 2
(1)
扭矩与单位转角之间有： (x,t) dx M dx
x
GJ p
(2)
代入(1)式，得轴的扭转振动运动方程为：
x
GJ
p
பைடு நூலகம்
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(3)
§5.3轴的扭转振动
x
GJ p
左右同*
§5.3轴的扭转振动
n
2
回代，得
a
a
（振型）
（振动）
一般解中有4个待定常数::
利用杆的两个端点条件
A或B 和固有频率Pn
剩下的Bn或An和φn 初始条件
带入一般解
扭转振动的方程的解为各阶主振动的叠加
(x, t)
(Ansin
n1
pn a
x
Bn
cos
pn a
x)(sinpnt n )
§5.3轴的扭转振动
解的形式
(x, t) (x) T(t)
(x,t)
x
dx
IP
2 (x, t)
t 2
(4)
对于圆轴来说转动惯量
(5) 令： a2 G
P 则方程式转化为：
(6)
§5.3轴的扭转振动
杆的扭转振动和弦振动及杆的纵向振动 解的形式相同
(x, t) (x) T(t)
(Asin p x B cos p x)(sinpt)