华北电力大学理论力学第八章 点的合成运动(动)
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ve R , 牵连加速度： ae R 2
相对运动为匀速圆周运动，
v 有vr 常数, 相对加速度：ar arn r R
2
由速度合成定理可得出
v a v e v r R v r 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
绝对加速度
va ( R vr ) 2 v aa R 2 r 2 v r R R R
两边求导 绝对速 度: dr
r r
r0 r r0 r
r xi y j z k
相对位矢
va
由定义:
dt
y ） r （ x i y j z k ） （ x i j z k 0
相对导数
~ dr 相对速度： v i y j z k x r （相对导数） dt dvM 牵连速度： r0 x i y j z k v e dt （牵连点的速度） （动系转动带动牵连点产生的速度）
2 2
2013年11月14日
方向指向圆心Ｏ点
理论力学CAI
33
va (R ω v r ) vr 2 αa Rω 2 ωv r R R R ae ar
2
2
2
分析上式：除 ar vr / R , ae R2 , 还多出一项 2 vr 。
2
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们之间 的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？
2013年11月14日
理论力学CAI
19
动点、动系选择的几种类型
一般选择常接触点为动点研究 D
1 有套筒、滑块或滑销的情况
A O1
1
A
O1
1
C
O2
2
O
O2
2
2013年11月14日
理论力学CAI
20
选套筒、滑块或滑销为动点，滑道、导轨为动系
O
A
C B
2013年11月14日
2013年11月14日
理论力学CAI
8
点的复合运动的合成与分解：
动点 绝 对 运 动 定系 牵连运动 相 对 运 动 动系 相对运动 + 牵连运动 绝对运动 绝对运动
相对运动 + 牵连运动
由以上分析，我们可以看到 点的绝对运动既可由相对运动和牵连运 动来复合，也可将点的绝对运动分解为相对运动和牵连运动。
直 线 圆 周
机架
平 移
凸轮
va ve vr
2013年11月14日 理论力学CAI 17
例： 已知三矢量方向及 ve =v 四个元
素，可以求出另外两个元素。
取AB杆上A点为动点 ，凸轮O为动系。 B
速度合成定理
va ve vr
三角函数法：
vA
vr vA = vctg
2013年11月14日
理论力学CAI
34
引理：
矢量的绝对导数，等于矢量的相 对导数，再加上动系的角速度矢量叉 乘以该矢量。
z
~ dr d r ＝ ω r dt dt
r xi yj zk
2013年11月14日
z'
M
o
r'
y' y
x x'
r xi y j z k
2013年11月14日
理论力学CAI
12
圆盘上的A点为动点，带滑槽的摆杆为动系。
绝对运动： A点作圆周运动 相对运动： A点作直线运动 牵连运动： 动系摆杆作定轴转动
2013年11月14日
理论力学CAI
13
§8-2 点的速度合成定理
z z'
定系 ——O x y z， 动系 ——O' x' y' z'
理论力学CAI
1
观察不同参照系下点的运动
2013年11月14日
理论力学CAI
2
观察不同参照系下点的运动
考察轮缘上点M的运动 相对于地面，点M的轨迹是 摆线；而相对于车厢点M的 轨迹则是一个圆。
悬挂在车厢内的小球M 的运动 相对于地面，点M的轨迹是复 杂曲线；而相对于车厢点M的 轨迹则是圆弧。
2013年11月14日
理论力学CAI 28
课后作业1 作业题1 8-2 8-3 8-4
2013年11月14日
理论力学CAI
29
课后作业2 作业题2 8-5 8-15 8-17
2013年11月14日
理论力学CAI
30
§8-3 点的加速度合成定理
点的加速度合成定理分牵连运动为平移和 牵连运动为转动两种情况。
牵连运动为平移时不包含科氏（Coriolis）加速 度项,而牵连运动为转动时包含科氏加速度项。
动点：AB杆上的A点。 动系：半圆凸轮。 绝对运动：在定系上看A 点的运动，轨迹为直线。 相对运动：在动系上看A 点的运动，轨迹为圆弧。 牵连运动：凸轮平移。
2013年11月14日
理论力学CAI
7
牵连运动为动系相对于定系的运动。 注意：
牵连运动为刚体的运 动，因为动系固结于刚体 上 随刚体一起运动，所以 动系可能作平移、定轴转 动或其它较复杂的运动。
va vr cos 30
60
B
将各矢量投影到投影轴上
M
O
vr
va
C
0 ve v r sin 30
A
由
OB 10 ve OM 0.5 10 cm s 0 . 5 cos 60
60
B
ve
解之得
2013年11月14日
va 10 3 cm s
M
M点的位置
y'
r r0
r
o'
绝对位矢 r(t) 相对位矢 r(t)
o
x'
绝对位矢 r xi yj zk
y
x
相对位矢 且
r xi y j z k
理论力学CAI 14
2013年11月14日
r r0 r
2013年11月14日
理论力学CAI
27
例8-9
直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。 已知：OB=10cm，折杆的角速度 0.5 rad s 。求当 60 时，求小环M的速度。
解：
以小环M为动点，静系取在地面上，动 系取折杆OBC。 由
O
M
C
A
v a ve v r
理论力学CAI
3
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
本章概念归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点，动点是个确定的点。
两系 定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。
动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
三种运动： 绝对运动、相对运动、牵连运动。
2013年11月14日
理论力学CAI
理论力学CAI
21
B A
h O
2013年11月14日
理论力学CAI
22
2 沿接触面的表面运动
一个构件带动另一构件运动时, 一个构件上有一点常与另一构件接 触，此时总以常接触点为动点, 另一构件为动系。常接触点在动系 上相对轨迹清楚。
vr
θ
va ve
2013年11月14日
理论力学CAI
23
凸轮推杆机构
vr
Baidu Nhomakorabea
vA y
A
v 投影法：
v o
ve
建立Axy坐标系 y方向：vA sin = vcos x vA= vctg
理论力学CAI 18
2013年11月14日
动点、动系的选择方法
1. 动点是个确定的点。如，常接触点，滑块 2. 动点与动系必须分别选在两个不同的物体上，动点 与动系间应有相对运动。 3. 动点相对动系的相对运动轨迹简单、清楚，易于直 观判断。 总之，动点与动系的选择要保证明确地划分三种运动。
2013年11月14日 理论力学CAI 5
y
牵连运动(entrainment) ：
动系相对于定系的运动称为牵连运动。
牵连就是当动系运动时，把动点带动的意思。 因此在某瞬时，动系上与动点相重合的一点称 为动点在该瞬时的牵连点，牵连点的速度和加 速度称为动点在该瞬时的牵连速度ve和牵连加 速度ae。
y’
第八章 点的合成运动
在此之前，我们研究点的运动时，都是相对于某 一个参考系（定系）而言。但在有些问题中，往往需 要同时在两个不同的参考系中来描述同一点的运动， 而其中一个参考系相对于另一参考系也在运动。
为此，引入动点，动系，定系。并研究同一动点相 对 于两个不同参考系的运动之间的关系。
2013年11月14日
2013年11月14日
理论力学CAI
31
1.动系为定轴转动点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕定 轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有 一点M以大小不变的速度 vr 沿槽 作圆周运动，那么M点相对于定 系的绝对加速度应是多少呢？
2013年11月14日
理论力学CAI
32
选点M为动点，动系固结于圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
2013年11月14日
理论力学CAI
9
例：
细杆OA绕O轴以 t 转动，杆上套有一小环M，同 时又套在半径为 R的固定圆圈上。 求：小环M的速度，加速度。
y
y'
x'
A M
o
如何选择动点、动系，并 划分三种运动？
x
2013年11月14日
理论力学CAI
10
解
速度分析 取M为动点，OA杆为动系。 根据速度合成定理
vM ve
A M
vM ve vr
沿方向投影 : vM cos = ve ve= 2Rcos vM = 2R
o
vr
2013年11月14日
理论力学CAI
11
动点、动系和定系的一般选择原则
1. 动点是个确定的运动点。 2. 动点与动系必须分别选在两个不同的物体上，动点与 动系间有相对运动。 3. 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断，轨迹简 单。
于是
2013年11月14日
va ve vr
理论力学CAI
15
点的速度合成定理
任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与 相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
va ve vr
注：对牵连运动是平移和转动都适用
2013年11月14日
理论力学CAI
16
例：
半径为 r 的半圆柱形凸轮顶杆机构中，已知凸轮向右平移的 速度V，试求AB杆的速度。 解： 取AB杆上的A点为动点，凸 轮为动系。进行运动分析， 作出速度图。 A点
4
y
基本概念：
绝对运动 (absolute motion)：
y’
绝对轨迹
动点相对于定系的运动称为绝对运动。 动点在绝对运动中的轨迹，速度，加速 度，称为动点的绝对轨迹，绝对速度va O ，绝对加速度aa。
A v M
x’
相对轨迹
x
相对运动 (relative motion)：
动点相对于动系的运动称为相对运动。 动点在相对运动中的轨迹，速度，加速度 称为动点的相对轨迹，相对速度vr，相对 加速度ar。
B
O
A
C
2013年11月14日
理论力学CAI
26
例8-4
曲柄OA长为r，以匀角速度ω绕轴O逆时针向转动，从而通过曲柄的A端 推动滑杆BC沿铅直方向上升，如图所示。求当 60 时，滑杆BC的速 度和加速度。 解： 取OA上的A点为动点，滑杆BC为动系。 绝对运动：圆周运动； 相对运动：水平直线运动； 牵连运动：滑杆BC的平动。
作出速度平行四边形 如图示。
2 3 va ve tg30 eω 3
0
v AB
2 3 eω 3
杆AB的速度为
2013年11月14日
2 3 eω 3
理论力学CAI 25
图示机构中，曲柄OA长40 cm，并以等角速度 = 0.5 rad/s 绕O轴逆时针转动，使滑杆BC上升，求当曲柄与水平线 夹角 = 30时，滑杆BC的速度和加速度。
6凸轮推杆.AVI
2013年11月14日 理论力学CAI 24
例题8-10
例 圆盘凸轮机构，已知：OC=e , 为匀角速度 R 3e ，图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 解：动点取直杆上A点，动系固结 于圆盘，定系固结于基座。
vr
θ
va ve
由速度合成定理 va ve vr ，
A
x’
O
v
M
x
牵连速度：velocity of transportation； velocity of following； velocity of the frame
牵连点轨迹
注意：选择不同的动系，动点的相对轨迹及牵连运动都不同。
2013年11月14日 理论力学CAI 6
观察: 动点A的运动
相对运动为匀速圆周运动，
v 有vr 常数, 相对加速度：ar arn r R
2
由速度合成定理可得出
v a v e v r R v r 常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
绝对加速度
va ( R vr ) 2 v aa R 2 r 2 v r R R R
两边求导 绝对速 度: dr
r r
r0 r r0 r
r xi y j z k
相对位矢
va
由定义:
dt
y ） r （ x i y j z k ） （ x i j z k 0
相对导数
~ dr 相对速度： v i y j z k x r （相对导数） dt dvM 牵连速度： r0 x i y j z k v e dt （牵连点的速度） （动系转动带动牵连点产生的速度）
2 2
2013年11月14日
方向指向圆心Ｏ点
理论力学CAI
33
va (R ω v r ) vr 2 αa Rω 2 ωv r R R R ae ar
2
2
2
分析上式：除 ar vr / R , ae R2 , 还多出一项 2 vr 。
2
可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不 等于牵连加速度 ae和相对加速度 ar 的矢量和。那么他们之间 的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？
2013年11月14日
理论力学CAI
19
动点、动系选择的几种类型
一般选择常接触点为动点研究 D
1 有套筒、滑块或滑销的情况
A O1
1
A
O1
1
C
O2
2
O
O2
2
2013年11月14日
理论力学CAI
20
选套筒、滑块或滑销为动点，滑道、导轨为动系
O
A
C B
2013年11月14日
2013年11月14日
理论力学CAI
8
点的复合运动的合成与分解：
动点 绝 对 运 动 定系 牵连运动 相 对 运 动 动系 相对运动 + 牵连运动 绝对运动 绝对运动
相对运动 + 牵连运动
由以上分析，我们可以看到 点的绝对运动既可由相对运动和牵连运 动来复合，也可将点的绝对运动分解为相对运动和牵连运动。
直 线 圆 周
机架
平 移
凸轮
va ve vr
2013年11月14日 理论力学CAI 17
例： 已知三矢量方向及 ve =v 四个元
素，可以求出另外两个元素。
取AB杆上A点为动点 ，凸轮O为动系。 B
速度合成定理
va ve vr
三角函数法：
vA
vr vA = vctg
2013年11月14日
理论力学CAI
34
引理：
矢量的绝对导数，等于矢量的相 对导数，再加上动系的角速度矢量叉 乘以该矢量。
z
~ dr d r ＝ ω r dt dt
r xi yj zk
2013年11月14日
z'
M
o
r'
y' y
x x'
r xi y j z k
2013年11月14日
理论力学CAI
12
圆盘上的A点为动点，带滑槽的摆杆为动系。
绝对运动： A点作圆周运动 相对运动： A点作直线运动 牵连运动： 动系摆杆作定轴转动
2013年11月14日
理论力学CAI
13
§8-2 点的速度合成定理
z z'
定系 ——O x y z， 动系 ——O' x' y' z'
理论力学CAI
1
观察不同参照系下点的运动
2013年11月14日
理论力学CAI
2
观察不同参照系下点的运动
考察轮缘上点M的运动 相对于地面，点M的轨迹是 摆线；而相对于车厢点M的 轨迹则是一个圆。
悬挂在车厢内的小球M 的运动 相对于地面，点M的轨迹是复 杂曲线；而相对于车厢点M的 轨迹则是圆弧。
2013年11月14日
理论力学CAI 28
课后作业1 作业题1 8-2 8-3 8-4
2013年11月14日
理论力学CAI
29
课后作业2 作业题2 8-5 8-15 8-17
2013年11月14日
理论力学CAI
30
§8-3 点的加速度合成定理
点的加速度合成定理分牵连运动为平移和 牵连运动为转动两种情况。
牵连运动为平移时不包含科氏（Coriolis）加速 度项,而牵连运动为转动时包含科氏加速度项。
动点：AB杆上的A点。 动系：半圆凸轮。 绝对运动：在定系上看A 点的运动，轨迹为直线。 相对运动：在动系上看A 点的运动，轨迹为圆弧。 牵连运动：凸轮平移。
2013年11月14日
理论力学CAI
7
牵连运动为动系相对于定系的运动。 注意：
牵连运动为刚体的运 动，因为动系固结于刚体 上 随刚体一起运动，所以 动系可能作平移、定轴转 动或其它较复杂的运动。
va vr cos 30
60
B
将各矢量投影到投影轴上
M
O
vr
va
C
0 ve v r sin 30
A
由
OB 10 ve OM 0.5 10 cm s 0 . 5 cos 60
60
B
ve
解之得
2013年11月14日
va 10 3 cm s
M
M点的位置
y'
r r0
r
o'
绝对位矢 r(t) 相对位矢 r(t)
o
x'
绝对位矢 r xi yj zk
y
x
相对位矢 且
r xi y j z k
理论力学CAI 14
2013年11月14日
r r0 r
2013年11月14日
理论力学CAI
27
例8-9
直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。 已知：OB=10cm，折杆的角速度 0.5 rad s 。求当 60 时，求小环M的速度。
解：
以小环M为动点，静系取在地面上，动 系取折杆OBC。 由
O
M
C
A
v a ve v r
理论力学CAI
3
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
本章概念归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点，动点是个确定的点。
两系 定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。
动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
三种运动： 绝对运动、相对运动、牵连运动。
2013年11月14日
理论力学CAI
理论力学CAI
21
B A
h O
2013年11月14日
理论力学CAI
22
2 沿接触面的表面运动
一个构件带动另一构件运动时, 一个构件上有一点常与另一构件接 触，此时总以常接触点为动点, 另一构件为动系。常接触点在动系 上相对轨迹清楚。
vr
θ
va ve
2013年11月14日
理论力学CAI
23
凸轮推杆机构
vr
Baidu Nhomakorabea
vA y
A
v 投影法：
v o
ve
建立Axy坐标系 y方向：vA sin = vcos x vA= vctg
理论力学CAI 18
2013年11月14日
动点、动系的选择方法
1. 动点是个确定的点。如，常接触点，滑块 2. 动点与动系必须分别选在两个不同的物体上，动点 与动系间应有相对运动。 3. 动点相对动系的相对运动轨迹简单、清楚，易于直 观判断。 总之，动点与动系的选择要保证明确地划分三种运动。
2013年11月14日 理论力学CAI 5
y
牵连运动(entrainment) ：
动系相对于定系的运动称为牵连运动。
牵连就是当动系运动时，把动点带动的意思。 因此在某瞬时，动系上与动点相重合的一点称 为动点在该瞬时的牵连点，牵连点的速度和加 速度称为动点在该瞬时的牵连速度ve和牵连加 速度ae。
y’
第八章 点的合成运动
在此之前，我们研究点的运动时，都是相对于某 一个参考系（定系）而言。但在有些问题中，往往需 要同时在两个不同的参考系中来描述同一点的运动， 而其中一个参考系相对于另一参考系也在运动。
为此，引入动点，动系，定系。并研究同一动点相 对 于两个不同参考系的运动之间的关系。
2013年11月14日
2013年11月14日
理论力学CAI
31
1.动系为定轴转动点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕定 轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有 一点M以大小不变的速度 vr 沿槽 作圆周运动，那么M点相对于定 系的绝对加速度应是多少呢？
2013年11月14日
理论力学CAI
32
选点M为动点，动系固结于圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
2013年11月14日
理论力学CAI
9
例：
细杆OA绕O轴以 t 转动，杆上套有一小环M，同 时又套在半径为 R的固定圆圈上。 求：小环M的速度，加速度。
y
y'
x'
A M
o
如何选择动点、动系，并 划分三种运动？
x
2013年11月14日
理论力学CAI
10
解
速度分析 取M为动点，OA杆为动系。 根据速度合成定理
vM ve
A M
vM ve vr
沿方向投影 : vM cos = ve ve= 2Rcos vM = 2R
o
vr
2013年11月14日
理论力学CAI
11
动点、动系和定系的一般选择原则
1. 动点是个确定的运动点。 2. 动点与动系必须分别选在两个不同的物体上，动点与 动系间有相对运动。 3. 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断，轨迹简 单。
于是
2013年11月14日
va ve vr
理论力学CAI
15
点的速度合成定理
任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与 相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
va ve vr
注：对牵连运动是平移和转动都适用
2013年11月14日
理论力学CAI
16
例：
半径为 r 的半圆柱形凸轮顶杆机构中，已知凸轮向右平移的 速度V，试求AB杆的速度。 解： 取AB杆上的A点为动点，凸 轮为动系。进行运动分析， 作出速度图。 A点
4
y
基本概念：
绝对运动 (absolute motion)：
y’
绝对轨迹
动点相对于定系的运动称为绝对运动。 动点在绝对运动中的轨迹，速度，加速 度，称为动点的绝对轨迹，绝对速度va O ，绝对加速度aa。
A v M
x’
相对轨迹
x
相对运动 (relative motion)：
动点相对于动系的运动称为相对运动。 动点在相对运动中的轨迹，速度，加速度 称为动点的相对轨迹，相对速度vr，相对 加速度ar。
B
O
A
C
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例8-4
曲柄OA长为r，以匀角速度ω绕轴O逆时针向转动，从而通过曲柄的A端 推动滑杆BC沿铅直方向上升，如图所示。求当 60 时，滑杆BC的速 度和加速度。 解： 取OA上的A点为动点，滑杆BC为动系。 绝对运动：圆周运动； 相对运动：水平直线运动； 牵连运动：滑杆BC的平动。
作出速度平行四边形 如图示。
2 3 va ve tg30 eω 3
0
v AB
2 3 eω 3
杆AB的速度为
2013年11月14日
2 3 eω 3
理论力学CAI 25
图示机构中，曲柄OA长40 cm，并以等角速度 = 0.5 rad/s 绕O轴逆时针转动，使滑杆BC上升，求当曲柄与水平线 夹角 = 30时，滑杆BC的速度和加速度。
6凸轮推杆.AVI
2013年11月14日 理论力学CAI 24
例题8-10
例 圆盘凸轮机构，已知：OC=e , 为匀角速度 R 3e ，图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 解：动点取直杆上A点，动系固结 于圆盘，定系固结于基座。
vr
θ
va ve
由速度合成定理 va ve vr ，
A
x’
O
v
M
x
牵连速度：velocity of transportation； velocity of following； velocity of the frame
牵连点轨迹
注意：选择不同的动系，动点的相对轨迹及牵连运动都不同。
2013年11月14日 理论力学CAI 6
观察: 动点A的运动