有限元 4-薄板弯曲问题

第4章 弹性薄板弯曲问题的有限元法

薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。

在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:

厚板（Thick plate ）和

薄板（Thin plate)两种。

当1<

t 时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种:

1. 面内拉压荷载。 由面内拉压刚度承担, 属平面

应力问题。

2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。

当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)

(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤t

w 为柔性板； 5>t

w 为绝对柔性板。) 4.1 基本理论

一、基本假定

１、略去垂直于中面的法向应力。（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度) ２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）

３、板弯曲时，中面不产生应力。(─中面中性层假定)

上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。符合上述假定的平板即为刚性板。

二、基本方法

以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。 １、几何方程（应变─挠度关系）

①弹性曲面沿x, y 方向的倾角

从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长

为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D'

设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)

x w y ??=θ (B ’点绕度 dx x

w w ??+) 沿y 方向倾角(绕x 轴) y w x ??=

θ (D ’点绕度 dy y w w ??+) ② 沿x, y 方向位移

作平行于z x 0平面,设中面上点A 到A'的距离为

Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，

曲面沿x 方向的倾角为x

w ??, 根据法线假定,则A'点沿x 方向的位移:

x w z u ??-= (负号为方向与x 相反)

同理取z y 0平面得： y w z v ??-= (4-1-1)

③ Z 平面的应变分量和曲、扭率

基本假定，由于0===xy zx z ττσ, 故板内任意点的应变与平面问题相同:

x v y u y

v x

u

xy y x ??+??=??=??=εεε???→?代入将V U .{}????

?????????????????-??-??-=??????????y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)

此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。上式中的22x w ??,22y w ??,y

x w ???2为曲面在X,Y 方向的曲、扭率，记为：

{}?????

?????

???????-??-??-=??????????=y x w y w x w xy y x 222222χχχχ (4-1-3) 所以, {}{}χεz =

２、物理方程（应力─挠度关系）

由于忽略σz 对变形的影响, 因此z 平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式: ()

()()????

?????-=+-=+-=xy xy x y y y x x E E E γμτμεεμσμεεμσ121122 将(4-1-2)代入得:

{}[]{}εμμμμμτσσσ022222222222111D y x w Ez x w y w Ez y w x w Ez xy y x =????

?????????????????+???? ????+??-???? ????+??--=??????????= 或简写为： {}[]{}x D z 0=σ (4-1-4)

式中弹性矩阵: ?????

???????--=21000101120μμμμE D ３、内力方程（内力─挠度关系）

从板内取微元体tdxdy , 由其上正应力x σ,y σ和剪应力xy τ,